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第二讲古典概型与几何概型,重点难点重点：古典概型及几何概型的定义、概率计算及应用难点：古典概型P(A)中，n与m的求法及“事件”等可能性的判断几何概型,知识归纳1等可能基本事件的特点基本事件是不能再分的事件，其它事件(不包括不可能事件)可以用它来表示所有的试验中基本事件都是有限个每个基本事件的发生都是等可能的任何两个基本事件是互斥的,2古典概型(1)满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型：有限性：在一次试验中，可能出现的基本事件只有有限个；等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的(2)如果一次试验的等可能基本事件共有n个，随机事件A包含了其中的m个，那么事件A发生的概率为P(A),3几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概率模型几何概型的概率,误区警示1弄清楚“互斥事件”与“等可能事件”的差异“互斥事件”和“等可能事件”是意思不同的两个概念.在一次试验中，由于某种对称性条件，使得若干个随机事件中每一事件产生的可能性是完全相同的，则称这些事件为等可能事件，在数目上，它可为2个或多个；而互斥事件是指不可能同时发生的两个或多个事件.有些等可能事件可能也是互斥事件，有些互斥事件也可能是等可能事件.例如：粉笔盒有8支红粉笔，6支绿粉笔，4支黄粉笔，现从中任取1支.“抽得红粉笔”，“抽得绿粉笔”，,“抽得黄粉笔”，它们是彼此互斥事件，不是等可能事件.李明从分别标有1,2，10标号的同样的小球中，任取一球，“取得1号球”，“取得2号球”，“取得10号球”.它们是彼此互斥事件，又是等可能事件.一周七天中，“周一晴天”，“周二晴天”，“周六晴天”，“星期天晴天”.它们是等可能事件，不是彼此互斥事件2“概率为0的事件”与“不可能事件”是两个不同的概念应区别,3计算古典概型和几何概型时，一定要先进行事件等可能性的判断，防止因基本事件发生的可能性不相等而致误4抽样问题要区分有无放回抽样，是否与顺序有关,一、如何将实际问题转化为对应的概率模型将实际问题转化为对应的概率模型是重要的基本功，要通过练习学会选择恰当的数学模型(如编号、用平面直角坐标系中的点表示等),例抛掷两颗骰子(1)一共有多少种不同结果？(2)向上的点数之和是5的结果有多少种？概率是多少？(3)出现两个4点的概率(4)向上的点数都是奇数的概率,解析：(文)(1)我们列表如图，可以看出掷第一颗骰子的结果有6种，对于它的每一个结果，第二颗骰子都有6个不同结果如第一颗掷得2点时，与第二颗配对有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)6个不同结果，因此两颗骰子配对共有6636种不同结果，每个结果都是等可能的.,(2)设：“向上的点数之和是5”A，由514233241，故共有4种(1,4)，(2,3)，(3,2)和(4,1)，(3)事件B“出现2个4点”只有一种情形(4,4)，故P(B)(4)事件C“向上的点数都是奇数”包括以下9种情形(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，P(C),(理)(1)由乘法原理知有6236种不同结果(2)设：“向上的点数之和是5”A，由514233241，故共有4种(1,4)，(2,3)，(3,2)和(4,1)，(3)事件B“出现2个4点”只有一种情形(4,4)，故P(B)(4)事件C“向上的点数为奇数”含有基本事件329个P(C),点评1.我们也可以用平面直角坐标系中的点来表示，横轴表示第一枚骰子点数、纵轴表示第二枚骰子点数2掷一颗骰子有6种不同结果，掷两颗骰子有6662种不同结果；一般地掷n颗骰子，有6n种不同结果3掷一枚硬币有2种不同结果，掷n枚硬币共出现不同结果2n种,例1有四个高矮不同的同学，随便站成一排，从一边看是按高矮排列的概率为(),解析：设四个人从矮到高的号码分别为1,2,3,4.基本事件构成集合(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,4,3,2)，(1,4,2,3)，(1,3,4,2)，(1,3,2,4)，(2,1,4,3)，(2,1,3,4)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,2,4,1)，(3,2,1,4)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,4,2,1)，(3,4,1,2)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,3,1)，(4,2,1,3)，(4,3,2,1)，(4,3,1,2)，一共有24个基本事件那么从一边看从矮到高为事件A，则A(1,2,3,4)，(4,3,2,1),(08辽宁)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(),解析：(文)取出两张卡片的基本事件构成集合(