2019-2020年高考数学一轮复习 3.7正弦定理、余弦定理的应用举例课后自测 理.doc

2019-2020年高考数学一轮复习 3.7正弦定理、余弦定理的应用举例课后自测 理A组基础训练一、选择题图3791为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图379所示)，要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC50 m，ABC105，BCA45，就可以计算出A，B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m【解析】在ABC中，由正弦定理，AB50.【答案】A2有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()A1B2sin 10C2cos 10Dcos 20【解析】如图，ABC20，AB1，ADC10，ABD160.在ABD中，由正弦定理得，ADAB2cos 10.【答案】C3一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B100 m C120 m D150 m【解析】设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh.由余弦定理，(h)2h21002200hcos60，即(h50)(h100)0，h50.故水柱的高度为50 m.【答案】A4E，F是等腰直角ABC斜边AB上的三等分点，则tan ECF()A. B. C. D.【解析】设AC1，则AEEFFBAB，由余弦定理得CECF，所以cos ECF，所以tan ECF.【答案】D5一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5海里C10海里 D10海里【解析】如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，得AB5，于是这艘船的速度是10(海里/小时)【答案】C二、填空题图37106如图所示，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m则这条河的宽度为_m.【解析】因为CAB30，CBA75，则ACB180307575，所以ACAB120 m，设这条河的宽度为h，hACsin A12060(m)【答案】607甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则乙楼的高是_米【解析】如图，依题意甲楼高度AB20tan 6020米，又CMDB20米，CAM60.所以AMCM米，所以乙楼的高CD20米【答案】图37118如图3711，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小是_【解析】依题意，得AD20 m，AC30m.在ACD中，CD50 m，由余弦定理，cosCAD，又0CAD180，CAD45，即张角为45.【答案】45三、解答题图37129(xx惠州模拟)某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得ABC105和BAC30，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得BAD90和ABD45.请你根据以上条件求出航模的速度(答案保留根号)【解】在ABD中，BAD90，ABD45，ADB45，ADAB80，BD80.在ABC中，BC40.在DBC中，DC2DB2BC22DBBCcos 60(80)2(40)2280409 600.DC40，航模的速度V2米/秒答：航模的速度为2米/秒图371310(xx威海调研)如图3713，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75方向直线航行，下午1时到达B处然后以同样的速度沿北偏东15方向直线航行，下午4时到达C岛(1)求A、C两岛之间的距离；(2)求BAC的正弦值【解】(1)在ABC中，由已知，得AB10550(海里)，BC10330(海里)，ABC1807515120，由余弦定理，得AC250230225030 cos 1204900，所以AC70(海里)故A、C两岛之间的距离是70海里(2)在ABC中，由正弦定理，得，所以sinBAC.故BAC的正弦值是.B组能力提升图371412013年9月1日中国第12届全运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10 m(如图3714所示)，则旗杆的高度为()A10 m B30 m C10 m D10 m【解析】如图，在ABC中，ABC105，所以ACB30.由正弦定理得，所以BC2020.在RtCBD中，CDBCsin 602030(m)【答案】B图37152(xx广州模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点距离为_海里【解析】由已知可得，BAC30，ABC105，AB20，从而ACB45.在ABC中，由正弦定理，得BCsin 3010.【答案】103(xx济南调研)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由【解】(1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇航行的距离为S海里，如图所示在AOB中A903060，S .故当t时，Smin10，此时v30.小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)由题意可知OBvt，在AOB中利用余弦定理得：v2t2400900t222030tcos 60，故v2900.0v30，900900，即0，解得t，又t时，v30(海里/小时)，故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