2019-2020年八年级数学下册第17章勾股定理17.1勾股定理一课一练基础闯关1含解析新版新人教版.doc

2019-2020年八年级数学下册第17章勾股定理17.1勾股定理一课一练基础闯关1含解析新版新人教版题组利用勾股定理求(直角)三角形的边长或高1.正方形的面积是4,则它的对角线长是()A.2B.C.2D.4【解析】选C.设正方形的对角线为x,正方形的面积是4,边长的平方为4,由勾股定理得:x=2.2.如图,ABC中,AB=AC,AD是BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为()A.5B.6C.8D.10【解析】选C.AB=AC,AD是BAC的平分线,ADBC,BD=CD,AB=5,AD=3,BD=4,BC=2BD=8.3.(xx黄冈中考)已知:如图,在AOB中,AOB=90,AO=3cm,BO=4cm,将AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到A1OB1处,此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点,则线段B1D=_cm.【解析】点D为AB的中点,根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得:OD=AB=2.5.由题意可得:OB1=OB=4.所以B1D=OB1-OD=4-2.5=1.5(cm).答案:1.5【变式训练】(xx老河口市期中)如图,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足为点D,若AC=6,BC=8,则CD等于()A.1B.2C.3D.4.8【解析】选D.ACB=90,AB=10,ACBC=ABCD,即68=10CD,解得CD=4.8.4.如图,在RtABC中,AB=9,BC=6,B=90,将ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为_.【解析】设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=9-x,点D是BC的中点,BD=3,在RtDBN中,x2+32=(9-x)2,解得x=4.即BN=4.答案:45.(xx泸州中考)在ABC中,已知BD和CE分别是边AC,AB上的中线,且BDCE,垂足为O,若OD=2cm,OE=4cm,则线段AO的长度为_cm.【解析】如图,连接AO,作OFAB于点F,BD,CE是ABC的中线,OB=2OD=4,OE=4,BDCE,BOE是等腰直角三角形,AE=BE=4,OF=EF=2,AF=6,AO=4.答案:4(xx长春中考)如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图2,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,ABF,BCG,CDH,DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为_.【解析】依题意知,BG=AF=DE=8,EF=FG=2,BF=BG-FG=6,直角ABF中,利用勾股定理得:AB=10.答案:10题组勾股定理与图形面积1.(xx防城港期中)如图,在RtABC中,ACB=90,若AB=15,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为()A.225B.200C.250D.150【解析】选A.正方形ADEC的面积为:AC2,正方形BCFG的面积为:BC2;在RtABC中,AB2=AC2+BC2,又AB=15,则AC2+BC2=225.【变式训练】(xx莆田模拟)如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是_.【解析】根据勾股定理的几何意义,可得A,B的面积和为S1,C,D的面积和为S2,S1+S2=S3,于是S3=S1+S2,即S3=2+5+1+2=10.答案:102.(xx温州中考)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为RtABM较长直角边,AM=2EF,则正方形ABCD的面积为()A.12SB.10SC.9SD.8S【解析】选C.由题意可知小正方形边长,EF=EH=HG=GF=,4个白色的矩形全等,且矩形的长均为,宽为(-),则直角三角形的短直角边长为.由勾股定理得AB=3,所以正方形ABCD的面积为9S.3.如图,在ABC中,ABC=90,分别以BC,AB,AC为边向外作正方形,面积分别记为S1,S2,S3,若S2=4,S3=6,则S1=_.【解析】由题意得S1=CB2,S2=AB2,S3=AC2,由勾股定理可得AB2+CB2=AC2;则有S2+ S1= S3,即4+ S1=6,则S1=2.答案:2【变式训练】如图,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,其中两个半圆的面积S1=,S2=2,则S3=_.【解析】如图,由圆的面积公式得S1=,S2=2,解得c2=25,a2=16.根据勾股定理,得b2=c2-a2=9.所以S3=b2=.答案:4.