2019-2020年高考数学大一轮复习 第十一章 第62课 抛物线要点导学.doc

2019-2020年高考数学大一轮复习 第十一章 第62课 抛物线要点导学求抛物线的方程已知点P在抛物线y2=2px上,求该抛物线的方程.思维引导将点P的坐标代入抛物线方程y2=2px即可.解答因为点P在抛物线y2=2px上,所以=2p,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.若抛物线y2=2px(p0)的焦点在直线x-2y-2=0上,则该抛物线的准线方程为.答案x=-2解析抛物线的焦点坐标为,代入直线x-2y-2=0,得-2=0,即p=4,所以抛物线的准线方程为x=-=-2.直线与抛物线的问题过点M(2,0)的直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,过点A,B分别作y轴的垂线交直线l:y=-2x-2于点A,B.(1) 若四边形ABBA是等腰梯形,求直线l的方程;(2) 若A,O,B三点共线,求证:AB与y轴平行.思维引导(1) 若四边形ABBA是等腰梯形,直线l的斜率与直线l:y=-2x-2斜率互为相反数;(2) 通过计算A,B的坐标来证明AB与y轴平行.解答(1) 因为四边形ABBA为等腰梯形,所以kAB=2,故直线l的方程为y=2x-4.(2) 设直线AB的方程为x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B,由得y2-4ty-8=0,故y1+y2=4t,y1y2=-8.因为A,O,B三点共线,所以=,即2y1+y2=8t+4,又y1+y2=4t,得y2=-4,又y1y2=-8,所以y1=2,所以A(1,2),B(1,-4),故直线AB与y轴平行.【题组强化重点突破】1. (xx辽宁卷)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与抛物线C在第一象限相切于点B,记抛物线C的焦点为F,则直线BF的斜率为.答案解析由于点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,所以-=-2,p=4,所以y2=8x.设直线AB的方程为x=k(y-3)-2,与y2=8x联立,得y2-8ky+24k+16=0,由=64k2-96k-64=0,得k=2(负值舍去).将k=2代入,得y=8,x=8,故B(8,8),所以kBF=.2. (xx莆田一中模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是坐标原点,若AF=5,则AOB的面积为.答案解析由已知可得p=2.如图,过点A作AA1l,l为准线,垂足为A1,则由抛物线的定义得AA1=AF,所以xA+=5,xA=4,代入y2=4x,得yA=4(-4舍去),所以A(4,4).又F(1,0),所以直线AB的方程为=,即x=y+1,代入y2=4x,得y2=3y+4,所以yB=-1.所以SAOB=OF(|yA|+|yB|)=1(4+1)=.(第2题)3. (xx河南模拟)过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A,B两点,则=.(第3题)答案3解析如图,过点A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,过点B作BCAA1于点C,由垂直及抛物线的定义可知CAB=60,所以AB=2AC,所以AF+BF=2(AF-BF),所以=3.抛物线与其他曲线的综合已知双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB的面积为,则p=.答案2(例3)解析由e=2,得c=2a,b=a,所以双曲线的渐近线为y=x.又抛物线的准线方程为x=-,联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得点A,B（-,-）.在AOB中,AB=p,O到AB的距离为,SAOB=,所以p=,解得p=2.若过点P(1,2)的直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求AB的中点M所在曲线的方程.解答设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),AB中点为M(x,y),则x1+x2=2x,y1+y2=2y.又=4x1,=4x2,所以(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2).所以kAB=.又kAB=,x1,于是由=,得2x-y2+2y-2=0.当x=1时,M为(1,0),满足上式.故点M所在曲线的方程为2x-y2+2y-2=0.已知抛物线C:y2=4x的顶点为O,过点(-1,0)且斜率为k的直线与抛物线C交于A,B两点,当实数k变化时:(1) 求证:是一个与k无关的常数;(2) 若=+,求|的最小值.思维引导建立直线的方程,将y2=4x代入直线方程后得到关于y的方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),建立y1与y2的关系,再建立x1与x2的关系,进而求得x1x2+y1y2.规范答题(1) 由题意可设直线AB的方程为y=k(x+1),由得ky2-4y+4k=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=4,x1x2=1,所以=x1x2+y1y2=5,它为常数. (6分)(2) 设M(x,y),由=+=(x1+x2,y1+y2),得=(x1+x2)2+(y1+y2)2=+(y1+y2)2=(y1+y2)2-2y1y22+(y1+y2)2=+4,由于=16-16k20,得-1k1,且k0,所以|min=2. (14分)1. (xx福建六校联考)过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则AB=.答案8解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB的中点的横坐标为3,即=3,所以x1+x2=6.又因为AB=x1+x2+p,p=2,所以AB=2+6=8.2. 已知P为抛物线C:y2=4x上一点,若点P到抛物线C准线的距离与到顶点的距离相等,则点P到x轴的距离为.答案解析由题意得点P到焦点的距离与到顶点的距离相等,所以xP=,所以|yP|=.3. (xx济南期末)已知定点Q(2,-1),F为抛物线y2=4x的焦点,动点P为抛物线上任意一点,当PQ+PF取最小值时点P的坐标为.答案解析设点P在准线上的射影为点D,则根据抛物线的定义可知PF=PD,要使PQ+PF取得最小值,则需D,P,Q三点共线,将Q(2,-1)的纵坐标代入y2=4x,得x=,故点P的坐标为.4. (xx湖南卷)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=.(第4题)答案+1解析由题意可得C,F,因为点C,F在抛物线上,所以-2-1=0=+1(舍去负值).温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第123-124页).