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6个基本事件其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件，答案：C,例2一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，10这10个数字，今随机地取两个小球，如果(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的求两个小球上的数字为相邻整数的概率分析：小球放回与不放回时基本事件的总数是不同的,解析：(文)随机选取两个小球，记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”可能结果为(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(9,10)，(10,9)共18种(1)如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，则x有10种可能，y有9种可能，共有可能结果10990种因此，事件A的概率是(2)如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，则x有10种可能，y有10种可能，共有可能结果1010100种，因此，事件A的概率是,(理)(1)小球不放回时，有取法C种，其中小球上数字为相邻整数的有9种，所求概率为P1(2)小球放回时，有取法102100种，其中小球上数字为相邻整数的有18种，故所求概率P2,某厂生产的10件产品中，有8件正品，2件次品，正品与次品在外观上没有区别，从这10件产品中任意抽检2件(1)两件都是正品的概率为_；(2)一件是正品，一件是次品的概率为_；(3)如果抽检的2件产品都是次品，则这批产品将被退货，这批产品被退货的概率为_,解析：(文)从10件产品中任取2件是等可能的，按顺序记录结果(x，y)，x有10种可能，y有9种可能，但(x，y)与(y，x)是相同的，所以试验的所有结果共有109245种(1)记事件A为“两件都是正品”，即从8件正品中任取2件，按上面的计算方法，共有可能结果87228种，故所求事件的概率是P(A),(2)记事件B为“一件是正品，一件是次品”，从8件正品中取1件，有8种可能，从2件次品中取1件，有2种可能，因此，事件B包含的基本事件总数为8216种，故所求事件的概率P(B)(3)抽检的2件都是次品，可能结果只有1种，记此事件为C，则所求事件的概率为P(C),例3在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得AOC和BOC都不小于30的概率分析：将三等分，分点为D、E，当点C落在上时，AOC与BOC都不小于30，故这是长度型几何概型，其几何度量可以用弧长表示，也可以用圆心角度数表示,解析：如右图，设事件A是“作射线OC，使AOC和BOC都不小于30”，A90303030，90，由几何概型的计算公式得P(A),(文)设点M(p，q)在确定的平面区域内均匀分布，则满足p2q21的概率为_解析：满足|p|1，|q|1的点组成一个边长为2的正方形，D4，满足p2q21的点是单位圆d4，所求概率p,(理)两人相约7时到8时在某地会面，先到者等候另一个20分钟，这时就可离去，则这两人能会面的概率为_分析：当两人到达某地的时间差小于或等于20分钟时，两人能会面，由于涉及两个变量，因此利用平面直角坐标系转化为平面点集即与面积有关的问题研究,解析：设x，y分别表示两人到达时刻，则0x60,0y60(单位：分钟)这样的点(x，y)构成矩形OABC，即区域DS矩形OABC602，如图所示两人能会面，则x、y必须且只需满足|xy|20.,此条件确定区域d为图中阴影部分点评：当实际问题涉及两个变量时，常利用平面直角坐标系来讨论，当实际问题只涉及一个变量时，常利用数轴或一条线段来讨论.,例4以下做法对甲、乙两人来说，公平吗？(1)一场球赛前，裁判拿出一个均匀塑料圆盘，一面红圈，一面绿圈，然后随意指定一名运动员猜裁判抛出的是哪面朝上，猜对他发球，否则对方发球(2)抛掷一颗骰子向上一面是奇数甲胜，偶数乙胜(3)抛掷两颗骰子，号码相邻或相同甲胜，否则乙胜,(4)甲、乙各抛一颗骰子，谁的点子大谁胜，相同时，重新再抛(5)一口袋内装有一红、两白大小均匀的三个小球，从中任意摸出两球，同色甲胜，异色乙胜(6)一口袋内装有两红、两白大小均匀的四个小球，从中任意摸出2球，同色甲胜，异色乙胜,(7)如图，正方形ABCD的内切圆为O，向正方形所在平面内随机投一点，落在正方形外或线上时重投，落在O内部甲胜，落在阴影部分乙胜(8)口袋内有3红、1白共4个大小相同的球，取出2球，同色甲胜，异色乙胜,解析：(1)是公平的，甲、乙两人先发球的概率都是(2)是公平的，设“奇数向上”为事件A，则P(A)(3)抛掷两颗骰子，共有不同结果36种，事件A“号码相同或相邻”含基本事件61016个，(4)公平，有多少种甲比乙点子大的情况，就有多少种甲比乙点子小的情况,(5)不公平，同色只有1种可能，异色有两种可能，甲胜的概率为(6)不公平，将红球、白球各编号红1、红2、白1、白2，任取2球有不同取法6种，同色2种，异色4种，甲胜的概率为P,(7)设圆半径为1，则正方形边长为2，S圆，S阴影4，显然S圆S阴影，故甲胜的机会大，不公平(8)是公平的，红球编号1、2、3，取出球同色有3种不同取法，异色也有3种不同取法，概率都是,深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故中，该市有两家出租车公司红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑请问警察的认定对红色的出租车公平吗？