2019年高考数学试题分类汇编 J单元 计数原理（含解析）.doc

2019年高考数学试题分类汇编 J单元 计数原理（含解析）目录J单元计数原理1J1基本计数原理1J2排列、组合1J3二项式定理1J4 单元综合1 J1基本计数原理【理江苏扬州中学高二期末xx】7某工厂将4名新招聘员工分配至三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，甲、乙 两名员工必须分配至同一车间，则不同的分配方法总数为 （用数字作答）【知识点】计数原理的应用【答案解析】6 解析 ：解：把甲、乙两名员工看做一个整体，4个人变成了3个，再把这3部分人分到3个为车间，有种方法，根据分步计数原理，不同分法的种数为=6，故答案为：6【思路点拨】把甲、乙两名员工看做一个整体，4个人变成了3个，再把这3部分人分到3个为车间，即可得出结论【理吉林长春十一中高二期末xx】15.将排成一排，要求在排列中，顺序为“”或“”（可以不相邻），这样的排法有 种【知识点】分步计数原理.【答案解析】40解析 ：解：由题意知本题是一个分步计数问题，五个字母排成一列，先从中选三个位置给A、B、C且A、B、C有两种排法，即，然后让D、E排在剩余两个位置上，有A22种排法；由分步乘法计数原理所求排列数为=40【思路点拨】先从中选三个位置给A、B、C且A、B、C有两种排法，即，然后让D、E排在剩余两个位置上，有种排法，根据分步计数原理得到结果J2排列、组合【理重庆一中高二期末xx】9、现安排甲乙丙丁戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文课代表，乙不当数学课代表，若丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，则不同的选法共有多少种（ ）A、53 B、67 C、85 D、91【知识点】排列组合；分类计数原理. 【答案解析】B解析 ：解：由题意可进行如下分类：（1）丙当物理课代表：甲当数学课代表有2种选法；甲不当数学课代表有1种选法；共计3种选法；（2）丙当语文课代表：乙不当数学课代表有3种选法，另外3人全排列，共计种选法；（3）丙当数学课代表：与（2）相同共计种选法；（4）丙当英语课代表：乙当语文课代表有种选法；乙不当语文课代表有种选法；共计14种选法；（5）丙当化学课代表：与（4）相同共计14种选法；综上所述：共有3+18+18+14+14=67种不同的选法.故选：B.【思路点拨】由题意对丙分类讨论，依次让丙去当各科课代表，再求和即可.【理甘肃兰州一中高二期末xx】15. 用1、2、3、4、5、6六个数组成没有重复数字的六位数，其中5、6均排在3的同侧，这样的六位数共有 个（用数字作答）【知识点】排列组合；分类计数原理.【答案解析】480解析 ：解：把3看成特殊元素，优先排列：(1)3排在首位或末位时，共有个；（2）3排在第2位或第5位时，共有个；（3）3排在第3位或第4位时，共有个；所以满足题意的六位数共有480个.故答案为：480.【思路点拨】把3看成特殊元素，优先排列,分类相加即可.【江苏盐城中学高二期末xx】11（理科学生做）现从8名学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 种不同的选派方案.（用数字作答）【知识点】排列组合及简单计数问题.【答案解析】55 解析 ：解：从8名学生中选出4人，共有种选法，其中甲乙同时参加的有种选法，所以从8名学生中选出4人，甲乙不同时参加的选法有70-15=55种，故答案为55【思路点拨】所有选法共有种，减去甲乙同时参加的情况种即可.【理江西鹰潭一中高二期末xx】45个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有1人，则不同的站法数有( )A18 B26C36D48 【知识点】排列、组合的综合应用.【答案解析】C解析 ：解：依题意，先分析甲乙两人，甲乙两人有2种站法，再从其他3人中，选出1人，站在甲乙之间，有3种选法，最后用捆绑法，将甲乙及其中间站的人视为一个元素，与剩余两人共3个元素全排列，有A33种排列方法；由分步计数原理可得，不同站法有种，故选C【思路点拨】先分析甲乙两人的站法数目，再从其他3人中，选出甲乙之间的一人，分析其选法，最后用捆绑法，将甲乙及其中间站的人视为一个元素，与剩余两人共3个元素全排列，由分步计数原理分析可得答案【典型总结】本题考查排列、组合的综合应用，注意分析的顺序一般是，先抽取，再排列【理吉林一中高二期末xx】11. 