2019年高考数学真题分类汇编 10.2 双曲线及其性质 理 .doc

2019年高考数学真题分类汇编 10.2 双曲线及其性质 理考点一双曲线的标准方程1.(xx天津,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1答案A考点二双曲线的几何性质2.(xx课标,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B.3 C.m D.3m答案A3.(xx山东,10,5分)已知ab0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.xy=0 B.xy=0C.x2y=0 D.2xy=0答案A4.(xx广东,4,5分)若实数k满足0k0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.3答案B6.(xx大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cosAF2F1=()A. B. C. D.答案A7.(xx北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为.答案-=1;y=2x8.(xx浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.答案9.(xx福建,19,13分)已知双曲线E:-=1(a0,b0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.解析解法一:(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,从而双曲线E的离心率e=.(2)由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,又因为OAB的面积为8,所以|OC|AB|=8,因此a4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为-=1.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为-=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:-=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k2或k-2,则C.记A(x1,y1),B(x2,y2).由得y1=,同理得y2=.由SOAB=|OC|y1-y2|得,=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因为4-k20,所以=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又因为m2=4(k2-4),所以=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.解法二:(1)同解法一.(2)由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得-m.由得y1=,同理得y2=.设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0).由SOAB=|OC|y1-y2|=8,得|t|=8,所以t2=4|1-4m2|=4(1-4m2).由得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.因为4m2-12或k-2.由得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因为4-k20,所以x1x2=,又因为OAB的面积为8,所以|OA|OB|sinAOB=8,又易知sinAOB=,所以=8,化简得x1x2=4.所以=4,即m2=4(k2-4).由(1)得双曲线E的方程为-=1,由得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,因为4-k20)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AFx轴,ABOB,BFOA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.解析(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.又直线OA的方程为y=x,则A,kAB=.又因为ABOB,所以=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y00),即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N,则=.因为P(x0,y0)是C上一点,则-=1,代入上式得=,所求定值为=.