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第2课整式及其运算,要点梳理,1单项式：由或相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做，数字因数叫做2多项式：由几个组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个，其中不含字母的项叫做常数项3整式：统称为整式4同类项：多项式中所含相同并且也相同的项，叫做同类项,数与字母,字母与字母,单项式的次数,单项式的系数,单项式相加,多项式的次数,单项式和多项式,字母,相同字母的指数,6整式乘法：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式单项式乘多项式：m(ab).多项式乘多项式：(ab)(cd).7乘法公式：(1)平方差公式：.(2)完全平方公式：.,mamb,acadbcbd,(ab)(ab)a2b2,(ab)2a22abb2,8整式除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因子，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式，将这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加,难点正本疑点清源,1正确理解相关代数式的概念由于对已学的几种代数式认识模糊，导致出现判断失误这些代数式有：单项式、多项式、整式、同类项2正确进行代数式的变形和化简在代数式范围内，由于掌握的基本技能不熟练，导致出现一系列代数式的列式、变形和计算化简的错误这些技能包括：将语言转化为代数式，整式的运算，乘法公式的应用等,3整体代换思想求代数式的值在求代数式的值时，一般先化简，再把各个字母的值代入求值，有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出几个式子的值，这时可把这几个式子看作一个整式，把多项式化为含有这几个式子的代数式，再代入求值，运用整体代换思想，往往可使问题简化,基础自测,1(2011宁波)下列计算正确的是()A(a2)3a6Ba2a2a4C(3a)(2a)6aD3aa3解析：(a2)3a23a6，正确理解“幂的乘方”法则2(2011泰安)下列运算正确的是()A3a24a27a4B3a24a2a2C3a24a212a2D(3a2)34a2a2解析：3a24a2(34)a2a2，正确理解“合并同类项”法则,A,B,3(2011盐城)已知ab1，则代数式2a2b3的值是()A1B1C5D5解析：2a2b32(ab)32131，整体ab1代入求值较简便4(2011苏州)若m2326，则m等于()A2B4C6D8解析：m2326，故m2623238.,A,D,5(2011聊城)如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是()A5nB5n1C6n1D2n21解析：第1个图形所需的棋子数为5611，第2个图形所需的棋子数为11621.第3个图形所需的棋子数为17631，第n个图形所需的棋子数为6n1.,C,题型分类深度剖析,题型一整式的加减运算【例1】(1)计算：a23a2()A3a2B4a2C3a4D4a4解析：a23a24a2，合并同类项，只是把系数相加减，字母及字母的指数均不变，选B.,B,(2)下列运算正确的是()A2(ab)2abB2(ab)2abC2(ab)2a2bD2(ab)2a2b解析：2(ab)2a2b，去括号法则，利用分配律，选D.(3)计算：3(2xyy)2xy解：3(2xyy)2xy6xy3y2xy4xy3y,D,探究提高整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号只要算式中没有同类项，就是最后的结果知能迁移1(1)(2011义乌)下列计算正确的是()Ax2x4x6B2x3y5xyCx6x3x2D(x3)2x6解析：(x3)2x32x6.,D,(2)(2011台北)化简(4x8)3(45x)，可得下列哪一个结果？()A16x10B16x4C56x40D14x10解析：原式x21215x14x10.,D,题型二同类项的概念及合并同类项,【例2】(1)若单项式2x2ym与xny3是同类项，则mn的值是_解析：根据同类项的意义，有n2，m3，则mn5.(2)若4xayx2yb3x2y，则ab_.解析：4xayx2yb3x2y，可知4xay，x2yb，3x2y是同类项，则a2，b1，ab3.,5,3,探究提高1.判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项2.只有同类项才可以合并,知能迁移2(1)单项式xabya1与3x2y是同类项，则ab的值为()A2B0C2D1解析：因为ab2且a11，所以a2，b0，ab2，选A.(2)下列各式中，与x2y是同类项的是()Axy2B2xyCx2yD3x2y2解析：x2y与x2y，相同字母的指数相同，选C.,A,C,题型三幂的运算,【例3】(1)计算a4a3a2()Aa3Ba4Ca5Da6解析：a4a3a2a432a5，选C.(2)计算x2(x)3(x)2_.解析：x2(x)3(x)2x2(x3)x2x2x3x2x7.,x2,C,探究提高1.幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则2.在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理,知能迁移3(1)(2011威海)下列运算正确的是()Aa3a2a6B(x3)3x6Cx5x5x10D(ab)5(ab)2a3b3解析：(ab)5(ab)2(ab)3a3b3.,D,(2)计算：(3a2)2a5_；(y3)2y5_；(2a2)4_.