2019年高中数学联赛江苏赛区初赛题.doc

2019年高中数学联赛江苏赛区初赛题.doc一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分要求直接将答案写在横线上）1 复数 答案：82 已知直线是圆的一条对称轴，则实数 .答案：3 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）答案：4 已知，则 答案：5 已知向量a，b满足，则以向量与表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为 答案：6 设数列an的前n项和为Sn若Sn是首项及公比都为2的等比数列，则数列an3的前n项和等于 答案：7 设函数若f(a)f(b)，且0ab，则ab的取值范围是 答案：(0,2)8 设f(m)为数列an中小于m的项的个数，其中，则 答案：69 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 答案：410已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值是 答案：3,14,30二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11已知圆与抛物线有公共点，求实数h的取值范围解：设公共点（cos，sin），代入抛物线方程，得因为，所以12设若时，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上单调递增，故有，从而且若有实根，则，在区间有即消去c，解出即，这时，且若无实根，则，将代入解得综上所以，单调递减故13如图，P是内一点（1）若P是的内心，证明：；（2）若且，证明：P是的内心ABCP证明：（1）14已知是实数，且存在正整数n0，使得为正有理数证明：存在无穷多个正整数n，使得为有理数证明：设，其中p，q为互质的正整数，则设k为任意的正整数，构造，则