2019年高中数学 2.2.2.1椭圆的简单几何性质课时作业 新人教A版选修2-1 .doc

2019年高中数学 2.2.2.1椭圆的简单几何性质课时作业 新人教A版选修2-1一、选择题(每小题3分,共18分)1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为()A.(13,0)B.(0,10)C.(0,13)D.(0,)【解析】选D.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且a=13,b=10,所以c2=a2-b2=169-100=69,所以焦点坐标为(0,).2.椭圆+=1与+=1(0k9)的关系为()A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率【解析】选B.对于椭圆+=1(0kb0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+|F1P99|+|F1B|的值是()A.98aB.99aC.100aD.101a【解析】选D.设F2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,|F1P49|=|F2P51|,因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a.故结果应为502a+|F1P50|=101a.【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|F1P50|,结果选C而致错.6.(xx吉林高二检测)椭圆+=1的离心率为,则k的值为()A.-21B.21C.-或21D.或21【解析】选C.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,得c2=5-k,由=,得k=-;当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5,由=,得k=21.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(xx荆州高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为.【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,所以设椭圆的方程为+=1(ab0).由得由a2=b2+c2,得b2=32.故椭圆的方程为:+=1.答案:+=18.(xx上海高考)设AB是椭圆的长轴,点C在上,且CBA=,若AB=4,BC=,则的两个焦点之间的距离为.【解析】如图所示.以AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的坐标系.设D在AB上,且CDAB,AB=4,BC=,CBA=CD=1,DB=1,AD=3C(1,1)且2a=4,把C(1,1)代入椭圆标准方程得+=1,a2=b2+c2b2=,c2=2c=.答案:9.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为.【解题指南】设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2x02,所以当x0=2时,取得最大值+2+3=6.答案:6【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.三、解答题(每小题10分,共20分)10.设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=,已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.【解题指南】先设椭圆方程为+=1(ab0),M(x,y)为椭圆上的点,由离心率得a=2b,利用两点间的距离公式表示出|PM|2,若0bb0),M(x,y)为椭圆上的点,由=得a=2b,|PM|2=x2+=-3+4b2+3(-byb),若0b,故矛盾.若b,则当y=-时,4b2+3=7,b2=1,从而a2=4.所求方程为+y2=1.11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,F1PF2=60.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(ab0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60=(m+n)2-3mn=4a2-3mn4a2-3=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).所以,即e.又0eb0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根x1,x2,则点P(x1,x2)()A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能【解析】选A.因为x1,x2是方程ax2+bx-c=0的两个实根,所以x1+x2=-,x1x2=-=-.由+=(x1+x2)2-2x1x2=+1,因为ab,所以1,所以+12,故点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内.4.(xx衡水高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()A.(0,1)B.C.D.【解析】选C.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为=0,所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.又M点总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即cb,c2b2=a2-c2,故e2,所以0eb0),B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,设D(x,y),由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),即解得所以D.因为点D在椭圆上,所以+=1,解得a2=3c2,即e2=,所以e=.答案:【变式训练】(xx江苏高考改编)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为+=1(a0,b0),右焦点为F,直线l方程为:x=,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2,若d2=d1,则椭圆C的离心率为.【解题指南】利用d2=d1构建关于参数a,b,c的关系式.【解析】由原点到直线BF的距离为d1得d1=,因F到l的距离为d2故d2=-c,又d2=d1,所以-c=a2-c2=1-e2=e2,又=,解得e=.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知椭圆x2+=1(0b0,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=,所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.8.已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P是椭圆上的一个动点,求的取值范围.【解析】由+=1,得F1(-,0),F2(,0),设P(x0,y0),则=(-x0,-y0),=(-x0,-y0).所以=(-5)+.又+=1,所以=4-,代入,所以=-1,因为09,所以05,所以-14,所以-1,4.【误区警示】本题易出现只注意到0得出-1的错误,错误的原因是忽视了点P(x0,y0)在椭圆上,x0应满足x0-3,3.【变式训练】已知椭圆+=1(ab0),若椭圆的离心率e满足e,且+=2,求椭圆长轴长的取值范围.【解题指南】由+=2把b2用a2表示,代入关于离心率的不等式组中,求出2a的范围.【解析】由+=2得b2=,所以e2=1-,又因为e,所以1-,结合b2=可得,所以a2,a,即2a,故长轴长的取值范围是,.