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1,第八讲向量组的线性关系,主要内容,维向量、向量组的概念,线性组合与线性表示；,线性相关与线性无关；,向量组线性相关性的重要结论.,基本要求,理解向量组的线性组合的概念，理解一个向量能由一个向量组线性表示的概念并熟悉这一概念与线性方程组的联系；,理解维向量的概念，理解向量组的概念及向量组与矩阵的对应；,2,理解向量组能由向量组线性表示的概念及其矩阵表示式，知道这一概念与矩阵方程的联系.知道两个向量组等价的概念；,理解向量组线性相关、线性无关的概念，并熟悉这一概念与齐次线性方程组的联系.,3,一、维向量,第一节向量组及其线性组合,定义,个有次序的数所组成的数组称为维向量，,这个数称为该向量的个分量，第个数称为第个分量.,说明,向量分为实向量和复向量，分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.,个数组成的有序数组可以写一行，也可以写成一列，写成一行称为行向量，写成一列称为列向量，也就是行矩阵和列矩阵.,规定行向量和列向量都按矩阵的运算规则进行运算.,4,分量对应相同的列向量和行向量,按定义是同一个向量，但是总看作是两个不同的向量.,列向量常用小写黑体字母表示，或用希腊字母表示.行向量则用列向量的转置表示.如,5,“向量”几何术语，可以说，本章是介绍线性代数的几何理论.,把线性方程组的理论、矩阵理论“翻译”成几何语言.,可以把有向线段作为维向量的几何形象，,但是当时，维向量就不再有这种几何形象了.,点的集合通常称为“空间”，引入坐标系后，点的坐标与向量之间有一一对应关系，因此,某些向量的集合称为向量空间，沿用几何术语，如,3维空间,3维向量空间,6,3维空间中的一个平面,3维向量空间中的一个平面,维向量空间,维向量空间中的一个超平面,7,二、向量组,1.定义,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组.,例如,一个矩阵的全体列向量就是一个含个维列向量的向量组；,一个矩阵的全体行向量就是一个含个维行向量的向量组；,方程的全体解是一个维列向量组成的向量组.,注意,向量组可以是含有有限个向量，也可以是含有无限个向量.,8,2.含有限个向量的有序向量组与矩阵的联系,矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵.,列向量组,行向量组,9,三、向量组的线性组合,定义,给定向量组，对于任何一组实数，表达式,称为向量组的一个线性组合，称为这个线性组合的系数.,说明,向量组的线性组合就是向量的线性运算的表达式.,线性组合的系数可以是任意实数.,10,四、线性表示的概念,定义,给定向量组和向量，如果存在一组数，使得,即是向量组的线性组合，则称向量能由向量组线性表示.,定义,设有两个向量组和，,如果向量组中的每个向量都能由向量组线性表示，则称向量组能由向量组线性表示.,如果向量组与向量组能互相线性表示，则称这两个向量组等价.,11,说明,向量能由向量组线性表示，就是存在，使,也就是线性方程有解.,向量组能由向量组线性表示，就是存在组数,使得,12,记作,其中矩阵称为这一线性表示的系数矩阵.,即向量组能由向量组线性表示，就是存在矩阵，使得,也就是矩阵方程有解.,这就是向量组由向量组线性表示的矩阵表示式.,13,若，,则矩阵的列向量组能由矩阵的列向量组线性表示，为这一表示的系数矩阵：,14,若矩阵与矩阵行等价，则的行向量组与的行向量组等价；,若矩阵与矩阵列等价，则的列向量组与的列向量组等价.,证,矩阵与矩阵行等价,存在可逆矩阵，使得,的行向量组能由的行向量组线性表示；,矩阵与矩阵行等价,存在可逆矩阵，使得,的行向量组能由的行向量组线性表示.,15,五、线性表示与方程的联系,根据以上说明，线性表示与方程的联系为：,向量能由向量组线性表示,线性方程有解.,向量组能由向量组线性表示,矩阵方程有解.,向量组与向量组等价,矩阵方程有解,而且矩阵方程也有解.,16,六、线性表示的判定,定理1,向量能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩.,定理2,向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩，,即,推论,其中和分别时向量组和所构成的矩阵.,根据线性表示与方程的联系和方程组的理论，得,证明,（上章定理5）,（上章定理7）,17,解,析：此题的目的是运用定理1证明向量能否由一个向量组线性表示，另外，此题涉及线性表示式的求法.