2019年高中数学 综合测试B 北师大版选修2-1.doc

2019年高中数学 综合测试B 北师大版选修2-1一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(xx山东理，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根答案A解析至少有一个实根的否定为：没有实根2椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A B C D2答案B解析本题考查椭圆方程，等比数列知识、离心率等A、B分别为左右顶点，F1、F2分别为左右焦点，|AF1|ac，|F1F2|2c，|BF1|ac，又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(ac)(ac)4c2，即a25c2，所以离心率e，要求离心率，应找到a、c关系3椭圆1(ab0)的离心率为，则双曲线1的离心率为()ABCD答案B解析椭圆1(ab0)的离心率为，不妨设a2，c，则b1，a24，b21，双曲线方程为y21，离心率为e.4已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，连接AG，则()()ABCD答案A解析本题以空间向量的线性运算为载体，考查了向量的平行四边形法则，同时也考查了学生作图、识图、及数形结合思想的应用如图，()，().故选A.5已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2B2C4D2答案B解析本小题考查抛物线的定义由题意知可设抛物线方程为y22px(p0)，则23，p2.y24x，y428，|OA|2.抛物线的定义是考试常考的知识点6已知命题p：“任意x0,1，aex”，命题q：“存在xR，x24xa0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是()Ae,4B1,4C(4，)D(，1答案A解析若p真，则ae；若q真，则164a0a4，所以若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是e,47已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2Ba2Ca2Da2答案C解析()()(aaaa)a2.8已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()AB4C3D5答案A解析本题考查了双曲线与抛物线的几何性质由y212x，焦点坐标为(3,0)a2b29，b.双曲线的一条渐近线为yx.d.求点到直线距离时，直线方程一定要化为一般式后，才能使用公式9设m，n是平面内的两条不同直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()Am且l1Bml1且nl2Cm且nDm且nl2答案B解析要得到两个平面平行，则必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行若两个平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面对于选项A，不是同一平面内的两条直线，显然是既不充分也不必要条件；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由于l1m，l2n，故可得，充分性成立，而时不一定能得到l1m，它们也可以异面，故必要性不成立对于选项C，由于m，n不一定是相交直线，故是必要非充分条件对于选项D，由nl2得n，则可转化为C，故不符合题意综上选B.10(xx新课标理)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()ABCD答案D解析由题意可知：直线AB的方程为y(x)，代入抛物线的方程可得：4y212y90，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则所求三角形的面积为，故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11(xx北京文)设双曲线C的两个焦点为(，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为_答案x2y21解析设双曲线方程为1(a0，b0)，则a2b22，a1，b1，C的方程是x2y21.待定系数法是求圆锥曲线方程的常见方法12已知命题p：任意xR，存在mR，使4x2x1m0，若命题非p是假命题，则实数m的取值范围是_答案m1解析命题非p是假命题，亦即命题p是真命题，也就是关于x的方程4x2x1m0有实数解，即m(4x2x1)，令f(x)(4x2x1)1(2x1)2.因为当xR时，f(x)1，因此实数m的取值范围是m1.点评全称量词、存在量词以及全称命题和特称命题这一部分内容往往能够和其他的知识联系起来，通过对这类量词的理解与运用，可以很好地考查学生的能力，这一内容是高考命题的热点之一13如图所示，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_答案解析解法一：四边形ABCD与四边形ABEF都是正方形，CBAB，EBAB，CBE60.连接CE，如图所示，设正方形的边长为1，BCBE，CBE60，CEB为正三角形，CEBC1.BCAD，CBF就是两异面直线AD与BF所成的角又AB平面CBE，ABCE.又FEAB，FECE，CF.又在CBF中，CB1，BF，cosCBF.解法二：设a，b，c，设正方形边长为1，则由题意知ab0，ac0，|a|b|c|1，ADAB，AFAB，DAF60，bc.|2(ca)2|c|2|a|22ac2，|，(ca)bbcab，cos，即异面直线AD与BF所成角的余弦值为.14过双曲线1(a0，b0)的右顶点A作斜率为1的直线l，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若，则双曲线的离心率是_答案解析由题知点A的坐标为(a,0)，所以直线l的方程为xya0，双曲线的渐近线方程为yx，则B(，)，C(，)，则有(，)，(，)，因为2，2ab，e.15等腰RtABC斜边BC上的高AD1，以AD为折痕将ABD与ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下结论：BDAC；BAC60；异面直线AB与CD之间的距离为；点D到平面ABC的距离为；直线AC与平面ABD所成的角为45.