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（ ）A30种 B60种C90种 D150种【知识点】排列、组合的实际应用菁优网版权【答案解析】D 解析 ：解：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，有2种情况：将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有=15种分组方法，再将3组分到3个班，共有15A33=90种不同的分配方案，将5名教师分成三组，一组3人，另两组都是1人，有=10种分组方法，再将3组分到3个班，共有10A33=60种不同的分配方案，共有90+60=150种不同的分配方案，故选：D【思路点拨】根据题意，分两种情况讨论：将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，将5名教师分成三组，一组3人，另两组都是1人，由组合数公式计算可得每种情况下的分配方案数目，由分类计数原理计算可得答案【理吉林一中高二期末xx】5. 某同学忘记了自己的QQ号，但记得QQ号是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的六位数，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为（ ）A96 B180 C360 D720【知识点】分步乘法计数原理【答案解析】B 解析 ：解：根据题意，其QQ号由共6个数字组成，将这6个数字全排列，有种情况，而这6个数字中有两个5和两个8，则共可以组成个六位数，那么他找到自己的QQ号最多尝试180次，故选：B【思路点拨】根据题意，先求出组成QQ号码的4个数字的全排列为，分析可得这6个数字中有两个5和两个8，计算可得由这4个数字可以组成的四位数个数，即可得答案J3二项式定理【文江苏扬州中学高二期末xx】17（本小题满分14分）已知函数（为实数，），若，且函数的值域为，求的表达式；设，且函数为偶函数，求证：【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用【答案解析】 -5解析 ：解：由题意，则； 3分由通项，则，所以，所以；7分即求展开式中含项的系数， 11分所以展开式中含项的系数为 14分【思路点拨】（1）根据2n=32求得n的值在通项，令x的幂指数r=3，可得展开式中含x3项的系数为 ，从而求得m的值（2）本题即求（1+2x）5（1x）6展开式中含x2项的系数，利用通项公式展开化简可得展开式中含x2项的系数【理重庆一中高二期末xx】5、的展开式中常数项为（ ） A、-40 B、-10 C、10 D、40【知识点】二项式系数的性质【答案解析】D解析 ：解：展开式的通项公式为：令，解得k=2，即常数项为故选：D【思路点拨】求出二项展开式的通项公式，即可求出常数项【理江苏扬州中学高二期末xx】17（本小题满分14分）已知的展开式的二项式系数之和为，且展开式中含项的系数为求的值；求展开式中含项的系数【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用【答案解析】 -5解析 ：解：由题意，则； 3分由通项，则，所以，所以；7分即求展开式中含项的系数， 11分所以展开式中含项的系数为 14分【思路点拨】（1）根据2n=32求得n的值在通项，令x的幂指数r=3，可得展开式中含x3项的系数为 ，从而求得m的值（2）本题即求（1+2x）5（1x）6展开式中含x2项的系数，利用通项公式展开化简可得展开式中含x2项的系数【理吉林长春十一中高二期末xx】13.对任意实数，有,则的值为 .【知识点】二项式定理的应用;二项展开式的通项公式;求展开式中某项的系数;二项式系数的性质【答案解析】解析 ：解：，则，故答案为：8【思路点拨】由于，根据通项公式求得的值.【理广东惠州一中高三一调xx】5在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） 【知识点】二项展开式通项的公式.【答案解析】A 解析 ：解：由二项式定理可知，展开式的通项为，则得，所以含项的系数为，故选.【思路点拨】先由二项式定理得通项，再根据未知量次数建立等式得，将值代回通项得系数.【典型总结】本题主要考查二项展开式通项的公式.