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第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数锐角三角函数(第1课时)学习目标1.理解认识正弦概念;2.在直角三角形中求出某个锐角的正弦值.学习过程一、自主探究得到概念1.为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30,为使出水口的高度为35 m,那么需要准备多长的水管?这个问题可以归结为:如图,在RtABC中,C=90,A=30,BC=35 m,求AB的长.思考:(1)如果使出水口的高度为50 m,那么需要准备多长的水管?如果使出水口的高度为a m,那么需要准备多长的水管?答:(2)在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么不管三角形的大小如何,这角的对边与斜边的比值都等于.(3)直角三角形中,45角的对边与斜边的比值是.(4)在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,A的对边与斜边的比都是一个固定值?答:(5)推理与证明:观察图中的RtAB1C1、RtAB2C2和RtAB3C3,它们之间有什么关系?你能得到(4)中的结论吗?解:2.结论:在RtABC中,锐角A的对边与斜边的比是一个,也即是对于锐角A的每一个确定的值,其对边与斜边的是唯一确定的. 3.认识正弦如图,在RtABC中,A,B,C所对的边分别记为a,b,c,C=90,我们把锐角A的的比叫做A的正弦,记作sin A.sin A=A的对边斜边=ac.4.追问:(1)B的正弦怎么表示?答:(2)在RtABC中,若a=1,c=3,则sin A=sin B=.二、合作探究完成例题1.如图,在RtABC中,C=90,求sin A和sin B的值.【思路点拨】根据勾股定理,先求出AC的长,再运用正弦的定义计算即可.解:2.在ABC中,C=90,AC=5,sin A=23,求AB的长.【思路点拨】根据正弦的定义可以得到BC与AB的比值,因而可以设BC=2x,则AB=3x,根据勾股定理即可求得x的值,进而得到AB的长度.解:三、课堂小结系统知识1.什么是正弦?答:2.根据你对正弦概念的理解,完成下列填空:(1)正弦是一个,没有单位.(2)正弦值只与的大小有关,与三角形的大小无关.(3)sin A是一个符号,不能写成sin A.(4)当用字母表示角时,角的符号“”不能省略,如sinABC.(5)sin2A表示,不能写成sin A2.四、当堂训练提升能力1.把ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值()A.不变B.缩小为原来的三分之一C.扩大为原来的3倍D.不能确定2.如图,在RtABC中,C=90,AB=5,BC=3,则sin A的值是()A.43B.34C.35D.453.如图所示,已知P点的坐标是(a,b),则sin 等于()A.abB.baC.aa2+b2D.ba2+b24.如图,在RtABC中,C=90,AB=2BC,则sin B的值为.第4题图第5题图5.在RtABC中,已知C=90,sin A=35且AB=15,则BC=.6.如图,在O中,过直径AB延长线上的点C作O的一条切线,切点为D.若AC=7,AB=4,求sin C的值.解:评价作业(满分100分)1.(8分)在RtABC中,C=90,AB=2,AC=1,则sin B的值为()A.12B.22C.32D.22.(8分)三角形在正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中的位置如图所示,则sin 的值是()A.34B.43C.35D.453.(8分)在ABC中,C=90,AB=15,sin A=13,则BC等于()A.45B.5C.15D.1454.(8分)如图所示,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,若AC=5,BC=2,则sinACD的值为()A.53B.255C.52D.235.(8分)在RtABC中,C=90,AC=5,AB=8,则sin A=. 6.(8分)在RtABC中,C=90,BC=4,sin A=23,则AB=. 7.(12分)如图所示,AB是O的直径,点C,D在O上,且AB=5,BC=3,则sinBAC=,sinADC=,sinABC=. 8.(10分)在RtABC中,C=90,AC=1 cm,BC=2 cm,求sin A和sin B的值.9.(10分)如图所示,菱形ABCD的周长为40 cm,DEAB,垂足为E,sin A=35.(1)求BE的长;(2)求菱形ABCD的面积.10.(20分)如图所示,在ABC中,C=90,AC=BC,BD为AC边上的中线,求sinABD的值.参考答案学习过程一、1.自主探究得到概念思考:(1)答:100 m2a m.(2)12.(3)22.(4)答:是一个固定值.(5)解:RtAB1C1,RtAB2C2和RtAB3C3中,A是它们的公共角,RtAB1C1RtAB2C2RtAB3C3,B1C1AB1=B2C2AB2=B3C3AB3.2.固定值比值.3.对边与斜边4.追问:(1)答:sin B=B的对边斜边=bc.(2)13223.二、合作探究完成例题1.解:如图(2)所示,在RtABC中,由勾股定理得AC=AB2-BC2=132-52=12.因此sin A=BCAB=513,sin B=ACAB=1213.2.解:在直角ABC中,sin A=BCAB=23,设BC=2x,则AB=3x,根据勾股定理可以得到:(3x)2-(2x)2=25,即5x2=25,解得:x=5,则AB=3x=35.三、课堂小结系统知识1.答:在RtABC中,C=90,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦,记作sin A,即sin A=A的对边斜边=ac.2.(1)比值(2)角(3)整体(4)三个(5)(sin A)2四、当堂训练提升能力1.A2.C3.D4.325.9 6.解:连接OD,CD是O的切线,ODC=90,AC=7,AB=4,半径OA=2,则OC=AC-AO=7-2=5,sin C=ODOC=25.评价作业1.A2.C3.B4.A5.3986.67.3545458.解:由勾股定理可得AB=12+22=5(cm),所以sin A=BCAB=25=255,sin B=ACAB=15=55.9.解:(1)菱形ABCD的周长为40 cm,AD=AB=10 cm.又DEAB,sinA=35,DEAD=35,即DE10=35,解得DE=6,在直角ADE中,由勾股定理得到:AE=AD2-DE2=102-62=8,则BE=AB-AE=10-8=2,即BE=2 cm.(2)由(1)知DE=6,则菱形ABCD的面积=ABDE=106=60(cm2).10.解:如图所示,作DEAB于E.设BC=AC=2x,BD为AC边上的中线,CD=AD=12AC=x.在RtBCD中,根据勾股定理,得BD=5x.C=90,AC=BC,A=CBA=45,又DEAB,A=EDA=45,AE=DE=22x,在RtBDE中,sinABD=DEBD=22x5x=1010.
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