揭阳市2018届高中毕业班高考第一次模拟考试(理数)word

.揭阳市2018届高中毕业班高考第一次模拟考试数学（理科）本试卷共 4 页，满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合 ， ，则|3Ax2|3ByxABI（A） （B） （C） （D）(,)(,),)(,6)（2）已知复数 ，则2ziz（A）4 （B）6 （C）8 （D）10（3）已知向量 ， ，若 ，则,1ax,bab（A） （B ） （C ） （D）(2,0)(31)(3,1)(1,3)（4）一个圆柱形水桶，底面圆半径与高都为 2（桶底和桶壁厚度不计） ，装满水后，发现桶中有一个随处悬浮的颗粒，用一个半径为 1 的半球形水瓢（瓢壁厚度不计）从水桶中舀满水，则该颗粒被捞出的概率为（A） （B） （C ） （D）126413（5）已知 ，实数 满足 ，则sincofxxfftan2（A） （B） （C ） （D）43344（6）与中国古代数学著作算法统宗中的问题类似，有这样一个问题：“四百四十一里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走 441 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”.则该人最后一天行走的路程为（A）3.5 里 （B）7 里 （C）14 里 （D）28 里.-1 1 xy-1 1 xy-1 1 xy-1 1 xy件2件件件yy=xlog32+1y=2xx1件x正视图 侧视图俯视图22图 12 12 1（7）函数 的部分图象大致为|ln（A） （B） （C） （D）（8）已知两条直线 与 被圆 截得的线段长均为 ，则圆1:320ly2:360ly的面积为C（A） （B） （C ） （D）54（9）某几何体三视图如图 1 示，则此几何体的表面积为（A） （B ）641)(（C） （D）882（10）已知 F1、F 2 是双曲线 C 的两个焦点，P 是 C 上一点，线段的垂直平分线经过点 F2，且 ，则此双曲线P621C 的离心率为（A） （B ） 133（C） （D） 21（11）某地铁站有 A、B、C、D、E 五个自动检票口，有 4 人一同进站，恰好 2 人通过同一检票口检票进站，另 2 人各自选择不同的检票口检票进站，则不同的检票进站方式的种数为（A）60 （B）180 （C）360 （D）720（12）已知 是函数 的极值点，且满足 ，则符合要求0xsin2xf0021818fxx的 的个数为（A） （B） （C） （D）2150167第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)题 第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答第(22) 题 第(23)题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上（13）图 2 是一个算法流程图，若输入 x 的值为 ，则输出的2log3y 的值是 . （14）已知实数 满足约束条件 ，则 的,xy1yxxy取值范围为是 .167189201件 件件06106204件3PFCBDAE（15）已知数列 满足 ，设数列 的前 n 项和为 ，则na1212na anSn163=_. （16）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上的动点 （不在原点）在 轴上的投影为 ，24yxFPyE点 关于直线 的对称点为 ，点 关于直线 的对称点为 ，当 最小时，三角EPEEF形 的面积为 F三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17） （本小题满分 12 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，已知 ， 1)cos(in3CBA， .8sinsin7B7a（）求角 A 的值；（）求ABC 的面积（18） （本小题满分 12 分）如图 3，在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC平面 ABC，ABC 和PAC 都是正三角形， ，E、F 分别是 AC、BC 的中点，且2ACPDAB 于 D. （）证明：平面 PEF平面 PED；（）求二面角 的正弦值P（19） （本小题满分 12 分）某公司计 划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 100 元，在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 250元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得图 4的条形图：记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在 图 4购买易损零件上所需的费用（单位：元）,表示购机的同时购买的易损零件数.n（I）若 =19，求 y 与 x 的函数解析式；（II）以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件发生的概率 （）若要求“需更换的易损零件数不大于 ”的概率不小于 0.5，求 的最小值；nn（）假设 取 19 或 20，分别计算 1 台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望，以此n作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？.（20） （本小题满分 12 分）已知 A 是椭圆 上的动点，点 ，点 与点 关于原点对称.2:+14xTy1(0,)2PCA（I）求 PAC 面积的最大值；（II）若射线 、 分别与椭圆 T 交于点 、 ，且 ， ，证明：PCBDmPBnD为定值mn（21） （本小题满分 12 分）已知 ，函数 . 