由定义知，向量能由向量组线性表示,方程有解，即有解，,这表明由向量组线性表示的表示式与方程的解是一一对应的.,例题讲解,18,记,可见,因此，向量能由向量组线性表示.,例题讲解,19,由上述行最简形，可得方程的通解为,因而，所求的表示式为,例题讲解,20,证明向量组与向量组等价.,例2设,证,例题讲解,析：此题的目的是运用定理2的推论来证明两向量组等价.,记,21,例题讲解,而且,由以上可见,因此，向量组与向量组等价.,22,说明,定理2的有力、简洁之处在于它把下述两个问题等价起来：,向量组能由向量组线性表示,前者是抽象的维向量空间中的问题，而后者则是具体的，可程式化计算的问题.,关系式仅给出向量组与向量组等价的信息，如果要解决它们是如何相互线性表示的，即要求出组与组相互表示的系数矩阵，亦即要求矩阵方程与，需进一步求矩阵或的行最简形.,23,例题讲解,例3（定理3）设向量组能由向量组线性表示，则,证,记,能由向量组线性表示,（由定理2）,（由矩阵的秩的性质）,说明,此定理可上章定理8对应.,存在，使得，从而由上章定理8，有,24,定理1与上章定理5对应、定理2与上章定理7对应、定理3与上章定理8对应，这些对应关系，是以向量组与矩阵的对应关系为基础的，反映出方程语言、矩阵语言、几何语言三者之间可以转换，例如：,可作如下的解释:,矩阵语言：,方程语言：,是与的乘积矩阵；,是矩阵方程的一个解；,几何语言：,向量组能由向量组线性表示，是这一表示的系数矩阵.,25,例题讲解,例4设维向量组构成矩阵，阶单位矩阵的列向量组叫做维单位坐标向量组.证明维单位坐标向量组能由向量组线性表示的充要条件是,证,能由向量组线性表示,（由定理2）,而,且,所以,因此,26,说明,本例有两方面的意义：,中任一向量组都能由组线性表示，反过来，如果组能由向量组线性表示，那么组应满足是么条件呢，本例给出了它的充要条件.,当为阶方阵时，矩阵方程有解的充要条件是可逆，即为满秩矩阵，且其唯一解：,本例“翻译”成其它语言为：,方程语言：,方程有解的充要条件为,即的秩等于的行数（称为行满秩矩阵）.,27,矩阵语言：,存在矩阵使的充要条件是；,存在矩阵使的充要条件是.,显然，当时，就是的逆阵，因此，上述的结论可以看作逆阵概念的推广.,28,七、小结,掌握几何语言，即掌握本章中的概念（定义）是学好本章的关键.,方程组理论是在矩阵运算和矩阵的秩的基础上建立起来的，几何的基本元素是向量，而向量组可等同于矩阵，因此，矩阵是连结方程组理论与几何理论的纽带，又是解决问题是最常用的方法.,两个矩阵等价与两个向量组等价的区别和联系：,区别：两个同型矩阵与等价是指可经过有限次初等变换变成，两个不同型矩阵是无所谓等价的；两个向量组等价是指它们能够相互线性表示，它们各自所含向量的个数可以不一样.,29,联系：若与行等价，则与的行向量组等价；若与列等价，则与的列向量等价；若与等价但非行等价也非列等价，则与的行向量组与列向量组都不等价.,反过来，设两个向量组等价，若它们所含向量个数不相同，则它们对应的两个矩阵不同型，显然不等价；若它们所含个数相同，则它们对应的两个矩阵列等价，但不一定行等价.,30,一、线性相关与线性无关的概念,第二节向量组的线性相关性,定义,给定向量组，如果存在不全为零的数，使,则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关.,说明,说向量组线性相关，通常是指的情形，但上述定义也适用的情形：,当时，向量组只含一个向量.,向量组，当时是线性相关的，当时是线性无关的.,向量组线性无关，就是不存在不全为零的数，使,31,换句话说：若向量组线性无关，且,则,零向量可以是任何向量组的线性组合：,如果组合系数可以不全为零，则线性相关；如果组合系数必须全为零，则线性无关.,若向量组线性相关，则存在不全为零的数，使,不妨设，则有,32,所以，若向量组线性相关，则中至少有一个向量能由其余个向量线性表示.此结论反之也成立：,若向量组中某个向量能有其余个向量线性表示，则向量组线性相关.,存在不全为零的数，使,就是方程组有非零解.,证明,33,二、线性相关与齐次方程组的联系,向量组线性相关,齐次线性方程组,有非零解.,向量组线性无关,齐次线性方程组,只有零解.,34,三、线性相关与线性无关的判定,35,例题讲解,例5试讨论维单位坐标向量组的线性相关性.,解,析：此例题的目的是运用定理4，给出单位坐标向量组的线性相关性.,维单位坐标向量组,它所构成的矩阵是阶单位矩阵,由,知,所以,维单位坐标向量组线性无关.,36,证,析：此题是一个具体问题，根据定理4，需要计算和.,由此可见,所以,线性相关；,线性无关.,例题讲解,37,例题讲解,注意：,可见,所以,向量组线性相关；,向量组线性无关.,38,例7已知向量组线性无关，试证向量组线性无关.,证,析：此例具有典型意义，它讨论在给定线性无关的向量组的条件下，由它们的若干个线性组合所构成的向量组的线性相关性.,对于这一类未给出分量数值的向量组的线性相关性下面给出三种方法，都具有一般意义.,因组向量没有具体给出它们的分量，故不能具体计算出组向量，也就无从通过初等行变换等方法求组的秩，进而判定它是否线性相关.,例题讲解,39,证一,设有使,即,亦即,因线性无关，故有,由于此方程组的系数行列式,例题讲解,40,故方程组只有零解，所以向量组线性无关.,例题讲解,证二,设,即有,因为矩阵的列向量组线性无关，所以可推知,又因知方程组只有零解,所以矩阵的列向量组线性无关.,41,例题讲解,证三,因为,可知可逆，,因此与列等价，,从而有,又矩阵的列向量组线性无关，,所以,因而,所以矩阵的列向量组线性无关.,（由定理4）,（由定理4）,42,说明,证二与证三更多地使用矩阵语言，是两种最基本而奏效的方法.,证一是把证明向量组线性无关转化为证明齐次方程组只有零解，这是讨论向量组线性相关性时常用的“标准程序”.