其中正确结论的序号是_答案解析ADBD，ADCD，平面ABD平面ACD，BDC90，BD平面ACD，BDAC，正确；又知ADBDCD1，ABC为正三角形，BAC60，正确；ABC边长为，.SABC，由VABDCVDABC得(11)1h，h，故正确；CD平面ABD，CAD为直线AC与平面ABD所成的角，易知CAD45，故正确；以D为原点，DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，(1,0，1)，(0,1，1)，(0,1,0)，设n(x，y，z)，由n0，n0得xz0，y0，令z1得n(1,0,1)，异面直线AB与DC之间的距离d，故正确三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16已知命题“p：存在xR，ax22ax30”是假命题，求实数a的取值范围分析本题若直接求解则较为困难，由于该命题也是特称命题，因此依据上述全称命题与特称命题的关系，可将该命题的否定形式写出，依据“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可推知其否定形式必为真命题，从而求出满足题设要求的实数a的取值范围解析因命题p：存在xR，ax22ax30的否定形式为：非p：任意xR，ax22ax30恒成立，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知命题非p是真命题事实上，当a0时，对任意的xR，不等式30恒成立；当a0时，借助二次函数的图像，数形结合，很容易知道：不等式ax22ax30恒成立的等价条件是a0且其判别式4a212a0，即3a0；综合以上两种情形可知：非p为真命题时，所求实数a的取值范围是3ab0)的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解析(1)由题知，且a2b2c2联立整理得：2e23e20，解得e，C的离心率为.(2)由题意知，O为F1F2的中点，MF2y轴，MF1与y轴的交点D(0,2)是MF1的中点，故4.即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|设N(x1，y1)由题意知y10，则即代入c得1将及c代入得1，解得a7，b24a28，a7，b2.18如图，三棱锥PABC中，ABC为等腰直角三角形，ABBC2，PAPBPC.(1)求证：平面PAC平面ABC；(2)求二面角PBCA的正切值解析(1)如图，设O是AC的中点，连接PO，BO.ABC为等腰直角三角形，ABBC2，AC2，OB.又PAPC，POAC，PO2.PO2BO2PB2，即POOB.又BO平面ABC，BOACO，PO平面ABC.PO平面PAC，平面PAC平面ABC.(2)解法一：设H是BC的中点，连接OH，PH.O为AC的中点，OHAB，且OHAB1.ABBC，OHBC.又PBPC，PHBC.PHO为二面角PBCA的平面角在RtABC中，tanPHO2，即二面角PBCA的正切值为2.解法二：如图建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，B(0，0)，C(，0,0)，P(0,0,2)(，0)，(0，2)设n(x，y，z)是平面PBC的一个法向量则令z1，得即n(，1)又PO平面ABC，所以(0,0,2)是平面ABC的一个法向量cos，n，且二面角PBCA所成角为锐角，二面角PBCA所成角的正切值为2.19已知全集UR，非空集合Ax|0，Bx|0(1)当a时，求(UB)A；(2)命题p：xA，命题q：xB，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围解析(1)当a时，Ax|2x，Bx|x，(UB)Ax|xa，Bx|ax2，即a时，Ax|2x3a1，解得a.当3a12，得a时，A，符合题意；当3a12，即a时，Ax|3a1x2，解得a0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程；(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E，()证明直线AE过定点，并求出定点坐标；()ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解析(1)由题意知F(，0)，设D(t,0)(t0)，则FD的中点为(，0)因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3|t|，解得t3p或t3(舍去)，由3，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)()由(1)知F(1,0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)，因为|FA|FD|，得|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02,0)故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b，设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，故直线AE恒过点F(1,0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1,0)所以直线AE过定点F(1,0)()由()知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|AF|FE|(x01)(1)x02.设直线AE的方程为xmy1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m.设B(x1，y1)直线AB的方程为yy0(xx0)，由于y00，可得xy2x0，代入抛物线方程得y2y84x00.所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4()则ABE的面积S4()(x02)16，当且仅当x0，即x01时等号成立所以ABE的面积的最小值为16.