0axxfea（I）讨论 的单调性；fx（II）已知当 时，函数 有两个零点 和 （ ） ，求证： f12x12eaxf)(21请考生在第（22） 、 （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分（22） （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 （t 为参数），直线 l2 的参数方kyx24程为 （m 为参数），当 k 变化时，设 l1 与 l2 的交点的轨迹为曲线 C kyx2（I）以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 求曲线 C 的极坐标方程；（II）设曲线 C 上的点 A 的极角为 ，射线 OA 与直线 6 02)sin(:3l的交点为 B，且 ，求 的值)20(|7|O（23） （本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲已知函数 ，a 为实数|1|)(xaxf（I）当 时，求不等式 的解集； 13)(f（II）求 的最小值f.142+n数学（理科）参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数 一、选择题题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D B A A B C A B D C B解析: （9）由三视图知，该几何体是一棱长为 2 的正方体和一底面半径为 、高为 1 的圆柱的组2合体，其表面积 .2 2=51()S表 ()6（10）不妨设点 P 在第一象限，依题意有 ， ，又由1|cos30PFc12|FP得 .12|Fa3ca2e（11） ；4560CA（12）法 1：由 是函数 的极值点可得 ，即 ，故xsin2xf0()fx0cos2x因 ，当 时，0,3, 018,1,3,15， 成立；当 时，28x0fxx0709x；0012f当 时， ， ；综上知，满0,3,x 0183x00218218fxx足题意的 时，共 个5 6【法:2：由题意知 ，得 ( )；由 图象得 的解为kx20 120kxZ)(xfxf)(或 ，即 或 ，即 或11|801|80028|19，因 ( )故 无解，由 得0|7x0kx021|9x|7x时，共 个 】,3,25 6二、填空题题序 13 14 15 16答案 2 (,339.解析（16）显然 ，即 的最小值为 ，仅当 、 、 1EFPFPEF1PEF共线且点 在 、 之间时取等号，此时 ，即直线 20E 的斜率为 （取 也可） ，联立 ，可得 ，故3234yx3(,)P129PEFS三、解答题（17）解：（）由已知及 ，ACBcos)cos(得 ，-2 分1sin3A即 ，得 -4 分)6(221)6sin(又 ， ，75即 ；-6 分32A（）由已知及正弦定理得 ，-7 分87acb由余弦定理 ，Aaos22得 ， -9 分b64)(49解得 ，-10 分15bcABC 的面积为 -12 分4315sin2Abc（18）解：（）E、F 分别是 AC、BC 的中点，EF/ AB，-1 分在正三角形 PAC 中，PE AC ，又平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABC=AC，PE平面 ABC，-3 分PEAB，又 PDAB，PEPD=P，AB平面 PED， -5 分又 EF/AB， EF平面 PED，又 平面 PEF，平面 PEF平面 PED.-6 分EF（）解法 1：平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABC=AC，BEAC，.PFCBDAEz yxz yxPFCBDAEBE平面 PAC，-7 分以点 E 为坐标原点，EA 所在的直线为 x 轴，EB 所在的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系如图示，则 , ,-8 分(0)， ， (1),03),AB， ， ， ()P， ，, ,3B， ， 130PA， ， ， ，设 为平面 PAB 的一个法向量，()mabc则由 得,，令 ，得 ，即 -10 分30cab13,1ab(3,1)m设二面角 的大小为 ，则 ,EPAD5cos|EB，25sin1cos即二面角 的正弦值为 . -12 分】EPAD2【解法 2：由（）知 EF平面 PED，EF ED ，以点 E 为坐标原点，ED 所在的直线为 x 轴，EF 所在的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系如图示，AE=1，EAD=60，AD= , , ,123DE2B又 , , ,3PE(0),(,0),()A， ， ， ， (03)P， ，则 , , -8 分1()2A， ， 1(,)2D， 3()2EB， ，平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABC=AC，BEAC，BE平面 PAE，故 为平面 PAE 的法向量，-9 分3(0)2EB， ，设 为平面 PAD 的一个法向量，则由 得(,)mabc ,mADP.GEAD BCFP，令 得 ，故 -10 分31020abc12a(,01)m设二面角 的大小为 ，则 ,EPAD35cos|EB，25sin1cos即二面角 的正弦值为 . -12 分】EPAD2【解法 3：二面角 即二面角 C-PA-B，在平面 PAB 内过点 B 作 于 G，连结 GE,PA平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABC=AC，BEAC，BE平面 PAC， ,E又 ， ,BGPA 平面 BEG，PAGE ，EGB 为二面角 C-PA-B 的平面角，-8 分 , ，3BE3sin602AE， ，-11 分152G52iBGE即二面角 的正弦值为 . -12 分】EPAD2（19）解：（I）依题意得 -3 分190,19,()58xyN（） （）由条形图知, ， ， ，(6).n70.6Pn(18)0.24Pn，(19)0.24Pn故 ，-5 分8(1)()(18).4，- -6 分()90.46207Pn.