然后完全用方程的语言证得结论.,证二是先写出组由组线性表示的矩阵表示式，,或,然后把证一的步骤全用矩阵语言来表述.,证三是利用定理4，实现向量组线性无关与矩阵的秩的直接转换（不用方程作过渡）.,43,四、向量组线性相关性的其它重要结论,向量组线性相关的充要条件是存在某个向量，使能由其余个向量线性表示.,2.（定理5）,（）若向量组线性相关，则向量组也线性相关.,（）个维向量组成的向量组，当时一定线性相关.,（）设向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示式是唯一的.,证明,证明,证明,44,说明,定理5（）表明，线性相关的向量组添加向量后，仍然是线性相关的.特别地，含有零向量的向量组线性相关.反之，线性无关的向量组减少向量后，仍然是线性无关的.,结论1表明线性相关的向量组中的向量不是“独立”的.,相应地，向量组线性无关的充要条件是中任意一个向量均不能由其余向量线性表示.,这形象地表明，线性无关的向量组中的向量“谁也表示不了谁”.,定理5（）表明，向量个数超过向量维数向量组线性相关.特别地，在平面中找不到三个线性无关的向量，在维超平面中找不到个线性无关的向量.,45,例题讲解,证,（1）因为线性无关，则线性无关，,又线性相关，,因此能由线性表示.,（2）用反证法,假设能由线性表示，即,存在，使,又由（1）知存在，使,从而有,这与线性无关矛盾.,46,（2）方法二,线性相关,线性无关,而,从而有,由此可知，方程组无解，,即不能由线性表示.,47,例题讲解,解析：先解(2)，若(2)已解出，(1)自然成立.,48,因此与同解，,也就是与有相同的线性关系，,由最后的行最简形，易知,例题讲解,49,因而，向量组能由向量组线性表示为,其中，矩阵,因此,即,1,2,例题讲解,50,五、小结,向量组线性相关、线性无关的几何解释，先以3维向量为例：,共线,（由定义）,存在实数，使，即两向量分量对应成比例,（几何事实）,存在不全为零的数，使,向量组线性相关,（线性相关的定义）,因此，形象地看，,51,向量确定了唯一的一张通过原点的平面,（几何事实）,对任意不全为零的实数，总有,（向量和的三角形法则）,若有成立，则必有,向量组线性无关.,（线性无关的定义）,因此，形象地看，,52,类似地，有,维向量线性相关,共一个维超平面.,维向量线性无关,不在同一维超平面.,53,矩阵的初等行变换对矩阵的行量组和列向量组的作用：,设矩阵经初等行变换变成,矩阵与的行向量组等价，即它们能相互线性表示，所以齐次方程与同解，这是用初等行变换求解线性方程组的理论基础.,矩阵与的列向量组有相同的线性关系，这是用初等行变换求向量组的最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示的理论基础.,54,向量组与向量组有相同的线性关系是指,与一一对应；,的任一部分组,具有某种线性关系，对应的的部分组也有相同的线性关系.,55,作业：,P1081.3.4.5.7.11.12.,56,定理2推论的证明,证,向量组与向量组等价,向量组能由向量组线性表示,向量组与向量组等价,向量组能由向量组线性表示,又因为,因此,证毕,（由定理2）,（由定理2）,57,若向量组中某个向量能有其余个向量线性表示，则向量组线性相关.,证,向量线性表示，,向量组中某个向量能有其余个,不妨设能由线性表示，,即存在使,于是,向量组线性相关.,证毕,显然个数不全为零，所以,58,证,向量组线性相关，,则存在不全为零的个数，使,则有,向量组线性相关.,（由定义）,59,向量组线性相关.,向量组线性相关.,证毕,60,个维向量组成的向量组，当时一定线性相关.,证,设有个维向量,记,当时，则有,证毕,61,设向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示式是唯一的.,证,记,因为线性无关，所以,因为线性无关，所以,又,故有,因此,因而方程组有唯一解，即有,能由向量组线性表示，且表示式是唯一的.,证毕,
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