2019-2020年高考数学专题复习 第12讲 函数模型及其应用练习 新人教A版.doc

2019-2020年高考数学专题复习 第12讲 函数模型及其应用练习 新人教A版考情展望1.考查二次函数模型的建立及最值问题.2.考查分段函数模型的建立及最值问题.3.考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题.4.合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关系式，从而研究其最值一、三种函数模型之间增长速度的比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳大小比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax二、常见的几种函数模型1一次函数模型：ykxb(k0)2反比例函数模型：y(k0)3指数函数模型：yabxc(b0，b1，a0)4对数函数模型：ymlogaxn(a0，a1，m0)5幂函数模型：yaxnb(a0)6分段函数模型求解近似函数模型的步骤1一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()【解析】由题意知h205t，故选B.【答案】B2拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)0.5m1(单位：元)，其中m0，m表示不大于m的最大整数(如3.623，44)，当m0.5,3.2时，函数f(m)的值域是()A1,2,3,4B1,1.5,2,2.5C1,1.5,2.5,3 D1.5,2,2.5【解析】当m0.5,3.2时，m所有可能值为0,1,2,3共四个，故f(m)的值域为1,1.5,2,2.5【答案】B3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A36万件 B18万件C22万件 D9万件【解析】利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值【答案】B4某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是_【解析】已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为yaara(1r)，2期后本利和为ya(1r)a(1r)ra(1r)2，3期后本利和为ya(1r)3，x期后本利和为ya(1r)x，xN.【答案】ya(1r)x，xN5(2011湖北高考)里氏震级M的计算公式为：Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍【解析】由题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则Mlg Alg A0lg 1 000lg 0.0013(3)6.设9级地震的最大振幅是x,5级地震的最大振幅是y，9lg x3,5lg y3，解得x106，y102.所以10 000.【答案】610 0006(xx陕西高考)在图291如图291所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_(m)【解析】设矩形花园的宽为y m，则，即y40x，矩形花园的面积Sx(40x)x240x(x20)2400，当x20 m时，面积最大【答案】20考向一 033一次函数与二次函数模型的应用(xx盐城模拟)某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图292所示的抛物线一段，已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距hm(h1)时达到距水面最大高度4 m规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系(1)当h1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围图292【思路点拨】(1)利用顶点式求抛物线方程(2)利用抛物线方程在区间5,6内有解，求h的取值范围【尝试解答】由题意，最高点为(2h,4)(h1)设抛物线方程为yax(2h)24(1)当h1时，最高点为(3,4)，方程为ya(x3)24(*)将点A(2,3)代入(*)式得a1.即所求抛物线的方程为yx26x5.(2)将点A(2,3)代入yax(2h)24，得ah21.由题意，方程ax(2h)240在区间5,6内有一解令f(x)ax(2h)24x(2h)24，则解得1h.答：达到比较好的训练效果时的h的取值范围是.规律方法1 1.本例(1)在求解时，巧设抛物线的顶点式方程，从而使运算量大大简化(2)在求解时巧用零点定理避免了直接求零点而带来的繁琐计算.2.(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错.(2)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题.对点训练某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图293(1)；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图293(2)(注：利润和投资单位：万元)(1)(2)图293(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？【解】(1)设A、B两种产品分别投资x万元(x0)，所获利润分别为f(x)、g(x)万元，由题意可设f(x)k1x，g(x)k2，根据图象可解得f(x)0.25x(x0)，g(x)2(x0)(2)由(1)得f(9)2.25，g(9)26，总利润y8.25(万元)设B产品投入x万元，A产品投入(18x)万元，该企业可获总利润为y万元，则y(18x)2，0x18.令t，t0,3，则y(t28t18)(t4)2.当t4时，ymax8.5，此时x16,18x2.当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8.5万元考向二 034三种函数模型的应用某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图294所示的曲线图294(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式yf(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间【思路点拨】本题考查幂函数、指数函数、对数函数模型的实际应用，解题的关键是利用已知条件确定函数解析式，然后解不等式【尝试解答】(1)由图象，设y当t1时，由y4得k4，由1a4得a3.所以y(2)由y0.25得或解得t5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5(小时)规律方法2三种函数模型的应用技巧(1)与幂函数、指数函数、对数函数三类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.(2)在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数.对点训练一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？【解】(1)设每年降低的百分比为x(0x1)则a(1x)10a，即(1x)10.解得x1.(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1x)ma，即，解得m5.故到今年为止，已砍伐了5年(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为a(1x)n.令a(1x)na，即(1x)n，解得n15.故今后最多还能砍伐15年考向三 035分段函数模型的应用(xx杭州模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)【思路点拨】(1)当20x200时，运用待定系数法求v(x)的解析式，进而确定当0x200时，分段函数v(x)(2)根据(1)求出f(x)，根据函数的单调性与基本不等式求最值【尝试解答】(1)由题意：当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb.再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数故当x20时，其最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)2.当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以，当x100时，f(x)在区间(20,200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时规律方法3 1.理解题意，由待定系数法，准确求出v(x)，是求解本例的关键.要注意分段函数各段变量的取值范围，特别是端点值.2.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.对点训练(xx广州市培正中学月考)由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱.1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表示为y只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用(1)如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？(2)当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值【解】(1)x2，2x3.综上，得x3.即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为3.(2)当0x2时，yx8单调递增，当2x4时，y4x单调递减所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，即2x4时，y4x14142148.故当且仅当2x，即x2时，y有最大值148.规范解答之二函数建模在实际问题中的妙用解函数应用题的一般步骤：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性1个示范例1个规范练(12分)(xx江苏高考)如图295，建图295立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【规范解答】(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，3分故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米.6分(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立8分关于k的方程a2k220aka2640有正根10分判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标.12分【名师寄语】(1)求解函数实际问题，审题是关键，要弄清相关“名词”准确寻求各量之间的关系，如本例中的“炮弹射程”.(2)在求解过程中应分清变量x、y及k之间的辨证关系，结合所求，用k表示x.(3)把所求问题转化为方程有解问题；进而把方程有解问题转化为一元二次方程有正根，最后列不等式求解，用数学结果回答实际问题.(xx上海高考)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是100元(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润【解】(1)生产a千克该产品，所用的时间是小时，所获得的利润为100.所以，生产a千克该产品所获得的利润为100a元(2)生产900千克该产品，所用的时间是小时，获得的利润为90 000，1x10.记f(x)5,1x10，则f(x)325，当且仅当x6时，f(x)取到最大值f(6).获得最大利润90 000457 500(元)因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457 500元