解析：(3a2)2a59a4a59a9；(y3)2y5y6y5y；(2a2)4(2)4(a2)416a8.,9a9,y,16a8,题型四整式的混合运算及求值,【例4】(本题5分)先化简，再求值：3x(x2x1)(x1)(3x2x)，其中x.解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！解：原式3x33x23x(3x3x23x2x)2分3x33x23x3x3x23x2x5x22x.3分当x时，原式5()22()15分,探究提高注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算,(1)(2011温州)化简：a(3a)3(a2)解：(1)a(3a)3(a2)3aa23a6a26.(2)已知x25x14，求(x1)(2x1)(x1)21的值解：(2)(x1)(2x1)(x1)21(2x23x1)(x22x1)1x25x1，当x25x14时，原式14115.,题型五乘法公式,【例5】(1)计算(ab)(ab)(ab)22a2的值，其中a3，b；解：(1)(ab)(ab)(ab)22a2a2b2a22abb22a22ab，当a3，b时，原式23()3.(2)已知x2y225，xy7，且xy，求xy的值解：(2)(xy)2x2y22xy，2xy(xy)2(x2y2)722524，(xy)2x2y22xy25241.xy，xy1.,探究提高1.算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，任何时候都要遵循先化简，再求值的原则.2.在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形：(1)a2b2(ab)22ab；(2)a2b2(ab)22ab；(3)(ab)2(ab)24ab；(4)(ab)2(ab)24ab.注意公式的变式及整体代入的思想,知能迁移5(1)(2011衡阳)先化简，再求值：(x+1)2x(x-2)，其中x；解：(1)原式x22x1x22x2x21，当x时，原式2()211.(2)已知xy7，xy5，求xy的值解：(2)xy7，xy5，又(xy)2(xy)24xy，4xy5272254924，xy6.,易错警示,2幂运算易出现的错误试题计算x3x5；x4x4；(am1)2；(2a2b)2；(mn)6(nm)3.学生答案展示x3x5x35x15.x4x42x4.(a2m1)2a2m1.(2a2b)222a4b2.(mn)6(nm)3(mn)63(mn)3.剖析幂的四种运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除)是学习整式乘除的基础，对幂运算的性质理解不深刻，记忆不牢固，往往会出现这样或那样的错误,正解x3x5x35x8.x4x4x44x8.(am1)2a(m1)2a2m2.(2a2b)2(2)2a4b24a4b2.(mn)6(nm)3(nm)6(nm)3(nm)3.批阅笔记幂运算的基本运算形式有四种，每种基本形式的运算法则不同，应分清问题所对应的基本形式，以便合理应用法则，易错的还有符号的处理，应当特别引起重视.,思想方法感悟提高,方法与技巧1.整式是初中数学的主要内容，整式的乘除法是整式的重要运算，要明确运算的类型，不要混淆乘法公式的运用是本节的重点，也是难点，要熟练掌握它的各种变化，在今后的代数计算中还会经常遇到2.应用公式时，要注意：一个二项式的两项，和另一个二项式的两项，如果系数(只指其绝对值)、字母及其指数不能都对应相同，如(x2y)(2xy)，那么不能应用乘法公式简化运算；如果都能对应相同，如(x2y)(x2y)，和(x2y)(2yx)，那么，一定能运用乘法公式(ab)(ab)a2b2或(ab)2a22abb2简化运算,失误与防范1.没有规矩，不成方圆数学知识是由一个个规则构成的，在书写上、应用中都要依照规则，以免疏漏或出错；如数字与字母相乘，要省略乘号，并把数字写在字母的前面，若数字是带分数的，要化成假分数；数字与数字相乘时，不能省略乘号或用“”来代替乘号；除法运算要写成分数形式2.列代数式就是把文字语言表述的数量或数量关系用数学式子表示在列代数式时，要正确分清数量关系和运算顺序对代数式的列法，首先要分清运算顺序，注意代数式中有哪些数与字母，它们中有哪些运算，哪些运算是先做的，哪些运算是后做的，哪些运算是先得出“积”、“商”的，然后再用运算符号及括号把这些数或字母连接起来,3解题时要周密考虑，不能顾此失彼，要注意问题中的限制条件如用“2a”型的代数式表示偶数，似乎是约定俗成的模式，但对a有限制条件a应为整数，这两者是密不可分的，这个限制条件易被忽视，应当引起注意，问题中的限制条件决不是可有可无的东西又比如同类项的定义是以整式为前提的，虽未在定义中明确出现，但不能超越这个范围应用4整式乘法的基本运算形式有三种：同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，每种基本形式的运算法则不同，应分清问题所对应的基本形式，以便合理的应用法则应用三个基本公式的易错点是符号的处理，应当引起特别重视,平方差公式为(ab)(ab)a2b2，左边指的是相同两数和与两数差的乘积，即左边两个因式中有一个相同的项，有一个互为相反的项，并且公式中的a、b可以是数、单项式或多项式；右边是两个数的平方差，即相同的因式的平方减去相反因式的平方，充分了解这些结构特征对辨别是否可用平方差公式是很有帮助的完全平方公式(ab)2a22abb2，用语言可表述为：第一个数的平方，加上(或减去)第一、二两个数乘积的2倍，再加上第2个数的平方的代数式，即为完全平方式具体来说，要求第一、三项的性质符号相同，第二项应是第一、三两个数乘积的2倍，其符号可正可负,完成考点跟踪训练2,
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