由上可知，需更换的零件数不大于 18 的概率为 0.46,不大于 19 的概率为 0.7,故 的最小值为 19.-7 分n（）n 取 19 或 20，即每台机器在购机同时都购买 19 个或 20 个易损零件，设 1 台机器在购买易损零件上所需的费用分别为 元和 元,1y2则 的可能取值为：1900,2150,2400.1y且 , , ，(90).7P1(50).Py1(240).1Py故 (元) -9 分12.4Ey的可能取值为：2000,2250.2且 ， ，(0).9Py2(50).1Py故 （元） -11 分2 .E，所以购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件. -12 分1（20）解：（）设 ，依题意得点 ,-1 分,Axy1,Cxy则 -2 分11|2|PCSO点 A 在椭圆 上， ，-3 分:+4xTy1|2x （当且仅当 时等号成立）1|2PCS1PAC 面积的最大值为 1. -4 分（）证法 1：当直线 AP 的斜率存在时，设其方程为 ，12ykx由 ，消去 ，得 ，-5 分241xyky21+430kx设 ，由韦达定理，得 ，2,Bxy12243xk .而由 ，得 ，故 ， ，APmB121,2xymxy12xm1x代入、，得1224+3kx 两式相除，得 ，代入，整理得 ；- -7 分14mkx2219304+90mx对于射线 ，同样的方法可得 ，CP2219304nx故 是方程 的两个根， -9 分,mn21930+x由韦达定理， ； -10 分当直线 AP 的斜率不存在时，点 A 为椭圆 T 的上顶点或下顶点，当点 A 为（0,1）时，则B、C 重合于点（0.-1），D、A 重合，由 ， ，得 这时 ；-11 分PmBCnPD1,3mn103n若点 A 为椭圆 T 的下顶点（0,-1），同理可得 ；综上可知 为定值，该值为 .-12 分03【证法 2：当直线 AP 的斜率存在时，这时点 A 不在 y 轴上，即 x10，设其方程为 由 ，消去 ，得 ，-5 分12ykx214ykx2+430k设 ，由韦达定理，得 ，-6 分2,B22143k又 ，代入上式得 ，-7 分1xyk212)(yx由 ，得 ，故 ，APmB12,ym12xm.得 ，-8 分3)21(421yxm对于射线 ，同样的方法可得 ，-9 分CP 3)21(43)21(4)(2121 yxyxn -10 分302)4(21yxnm当直线 AP 的斜率不存在时，点 A 为椭圆 T 的上顶点或下顶点，当点 A 为（0,1）时，则B、C 重合于点（0.-1），D、A 重合，由 ， ，得 这时 ；-11 分PBCnPD1,3mn103n若点 A 为椭圆 T 的下顶点（0,-1），同理可得 ；综上可知 为定值，该值为 .-12 分】m03（21）解：（） ， ，,12xxxaexfe,12xafe若 ，显然 恒成立， 在 上单调递增；-2 分0a0ff,若 ，当 时， ，当 时， ，2e1x0xa1x0xfea故 在 上单调递减，在 上单调递增； -4 分fx,若 ，当 时， ，aexfx当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，1x20xa1ln2a0xealn2ax故 在 上单调递减，在 上单调递增；-6 分f,lnl,（）证法 1： ，故 ，结合 的单调性知，ae10faefx的两个零点 和 满足 以及 ，且 ，-7 分fxx2x20xae12x ， ，于是 ，-8 分2ea21xea21x.令 ， （ ）2xeg1则 ，-9 分22xxxxeee 记 ， ，2xhe1则 ， 在 上单调递减， ，故 ， 0xh(,)10hx0gx即函数 在 上单调递减， ，g(1,)1gx ，-11 分12x又 在 上单调递减，f（ -,) -12 分12xae【证法 2： ，故 ，结合 的单调性知，10faefx的两个零点 和 满足 以及 ，且 ，-7 分fx1x2x20ae12x要证明 ，只需证 ，即证 ，-8 分12fae1212x注意到 、 ，且 在 上单调递减，1x2,fx（ -,)故只需证 ，即证 ，-9 分12ffx210fx而 ，2222 xeefax 记 ， ， ，xge1,xge记 ， ，则 ，hex20xh故 即 单调递减， ，-11 分x0故 单调递减， ，g1gx于是 成立，原题得证-12 分】210fx.选做题：（22）解：（）直线 l1 的普通方程为 ， -1 分)2(4xky直线 l2 的普通方程为 ，-2 分kxy2联立两方程消去 k，得 ，即曲线 C 的普通方程为 ，-3 分 42yx由 得曲线 C 的极坐标 方程为 ；-4 分sincoyx )sin4(co22化简得 -5 分22(13)4（）把 代入 ，得 ，6si )413(2 ，得 ， -7 分727A由已知得 ，-8 分4B把 ， 代入方程 l3 得 ，6 2)6sin(又 ， -9 分202 ， -10 分641（23）解：（）当 时，不等式 即 ，-1a3)(xf 3|1|)(xf分当 时，得 ，无解；-2 分1x2)(xf当 时，得 ，3|解得 ，得 ；- -3 分2|3xx当 时，得 ，无解；-4 分12)(f综上知，不等式 的解集为 .-5 分)32,(（） ，- -6 分|1|)(22af|12a当 或 时， ，-8 分12|)(2f当 时， ，-9 分a|af综上知， 的最小值为 2-10 分)(f.