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为_.【解析】因为a,b,c都是正方形,所以AC=CD,ACD=90.ACB+DCE=ACB+BAC=90,即BAC=DCE,ABC=CED=90,AC=CD,ACBCDE,AB=CE,BC=DE.在RtABC中,由勾股定理得:AC2=AB2+BC2=CE2+DE2,即Sb=Sa+Sc=11+5=16.答案:165.已知RtABC的两直角边分别为6,8,分别以它的三边为直径向上作三个半圆,求图中阴影部分的面积.【解析】因为ABC是直角三角形,且AC=6,BC=8,所以根据勾股定理,得AB2=AC2+BC2=62+82=100=102,AB=10,S阴影=+68-=24.题组勾股定理的证明1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是()【解析】选D.A,B,C都可以利用图形面积得出a,b,c的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C选项不符合题意;D.不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项符合题意.2.由四个全等的直角三角形组成的如图所示的“赵爽弦图”,若直角三角形斜边长为2,一个锐角为30,则图中阴影部分的面积为()A.1B.3C.4-2D.4+2【解析】选C.直角三角形斜边长为2,一个锐角为30,该直角三角形的两直角边分别为1,S阴影=22-41=4-2.3.如图,这是美国第20届总统加菲尔德的构图,其中RtADE和RtBEC是完全相同的,请你试用此图形验证勾股定理的正确性.【证明】因为S梯形ABCD=AB(AD+BC)=(a+b)(a+b)=a2+ab+b2,又因为S梯形ABCD=SADE+SDEC+SBEC=ADAE+DECE+BEBC=ab+c2+ab=ab+c2,所以a2+ab+b2=ab+c2,得c2=a2+b2.即在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方.(xx阜新月考)如图,是两个全等的直角三角形硬纸板(直角边分别为a,b,斜边为c).(1)用这样的两个三角形构造成如图的图形,请利用这个图形验证勾股定理.(2)假设图中的直角三角形有若干个,请运用图中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形,画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理.【解析】(1)四边形ABCD是梯形,S梯形ABCD=(a+b)(a+b)=2ab+c2,即(a2+2ab+b2)=ab+c2,a2+b2=c2.(2)如图所示,可以证明a2+b2=c2.验证:大正方形的面积=4ab+(b-a)2大正方形的面积=c2,4ab+(b-a)2=c2,整理得:a2+b2=c2.(xx白银中考)如图,一张三角形纸片ABC,C=90,AC=8cm,BC=6cm.现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕长等于_cm.【解析】因为C=90,AC=8cm,BC=6cm,所以由勾股定理可得,AB=10cm.又因为将纸片折叠:点A与点B重合,所以ADE=90,AD=5cm.连接BE.设AE=x,则CE=8-x,BE=x,所以(8-x)2+62=x2,解得x=.在RtBDE中,BE=cm,BD=5cm,所以DE=(cm).答案:【母题变式】变式一如图1,在RtABC中,B=90,AB=3,BC=4,将ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B重合,AE为折痕,则EB=_.图1【解析】根据折叠可得BE=EB,AB=AB=3,设BE=EB=x,则EC=4-x,B=90,AB=3,BC=4,在RtABC中,由勾股定理得,AC=5,BC=5-3=2,在RtBEC中,由勾股定理得,x2+22=(4-x)2,解得x=1.5.答案:1.5变式二如图2,在ABC中,B=90,AB=3,AC=5,将ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则ABE的周长为_.图2【解析】由勾股定理得BC=4,因为点C与A关于DE对称,所以EC=EA,ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7.答案:7【方法技巧】关于折叠问题,要抓住折叠前后的对应边相等,对应角相等.其解题步骤为:(1)利用重合的图形得出所需对应边、角相等(一般不用重合的图形进行计算).(2)选择合适的直角三角形,一般这个直角三角形已知一边,另两边可通过重合图形找到数量关系,利用勾股定理列方程求解.变式三如图3,在RtABC中,ACB=90,AD平分BAC与BC相交于点D,若BD=4,CD=2,则AB的长是_.图3【解析】过点D作DEAB于点E,如图,在RtABC中,C=90,ACCD.又AD平分CAB,DEAB,DE=CD,AC=AE.又CD=2,DE=2.在RtDBE中,DEB=90,DE=2,BD=4,BE=2.在RtABC中,设AC=x,又AC=AE.则AB=2+x,x2+62=(x+2)2,x=2,AB=2+2=4.答案:4