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第二章二次函数（2）一、复习目标1、熟练把握二次函数与一元二次方程之间的联系并能熟练应用； 2、能用二次函数的知识解决生活中的实际问题及简单的综合运用。二、课时安排1课时三、复习重难点熟练把握二次函数与一元二次方程之间的联系并能熟练应用；能用二次函数的知识解决生活中的实际问题及简单的综合运用。四、教学过程（一）知识梳理1利用二次函数求最值的问题(1)利润最大化体会利用二次函数求解最值的一般步骤利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤： 找出销售单价与利润之间的函数关系式(注明范围)； 求出该二次函数图象的顶点坐标； 由函数顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润”(2)产量最大化体会利用二次函数求解最值的几种方式产量最大化问题与最大利润问题类似，若问题中的函数类型是二次函数，可以利用求二次函数的顶点处的函数值来解决也可以应用配方法求其顶点，利用函数图象也可以判断函数的最值 注意 在求最值问题中，我们常用二次函数的表达式求顶点坐标来求最值；也可以运用“数形结合”的方法，结合函数图象来判断求解最值；还可以利用列表的方法估计最值(3)与图形有关的最值问题直角三角形中矩形的最大面积：要求面积就需要知道矩形的两条边，因此，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了 警示 在利用二次函数解答涉及图形的最值问题时，要注意图形中自变量的取值范围及是否有实际意义，这是很多同学易犯错的地方 2二次函数与一元二次方程的关系 对于一元二次函数yax2bxc，只要令y等于某个具体的数y0，就可以将函数转化成一元二次方程，这个方程的解是抛物线上纵坐标为y0的点的横坐标特殊地，如果令y值为0，所得方程为ax2bxc0，该方程的解是抛物线与x轴交点的横坐标若方程无解，则说明抛物线与x轴无交点二次函数的图象和x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，可以总结如下：设yax2bxc(a0)，令y0，得：ax2bxc0.当b24ac0时，方程有两个不等实数根，二次函数的图象与x轴有个交点；当b24ac0时，方程有两个相等实数根，二次函数的图象与x轴只有个交点(即顶点)；当b24ac0时，方程没有实数根，二次函数的图象与x轴没有交点（二）题型、方法归纳类型一一元二次方程与二次函数的关系例1抛物线ykx27x7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是()Ak Bk且k0Ck Dk且k0解析 B先根据(7)24k(7)0得到k，由于是抛物线，所以k0.类型二二次函数与图形面积 例2如图X28，苗圃的形状是直角梯形ABCD，ABDC，BCCD.其中AB，AD是已有的墙，BAD135，另外两边BC与CD的长度之和为30米，如果梯形的高BC为变量x(米)，梯形面积为y(米2)，问：当x取何值时，梯形的面积最大？最大面积是多少？解析 从题中已知梯形(除去一腰)的长和一个特殊角BAD135，这里可利用梯形面积公式等相关知识构造出函数解析式解：作AECD于点E，如图X29，因为BAD135，则ADC45.所以BCAEED.又因为BCCEED30，则AB302x，CD30x，故y(ABCD)BC(302x)(30x)x，所以yx230x(0x15)配方得：y(x10)2150.即当x10时，y最大150(米2)类型三二次函数与几何图形例3如图，在矩形ABCD中，ABm(m是大于0的常数)，BC8，E为线段BC上的动点(不与B，C重合)连接DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CEx，BFy.(1)求y关于x的函数关系式；(2)若m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？(3)若y，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？解析 (1)设法证明y与x这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立y关于x的函数关系式；(2)将m的值代入(1)中的函数关系式，配方化成顶点式后求最值；(3)逆向思考，当DEF是等腰三角形，因为DEEF，所以只能是EFED，再由(1)可得RtBFERtCED，从而求出m的值解：(1)在矩形ABCD中，BC90，在RtBFE中，BEFBFE90.又EFDE，BEFCED90，CEDBFE，RtBFERtCED，即.y.(2)当m8时，y，化成顶点式：y22，当x4时，y的值最大，最大值是2.(3)由y及y得x的方程：x28x120，解得x12，x26.DEF中FED是直角，要使DEF是等腰三角形，则只能是EFED，此时，RtBFERtCED，当EC2时，mCDBE6；当EC6时，mCDBE2.即m的值为6或2时，DEF是等腰三角形在几何图形中建立函数关系式，体现了“数形结合”的数学思想，要注意运用“相似法”“面积法”与“勾股法”建立有关等式，从而转化为函数关系式这也是中考试卷中的常见考点类型四二次函数与生活应用例4利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)当每吨售价为260元时，月销售量为45吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由解析 当每吨材料售价为x元时，对应的销售量为吨，由此就可以列出函数解析式而对于当月利润最大时，月销售额也最大的问题时，我们只需注意两者的区别就是一个减去成本，一个不减成本解：(1)457.560(吨)(2)y(x100)，化简得：yx2315x24000.(3)yx2315x24000(x210)29075.当x为210元时，月利润y最大答：利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元(4)我认为，小静说的不对理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额Wx(x160)219200来说，当x为160元时，月销售额W最大当x为210元时，月销售额W不是最大小静说的不对方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；而当x为200元时，月销售额为18000元173250 B方程ax2bxc0的两根是x11，x23 C2ab0 D当x0时，y随x的增大而减小2已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图X213所示，现有下列结论：b24ac0；a0；b0；c0；9a3bc0.则其中结论正确的个数是()A2 B3 C4 D5 3抛物线yax2bxc(a0)的图象如图X214所示，则下列说法正确的是()图X214Ab24ac0 Babc0C1 Dabc0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是(1,0)(1)求c的值；(2)求a的取值范围；(3)该二次函数的图象与直线y1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当0a1时，求证：S1S2为常数，并求出该常数【答案】1.B2.B3.C4. 解：(1)该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少10 kg.(2)由题意，得y20(95010x)(95010x)2x240x14250.(3)y2x240x142502(x10)214450，当1x10时，y随x的增大而增大；当10x20时，y随x的增大而减小；当x10时，即在第10天，y取得最大值，最大值为14450元5. 解：(1)c1(2)将C(0,1)，A(1,0)代入得ab10，故ba1.由题意可知，b24ac0，可得(a1)24a0，即(a1)20，故a1.又a0，所以a的取值范围是a0且a1.(3)由题意0a1，ba1可得1，故B在A的右边，B点坐标为，C(0,1)，D，|AB|112，|CD|.S1S2SCDASABC|CD|1|AB|1111.所以S1S2为常数，该常数为1.五、板书设计第二章二次函数（2）1利用二次函数求最值的问题(1)利润最大化体会利用二次函数求解最值的一般步骤利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤： 找出销售单价与利润之间的函数关系式(注明范围)； 求出该二次函数图象的顶点坐标； 由函数顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润”2.二次函数的图象和x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系：设yax2bxc(a0)，令y0，得：ax2bxc0.当b24ac0时，方程有两个不等实数根，二次函数的图象与x轴有个交点；当b24ac0时，方程有两个相等实数根，二次函数的图象与x轴只有个交点；当b24ac0时，方程没有实数根，二次函数的图象与x轴没有交点六、作业布置单元检测试题（二） 七、教学反思
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