随机试验、样本空间随机事.ppt

1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算赢，全部赌本就归谁但是当其中一个人赢了a局，另一个人赢了b局的时候，赌博中止问：赌本应该如何分法才合理？”,一、概率论简史及概率论的应用,序,1,1.概率论简史,概率论的第一本专著是1713年问世的雅各贝努利的推测术。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该书中，表述并证明了著名的“大数定律”。所谓“大数定律”，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。,三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了论机会游戏的计算一书，这就是最早的概率论著作,1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫A.H(19301987)发表了著名的概率论的基本概念，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。,2.概率论的应用,概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律.概率论的广泛应用几乎遍及所有领域,例如日常生活；天气与地震预报；产品的抽样调查；保险费率计算；药物疗效评价;在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨率等等.,例.“双色球”福利彩票是近年来在我国影响最大的一支彩票。“双色球”彩票投注区分为红色球号码区和蓝色球号码区，红色球号码是由1到33组成，蓝色球号码是由1到16组成。单式投注是从红色球号码中选择6个号码，从蓝色球号码中选择1个号码，组合为一注投注号码的投注。若投注者所选单注投注号码与当期开出中奖号码相符即6个红色球号码和1个蓝色球号码全相同，则中一等奖；若只有6个红色球号码相符，则中二等奖；若5个红色球号码和1个蓝色球号码相符，则中三等奖。求投注者所选单注投注号码分别中一、二、三等奖的概率。,二、开课目的与学习要求,1.澄清中学概率在理论上的混乱，让同学们了解概率统计的研究内容，目的与方法。2.加深同学们的概率统计知识，让同学们具备概率统计的最基础的理论知识，为同学们今后的学习，工作与生活做最必要的准备。3.至少有一本参考书（习题解答），计算器；无参考书扣5分（第三周检查）4.听课须作笔记（最好有专门的笔记本和练习本），注意听课艺术。采用随机抽查式考勤，缺三次平时成绩为零，取消考试资格（学校规定），希望遵守公德：不迟到5.须按时、按质、按量完成作业。作业采用等级评分6.复习微积分，保证学习正常进行7注：平时成绩大于30分；别因中学“学过”而大意，应当重新审视这门课。,4,第一章,随机事件和概率,预备知识（排列组合）,1.两个基本原理2.排列、组合的意义3.排列数、组合数计算公式4.例题,5,1.两个基本原理,例1.某校组织学生分4个组从3处风景点中选一处去春游,则不同的春游方案的种数是A.B.C.D.,例2.有不同的数学书7本，语文书5本，英语书4本，由其中取出不是同一学科的书2本，共有多少种不同的取法？,排列、组合的意义,排列有序和组合无序？,例3学生要从六门课中选学两门：（1）有两门课时间冲突，不能同时学，有几种选法？（2）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？,4.排列组合应用题,解：（1）有两门课时间冲突,不能同时学，有几种选法？,（2）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？,例4.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?,解法一：先组队后分校（先分堆后分配）,解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.,引言,概率是什么？1.概率是频率：2.概率是比例：特例（几何概率）：,10,例子及其意义,1.执骰子600次，出现105次3点，问出现三点的概率是多少？2.100件产品中，恰有5件次品，问次品率（即随机抽一件，抽到次品的概率）是多少？3（约会问题）.甲乙两人相约下午3点与4点钟之间在某地见面，先到的人可以等15分钟，问如果两人都在此时间段到达，则能相见的可能性有多大？又问，两人同时到达的可能性有多大？4.在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率的概率有多大（法国：贝特朗奇论，1899年）？,11,意义：,为什么概率即频率；,为什么概率就是次品率？,约会问题计算的理论依据是什么？,贝特朗奇论说明什么？如何解决这一矛盾。幻灯片9,贝特朗奇论,12,1）预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4点与3/4点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2。,2）预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60120之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3。,3)弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。,13,二、概率的公理化定义(1933年，柯尔莫哥洛夫）,定义(概率的公理化定义)如果对任意事件A，都有一个实数P(A)，满足以下条件：,(1)非负性,(2)规范性,(3)可列可加性,则称P(A)为事件A的概率.,问题：,1.什么是事件？必然事件？不可能事件？2.如何理解互不相容（互斥）？3.如何理解事件的和？它与集合有何关系？,14,这正是本章的内容,本章主要学习内容,一、随机试验二、样本空间、随机事件三、频率与概率四、等可能概型（古典）五、条件概率六、独立性,一、随机现象,16,在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.,“太阳从东边升起”,1.确定性现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,自然界所观察到的现象:,确定性现象、,随机现象,第一节随机试验、样本空间,确定性现象的特征：,条件完全决定结果,17,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1“在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.,2.随机现象,结果有可能出现正面也可能出现反面.,实例2“用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况”.,结果:“弹落点会各不相同”.,随机现象的特征：,条件不能完全决定结果（对吗？）,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,公认的未必是对的！,18,二、随机试验,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,试验对某现象的观察,随机试验对某随机现象的的观察,19,在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.,1.可以在相同的条件下重复地进行（科学试验的特征）;,2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;,3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,20,E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗色子，考虑可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重。,随机试验的例子,三、样本空间,我们把随机试验的每个可能结果称为样本点，记作e或.全体样本点的集合称为基本事件空间或样本空间.样本空间用S表示.,21,如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：,S=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T),注：符号选择的的科学性与无奈,s=t：t0=,22,样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型：,在每次试验中必有一个且仅有一个样本点出现.,如果试验是测试某灯泡的寿命：,则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，故样本空间为,第二节随机事件,23,每次试验中均恰有一个随机事件发生，事件A发生，即A中恰有一个样本点出现,视必然事件和不可能事件是特殊的随机事件。,必然事件即样本空间，记作；,不可能事件即空集，记作；,定义：随机事件（简称为事件）即样本空间的子集,一、随机事件,24,例如，掷一颗色子一次，观察出现的点数,S=1,2,3,4,5,6,样本空间：,事件B就是S的一个子集。,事件B:出现奇数点.,B=1,3,5,“掷出点数小于7”是必然事件;,而“掷出点数8”则是不可能事件.,二、事件的关系和运算,25,1.A是B的子事件AB：“A发生必导致B发生”。,ABAB且BA.,“事件A与B至少有一个发生”,26,3.A与B积事件：“事件A与B同时发生”,记作或,27,4.A与B的差事件AB：A发生而B不发生。,思考：何时A-B=?何时A-B=A？,三、事件的运算律,28,事件间的关系与运算与集合的关系与运算完全相同，但应该用概率论的语言来解释这些关系及运算，并且会用这些运算关系来表示一些复杂的事件。,可推广到多个事件。,交换律,结合律,分配律,对偶律,29,例设A,B,C是三个事件,试表示下列事件：,1）三个事件至少发生一个:,2）三个事件都发生:,3）A发生而B与C不发生:,7）三个事件至少有一个不发生:,4）三个事件恰好发生一个：,5）三个事件恰好发生两个：,6）三个事件至少发生两个：,练习：,30,习题1.1（P23）第1题,补充：,