2019-2020年高考数学 3.6 简单的三角恒等变换练习.doc

2019-2020年高考数学 3.6 简单的三角恒等变换练习 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(xx长治模拟)已知cos,(0,2),则sin =()【解析】选A.角是的2倍,所以因为(0,2),所以(0,),所以sin=2.化简: =()A.sin2B.tan2C.sin2D.tan2【解题提示】用二倍角公式化简,是的二倍.【解析】选D.原式=故选D.3.(xx长沙模拟)函数f(x)=sin x-cos(x+)的值域为()A.-2,2B.-, C.-1,1D.-, 【解析】选B.f(x)=sin x-cos x+sin x= (sin x-cos x)= sin(x-).xR,所以x-R,所以f(x)-,故选B.4.(xx哈尔滨模拟)设函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则()A.y=f(x)在(0, )内单调递增,其图象关于直线x=对称B.y=f(x)在(0, )内单调递增,其图象关于直线x=对称C.y=f(x)在(0, )内单调递减,其图象关于直线x=对称D.y=f(x)在(0, )内单调递减,其图象关于直线x=对称【解析】选D.因为f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=sin(2x+)=cos2x,所以f(x)在(0, )内单调递减,且图象关于x=对称.【加固训练】(xx郑州模拟)已知函数f(x)=sin(-x)-cos(x+),xR,则f(x)()A.周期为,且图象关于点(,0)对称B.最大值为2,且图象关于点(,0)对称C.周期为2,且图象关于点(-,0)对称D.最大值为2,且图象关于x=对称【解析】选B.f(x)=sin(-x)-cos(x+)因为xR,所以x-R,所以-1sin(x-)1,则f(x)的最大值为2.因为=1,所以周期T=2.当x-=k(kZ)时,f(x)图象关于某一点对称,所以当k=0时,求出x=,即f(x)图象关于(,0)中心对称,故选B.5.(xx临沂模拟)已知函数f(x)=sin x+2cos2,设,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cabC.bacD.bca【解题提示】先化简函数f(x)的解析式,再利用其单调性比较大小.【解析】选B.f(x)=因为函数f(x)在0,上单调递增,所以,而c= =2sin +=2sin +=f(0) ,所以cab.【误区警示】解答本题易误选A,出现错误的原因是不化简函数解析式,直接由自变量的大小判断a,b,c的大小.6.(xx郑州模拟)设函数f(x)= cos(2x+)+sin(2x+)(|),且其图象关于直线x=0对称,则()A.y=f(x)的最小正周期为,且在(0, )上为增函数B.y=f(x)的最小正周期为,且在(0, )上为减函数C.y=f(x)的最小正周期为,且在(0,)上为增函数D.y=f(x)的最小正周期为,且在(0,)上为减函数【解析】选B.f(x)= cos(2x+)+sin(2x+)=2cos(2x+)+sin(2x+)=2cos(2x+-),因为=2,所以T=,又函数图象关于直线x=0对称,所以-=k(kZ),即=k+ (kZ),又|,所以=,所以f(x)=2cos 2x,令2k2x2k+(kZ),解得:kxk+ (kZ),所以函数的递减区间为k,k+ (kZ),又(0, )k,k+(kZ),所以函数在(0, )上为减函数,则y=f(x)的最小正周期为,且在(0, )上为减函数,故选B.7.(xx赤峰模拟)已知函数f(x)= sin 2x+cos 2x-m在0, 上有两个零点x1,x2,则tan的值为()【解析】选D.因为f(x)= sin 2x+cos 2x-m=2(sin 2x+cos 2x)-m=2sin(2x+)-m,因为x0, ,所以2x+,所以-sin(2x+)1,所以-12sin(2x+)2,因为f(x)= sin 2x+cos 2x-m在0, 上有两个零点x1,x2,所以直线y=m与y=sin 2x+cos 2x在0, 上有两个交点,如图:所以x1+x2=,所以故选D.二、填空题(每小题5分,共15分)8.函数y=sin42x-cos42x的最小正周期是.【解析】y=sin42x-cos42x=(sin22x+cos22x)(sin22x-cos22x)=-cos 4x,所以最小正周期T=答案: 9.(xx长春模拟)函数f(x)=2sin的最大值为.