【江苏盐城中学高二期末xx】10（理科学生做）已知展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为 【知识点】二项式定理.【答案解析】解析 ：解：因为展开式中所有项的二项式系数和为：，解得，由二项式展开式整理得：，所以，故，则其展开式中的常数项为：.故答案为：.【思路点拨】先由所有项的二项式系数和求出，然后欲求展开式中的常数项，则令x的指数可求得结果.【理江西鹰潭一中高二期末xx】18（本小题满分12分）在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的二项式系数最大的项.【知识点】二项式系数的性质菁【答案解析】. 解析 ：解：二项展开式的前三项的系数分别为1，n（n1）2分2=1+n（n1），解得n=8或n=1（不合题意，舍去）4分Tr+1=2r，当4Z时，Tr+1为有理项，又0r8且kZ，r=0，4，8符合要求8分故有理项有3项，分别是：T1=x4，T5=x，T9=x2，n=8，展开式中共9项，中间一项即第5项的系数最大，12分【思路点拨】二项展开式的前三项的系数分别为1，n（n1）成等差数列，可求得n，利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中的有理项和二项式系数最大的项【理江西鹰潭一中高二期末xx】14若，则的值为 . 【知识点】二项式定理的运用；赋值法.【答案解析】-1 解析 ：解：由题意，令x=0时，则，令x= 时，则【思路点拨】先令x=0,求出,再令x=,得到恒等式,移项即可得到所求的值M3 15观察下列各式：，可以得出的一般结论是 . 【知识点】归纳推理【答案解析】解析 ：解：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n1项，且第一项为n，则最后一项为3n2右边均为2n1的平方，即故答案为：【思路点拨】分析已知中1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，各式子左右两边的形式，包括项数，每一个式子第一数的值等，归纳分析后，即可得到结论【典型总结】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）【理吉林一中高二期末xx】15. 设常数，若的二项展开式中项的系数为，则【知识点】二项式系数的性质【答案解析】-2 解析 ：解：，故【思路点拨】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可【理吉林一中高二期末xx】8. 在的二项式展开式中,常数项是（）A504B84CD【知识点】二项式定理.【答案解析】B 解析 ：解： 由的二项式展开式可得：，若求常数项，即当=0时，即r=6，故常数项是，故选B.【思路点拨】由二项式定理可知，求展开式中的常数项即求通项中x的指数是0的项即可.【理吉林一中高二期末xx】6. 在二项式（的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M+N=72，则展开式中常数项的值为（ ）A18 B12 C9 D6【知识点】二项式系数的性质【答案解析】C 解析 ：解：由二项展开式的性质可得M=4n，N=2nM+N=4n+2n=72 n=3展开式的通项为=令可得r=1常数项为T2=3C31=9.故选C【思路点拨】由二项展开式的性质可得M=4n，N=2n，由M+N=4n+2n=72可得n=3，而展开式的通项为=，令可得r，代入可求.【理吉林一中高二期末xx】2. 已知等式，则的值分别为（）A B C D【知识点】二项式的展开式.【答案解析】D 解析 ：解：根据题意，由于等式，则，的值分别为,故选D【思路点拨】把变形为利用二项式定理展开比较系数即可.【理吉林一中高二期末xx】1. 已知的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（ ）A5B20C10D40【知识点】二项式定理.【答案解析】C 解析 ：解：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n=32，可得n=5，则二项式的展开式为Tr+1= x2（5-r）x-r=x10-3r，令10-3r=1解得r=3，展开式中含x项的系数是，=10,故选C【思路点拨】先根据展开式的二项式系数之和求出n的值，然后利用二项式的展开式找出x的指数为1时r的值，从而可求出展开式中含x项的系数