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第四节,1,基本积分法:直接积分法;,换元积分法;,分部积分法,初等函数,初等函数,机动目录上页下页返回结束,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第四章,有理函数rationalfunction,真分式properfraction,假分式improperfraction,生词,一、有理函数的积分,3,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式.,机动目录上页下页返回结束,简单分式:,形如,的分式.(其中A、a、M、N、p、q为常数),定理.任何一个真分式,4,机动目录上页下页返回结束,(无公因子),都可,分解成若干个简单分式之和,并且,(1)若Q(x)=0有k重实根a(即把Q(x)在实数范围内因式分,解,含有因子),则分解时必含有以下的分式:,(2)若Q(x)=0有一对k重共轭复根,和,(即把Q(x)在实数,范围内因式分解,含有因子),则分解时必含有,5,机动目录上页下页返回结束,简单分式之和,而这些简单分式不外乎为以下四种类型:,于是,求任何一个真分式的不定积分问题,也就转化为求,以上四种类型的不定积分.,6,机动目录上页下页返回结束,求四种类型的不定积分：,7,机动目录上页下页返回结束,求四种类型的不定积分：,上一节例9,四种类型的不定积分,都为初等函数,8,机动目录上页下页返回结束,有理函数的不定积分：,有理函数,多项式+真分式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,结论:有理函数的不定积分为初等函数.,例1.将下列真分式分解为部分分式:,9,解:,(1)用拼凑法,机动目录上页下页返回结束,(2)用赋值法,10,故,机动目录上页下页返回结束,(3)混合法,11,机动目录上页下页返回结束,原式=,例2.求,12,解:已知,例1(3)目录上页下页返回结束,例3.求,13,解:原式,思考:如何求,机动目录上页下页返回结束,提示:,变形方法同例3,并利用上一节课件例9.,例4.求,14,机动目录上页下页返回结束,解:,令,得,原式,例5.求,15,解:,机动目录上页下页返回结束,说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例6.求,16,解:原式,机动目录上页下页返回结束,例7.求,17,常规目录上页下页返回结束,解:原式,(见P348公式21),注意本题技巧,按常规方法较繁,按常规方法解:,18,第一步令,比较系数定a,b,c,d.得,第二步化为部分分式.即令,比较系数定A,B,C,D.,第三步分项积分.,此解法较繁!,机动目录上页下页返回结束,例.求,解:令,比较同类项系数,故,原式,说明:此技巧适用于形为,的积分.,二、可化为有理函数的积分举例,20,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,t的有理函数的积分,机动目录上页下页返回结束,1.三角函数有理式的积分,则,例8.求,21,解:令,则,机动目录上页下页返回结束,22,机动目录上页下页返回结束,例9.求,23,解:,说明:通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,机动目录上页下页返回结束,例10.求,24,解法1,令,原式,机动目录上页下页返回结束,例10.求,25,解法2,令,原式,机动目录上页下页返回结束,例11.求,26,解:因被积函数关于cosx为奇函数,可令,原式,机动目录上页下页返回结束,2.简单无理函数的积分,27,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,机动目录上页下页返回结束,令,例12.求,28,解:令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,例13.求,29,解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的,最小公倍数6,则有,原式,令,机动目录上页下页返回结束,例14.求,30,解:令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,内容小结,31,1.可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,机动目录上页下页返回结束,简便,思考与练习,32,如何求下列积分更简便?,解:1.,2.原式,机动目录上页下页返回结束,作业,33,P2181-24,第五节目录上页下页返回结束,34,备用题1.,求不定积分,解：,令,则,故,机动目录上页下页返回结束,分母次数较高,宜使用倒代换.,35,2.求不定积分,解：,原式=,前式令,;后式配元,机动目录上页下页返回结束,
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