【解析】因为f(x)=所以f(x)max=1.答案:1【加固训练】(xx咸阳模拟)函数y=4cos2+1,x-,的最小值是.【解析】y=因为x-,所以,所以ymin=3.答案:310.(xx南宁模拟)设a=sin 14+cos 14,b=sin 16+cos 16,c=.则a,b,c按从小到大的顺序排列为.【解析】a=sin 14+cos 14=sin 59,b=sin 16+cos 16=sin 61,c=sin 60.因为596061,所以sin 59sin 60sin 61,所以acb.答案:ac0,所以2k+ 2k+ (kZ),所以4k+20,cos0,所以sin-cos=由得所以cos 2=2cos2-1=-.【加固训练】(xx六安模拟)已知2sin=1+cos,则tan等于()A.2B.C.或不存在D.不存在【解析】选C.当1+cos=0时,tan不存在.当1+cos0时,2.(5分)(xx上海高考)设常数a使方程sin x+cos x=a在闭区间0,2上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3=.【解析】设f(x)=sin x+cos x=2sin(x+),因为x0,2,所以x+,2+,根据方程恰有三个解,结合三角函数图象易得x1=0,x2=,x3=2,所以x1+x2+x3=.答案: 3.(5分)(xx西安模拟)设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos=.【解题提示】用辅助角公式求解,注意辅助角的正、余弦值.【解析】f(x)=sin x-2cos x=sin(x+),其中tan=-2,当x+=2k+时,函数f(x)取得最大值,即=2k+-.所以cos=cos(-)=sin,又因为tan=-2,在第四象限,所以sin=-,即cos=-.答案:-4.(12分)(xx保定模拟)已知函数f(x)=sin cos +cos 2-1.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.(2)求函数f(x)在上的最小值.【解析】(1)f(x)=sin cos + -1=sin x+cos x-=sin(x+)-.所以函数f(x)的最小正周期为2.由2k+x+2k+,kZ,得2k+x2k+.则函数f(x)的单调递减区间是2k+,2k+,kZ.(2)由x,得x+.则当x+=,即x=时,f(x)取得最小值【加固训练】已知函数f(x)=cos 4x-2sin xcos x-sin4x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)的单调区间.(3)若x0,求f(x)的最大值及最小值.【解析】(1)f(x)=(cos 2x-sin 2x)(cos 2x+sin 2x)-sin 2x=cos 2x-sin 2x=cos (2x+),所以最小正周期T=.(2)由2k-2x+2k,kZ,得k-xk-,kZ,所以函数f(x)的单调增区间为k-,k-(kZ).由2k2x+2k+,kZ.得k-xk+,kZ,所以函数f(x)的单调减区间为k-,k+(kZ).(3)因为0x,所以2x+,所以-1cos (2x+),所以-f(x)1.所以当x=0时,f(x)有最大值为1,当x=时,f(x)有最小值为-.5.(13分)(能力挑战题)某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=25米,为了便于居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE,EF和OF,考虑到小区整体规划,要求O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且OEOF,如图所示.(1)设BOE=,试将OEF的周长l表示成的函数关系式,并求出此函数的定义域.(2)经核算,三条路每米铺设费用均为400元.试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.【解题提示】(1)由题意可知OFA=,利用直角三角形中边角的关系列式,结合图形求定义域. (2)利用换元法求最值,要注意的范围.【解析】(1)在RtBOE中,OE=,在RtAOF中,OF=.在RtOEF中,EF=当点F在点D时,角最小,=,当点E在点C时,角最大,=,所以l=定义域为,.(2)设t=sin+cos,所以所以当=时, lmin=50(+1),总费用最低为20 000(+1)元.