2019版中考数学复习 第五讲 韦达定理学案 新人教版.doc

2019版中考数学复习 第五讲 韦达定理学案 新人教版【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。4、能应用韦达定理分解二次三项式。知识框图 求代数式的值 求待定系数一元二次 韦达定理 应 用 构造方程方程的求根公式 解特殊的二元二次方程组 二次三项式的因式分解【典型例题】例1、已知 、是方程x-5x+1=0 的两个根，求下列代数式的值（1） + （2）（ - ） （3） + （4）+ （5）-5+3-解：由韦达定 理知+=5，=1（1）+=（+）-2=23（2）（-）=（+）-4=21（3） + = = =（4）+ =（+）-3（+）=110（5）-5+3-=3-（+）= -2评注：求关于两根的代数式的值，关键是将所给代数式合理地进行恒等变形，使其转化成+，表示的形式，主要运用配方法，通分，因式分解等方法。例2：已知方程2x-kx+4=0的一个根是1+ ，求另一根及k的值。解：设方程的另一根为x,由韦达定理知 解得方程的另一根为 -1，k的值为4。评注：本例主要熟悉并掌握运用根的定义及韦达定理求待定系数和方程的根。例3：已知关于x的方程x+2(m-2)x+m+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根积大21，求m的值。解：设x+2(m-2)x+m+4=0的两根值为x1, x2则x1+x2= -2(m-2), x1 x2=m+4由题意得：x12+ x22= x1 x2+21(x1+ x2) -3 x1x2-21=04(m-2) -3(m+4)-21=0m=17 , m= -1 把 m1=17 代入原方程得x+30x+293=0, 0方程无实数根， m1=17 不合题意，舍去 把 m2= -1代入原方程得x-6x+5=0 , 0m= -1评注：应用韦达定理求一元二次方程中待定系数是一种常见的方法，但应特别注意一元二次方程是否有根的检验，同时还应注意二次项系数及本身隐含的取值范围。例4：在实数范围内分解因式。（1）x-x+1 (2)-3y+y+1 (3)4x+8xy-y解：（1）令x-x+1=0，解方程得x= x-x+1 =(x- )(x- ) (2)令-3y+y+1=0，解方程得y= -3y+y+1=-3(y- )(y- )(3)把4x+8xy-y=0看作关于x为未知数的方程。令4x+8xy-y=0解方程得x= y ,4x+8xy-y=4(x- y ) (x- y) =(2x+2y- y)(2x+2y+ y)评注：当二次三项式不能公式进行分解时，往往令二次三项式等于0转化为一元二次方程，令ax+bx+c=0 两根为x,x,则ax+bx+c=a(x-x)(x-x),注意分解时二次项系数不要漏掉，当二次三项式含有两个字母时把其中一个字母看作未知数，另一个字母看作常数来解。【选讲例题】例：在三角形ABC中，a,b,c分别是A，B，C的对边，且C=5 ，若关于x的方程（5 +b) x2+2ax+(5 -b)=0有两个相等的实数根，又方程2x-(10SinA)x+5SinA=0的两个实数根的平方和为6，求ABC的面积。解：方程（5 +b)x+2ax+(5 -b)=0有两个相等的实数根=4a-(5 +b)(5 -b)=0即a+b=75c=5 a+b=cABC为 直角三角形，用C=90设x1,x2是2x-(10SinA)x+5SinA=0的两个实数根，则x1+ x2=5SinA ，x1 x2= SinAx1+ x2=6 (5SinA ) -SinA=6SinA= 或SinA= - (舍去）在RtABC中，C=5 , a=c， SinA=3b= =4SABC= ab=18评注：这是一道典型的综合性题，这汇集了根的判别式，勾股定理，根与系数的关系，三角函数，三角形面积等多方面的知识，解这类综合题时，要理清楚思路，抓拄每个给出的条件，得到相应的结论，从而环环地将绳索解开。【基础练习】1、填空：（1）设，是方程3x-5x+1=0的两根，则+=_（2）若 +1是方程x-kx+1=0的一个根，则k=_（3）分解因式2x+3x-1=_（4）若方程3x-x+m-4=0有一正一负两个根，则m的取值范围是_（5）已知a,b是方程x+(m-1)x+1=0的两个根，则（a+ma+1)(b+mb+1)的值为_（6）方程x+8x-1=0的两个根为，则3+2+8-9=_2、已知a-3a=1,b-3b=1,求 + 的值。3、三角形ABC 的三边长分别为 a,b,c，满足b=8-c, a-12a-bc+52=0,试判断三角形ABC的形状。4、s,t满足19s+99s+1=0,t+99t+19=0 ，并且st1,求 的值。【课堂小结】1、掌握韦达定理 2、掌握韦达定理的几个应用。【巩固练习】1、因式分解6xy+7xy-3=_2、解方程组3、如果直角三角形三条边a,b,c,都满足方程x-mx+ =0,求三角形的面积。4、已知方程2x-8x-1=0的两个根为,不解方程，求解以 + ,( -1)( -1)为根的一元二次方程。5、已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p,q，且满足关系式 , 试求这个一元二次方程。6、已知, 是一元二次方程4kx-4kx+k+1=0的两个实根（1）是否存在实数根k，使（2-)( -2)= -成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。（2）求使 + -2的值为整数的实数k的整数值。【课后反思】