试说明理由,解析：设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得表,从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，它确实是红色的概率为0.41，而它是蓝色的概率为0.59.在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据，对红色出租车显然是不公平的.,例5利用随机模拟法近似计算右图中阴影部分曲线y2x与x1及x轴围成的图形的面积分析：在平面直角坐标系中画出正方形，用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正方形面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值,解析：设事件A“随机向正方形内投点，所设的点落在阴影部分”S1：用计数器n记录做了多少次投点试验，用计数器m记录其中有多少次(x，y)满足1x1,0y0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为高为b.向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率是(),解析由几何概型知P,(理)已知正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCDA1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是()答案C,解析设正方体棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为故点M在球O内的概率为,2(文)掷两颗骰子，事件“点数之和为6”的概率是()答案C解析掷两颗骰子，每颗骰子有6种可能结果，所以共有6636个基本事件，这些事件出现的可能性是相同的；事件“点数之和为6”包括的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共有5个,(理)从1、0、1、2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f(x)ax2bxc的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为()答案A,解析首先取a，a0，a的取法有3种，再取b，b的取法有3种，最后取c，c的取法有2种，共组成不同的二次函数33218个f(x)若有变号零点，不论a0还是a0，即b24ac0，b24ac.,首先b取0时，a、c须异号，a1，则c有2种，a取1或2，则c只能取1，共有4种b1时，若c0，则a有2种，若c1，a只能取2.若c2，则a1，共有4种若b1，则c只能取0，有2种若b2，取a有2种，取c有2种，共有224种综上所述，满足b24ac的取法有442414种，,二、填空题3(文)在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率为_,解析如图所示，作ADBC于D，PEBC于E，对于事件A“PBC的面积大于”，有,由几何概型的概率计算公式得P(A),(理)从集合(x，y)|x2y24，xR，yR内任选一个元素(x，y)，则x、y满足xy2的概率为_解析即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型，概率为,4一次掷两粒骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2(mn)x40有实数根的概率是_解析基本事件共36个，方程有实根，(mn)2160，mn4，其对立事件是mn4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)共3个基本事件，所求概率为P1,三、解答题5从1、2、3、7中任取一个数(1)事件A为“取出的数大于2”，事件B为“取出的数小于7”，求P(AB)；(2)事件A为“取出的数大于3”，事件B为“取出的数小于1”，求P(AB)；(3)事件A为“取出的是偶数”，事件B为“取出的数字为2”，求P(AB),解析基本事件总数为7，记i取出的数字为i则(1)A3,4,5,6,7B1,2,3,4,5,6，AB1,2,3,4,5,6,7P(AB)1.(2)A4,5,6,7，B，P(AB)P(A)(3)A2,4,6，B2，P(AB)P(A),请同学们认真完成课后强化作业,
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