矩阵的特征值和特征.ppt

第四节矩阵的特征值与特征向量,一n维向量的概念定义n个有顺序的数所组成的数组称做n维向量，数称为向量的分量（或坐标），aj叫做的第j个分量（或坐标），分量全为实数的向量称为实向量，分量是复数的向量称为复向量。,我们只讨论实向量。向量一般用希腊字母表示（有时采用黑体）。行向量：列向量：行向量、列向量统称为向量。,只有一行或一列的矩阵，也可称为向量。如的行向量为,A的列向量为于是，矩阵有m个n维行向量，同时有n个m维列向量。,零向量（分量全为零）：n维单位坐标向量：,向量与相等记作,二n维向量的线性运算定义设则称为向量与的和,定义设为实数，则称为数与向量的乘积当时，记称它为的负向量,向量的加法运算与数乘运算统称为向量的线性运算。运算律：设都是n维向量，都是实数，则(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8),注意：两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。,三特征值与特征向量的概念引例在一个n输入n输出的线性系统y=Ax中，其中我们可发现系统A对于某些输入x，其输出y恰巧是输入x的倍，即；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。,例如，对系统，若输入则若输入，则,所以，给定一个线性系统A，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数等于多少？这显然是控制论中感兴趣的问题。,定义设A是一个n阶方阵，若存在着一个数和一个非零n维向量x，使得则称是方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值的特征向量，或简称为A的特征向量。,四特征值与特征向量的求法可改写为这实际上是一个n个未知数n个方程的齐次线性方程组，特征向量可看成是它的一个非零解。而此齐次线性方程组有非零解的充要条件是，即（称为方阵A的特征方程）,上述方程的左端是的n次多项式，记作，称为A的特征多项式。从A的特征方程中解出的值就是A的特征值。然后通过求解方程组就可以求出A的特征向量。,例求矩阵的特征值和特征向量。,求特征值和特征向量的一般步骤：（1）由求出所有特征值（2）求解齐次线性方程组（为特征值），则所得非零解x必为特征向量（它是基础解系的线性组合，且为非零向量）,结论：不同的特征值对应的特征向量不相等，即：一个特征向量只对应一个特征值。,布置作业：,P130:1.2(3).3.,