2019年高二上学期期末考试数学试题.doc

2019年高二上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，3，则UA=（）A B1，3 C2，4，5 D1，2，3，4，5考点：补集及其运算分析：根据补集的定义直接求解：UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合解答：解：根据补集的定义，UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件UA=2，4，5故选：C点评：本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题2（5分）已知点P（3，4）是角终边上的一点，则tan=（）ABCD考点：任意角的三角函数的定义专题：三角函数的求值分析：直接利用正切函数的定义，即可得到结论解答：解：点P（3，4）是角终边上的一点，tan=，故选A点评：本题考查正切函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题3（5分）若直线y=ax+3与直线y=2x+a垂直，则实数a的值为（）A2B2CD考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系专题：直线与圆分析：由给出的直线的方程求出两条直线的斜率，因为两条直线互相垂直，所以斜率之积等于1，列式后可以求得实数a的值解答：解：直线y=ax+3的斜率为k1=a，直线y=2x+a的斜率为k2=2因为直线y=ax+3与直线y=2x+a垂直，所以k1k2=1，即a（2）=1，解得：a=故选D点评：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系，解答此类问题时，如果不需要讨论，可以求出两直线的斜率，利用斜率之积等于1解决，若y的系数含有字母，可直接利用两直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件为A1A2+B1B2=0解决此题是基础题4（5分）要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框，不考虑焊接损耗，则需要铁丝的长度至少为（）A24B12C6D3考点：基本不等式；函数最值的应用专题：不等式的解法及应用分析：设矩形的长为x，宽为y，则xy=9，铁丝的长度为2（x+y），利用基本不等式，即可得到结论解答：解：设矩形的长为x，宽为y，则xy=9铁丝的长度为2（x+y）2=12当且仅当x=y=3时，铁丝的长度最小为12，故选B点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题5（5分）如图，在边长为2的正方形ABCD内随机取一点P，分别以A、B、C、D为圆心、1为半径作圆，在正方形ABCD内的四段圆弧所围成的封闭区域记为M（阴影部分），则点P取自区域M的概率是（）ABCD考点：几何概型专题：概率与统计分析：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是正方形面积S=22，而阴影部分区域可以看作是由边长为2的正方形面积减去半径为1的圆的面积得到，最后利用几何概型的概率公式解之即可解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是矩形面积S=22=4，阴影部分区域的面积是4，由几何概型公式得到P=1，故选C点评：本题主要考查了几何概型，解题的关键求阴影部分的面积，同时考查了计算能力，属于中档题6（5分）某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD1考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：先根据三视图判断出几何体的形状及长度关系，然后利用棱锥的体积公式求出几何体的体积解答：解：由三视图知，该几何体为底面为直角边长分别为1和2的直角三角形，一条侧棱垂直底面，几何体的高为1，该几何体的体积为V=Sh=121=故选B点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用几何体的面积及体积公式解决7（5分）函数的零点所在的区间为（）ABCD考点：函数零点的判定定理专题：探究型分析：利用根的存在定理，分别判断，各区间端点处函数值的符合是否相反，从而确定零点所在的区间解答：解：函数在（0，+）上单调递增因为，所以，所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间为故选D点评：本题主要考查函数与方程的关系，利用根的存在定理去判断函数零点所在区间，是解决本题的关键8（5分）已知等差数列an的首项为4，公差为4，其前n项和为Sn，则数列 的前n项和为（）ABCD考点：数列的求和；等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的前n项和即可得出Sn，再利用“裂项求和”即可得出数列 的前n项和解答：解：Sn=4n+=2n2+2n，数列 的前n项和=故选A点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、“裂项求和”是解题的关键9（5分）在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，则=（）A4B2C2D4考点：平面向量数量积的运算专题：计算题分析：依照向量模的几何意义求出两向量的模，再求出夹角，计算即可解答：解：易知，所以原式=22=4故选D点评：本题考查向量数量积的基本运算，属于基础题此题易错点在于两向量夹角应为135，而非4510（5分）设函数f（x）的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使|f（x）|M|x|对一切实数x恒成立，则称f（x）为有界泛函有下面四个函数：f（x）=1； f（x）=x2； f（x）=2xsinx； 其中属于有界泛函的是（）ABCD考点：函数恒成立问题专题：计算题；新定义分析：本题考查阅读题意的能力，根据有界泛函的定义进行判定：对于可以利用定义直接加以判断，对于可以利用绝对值的性质将不等式变形为|x|m，对于，即|2sinx|M，只需M2，对于，将不等式变形为M，可以求出符合条件的m的最小值解答：解：对于，显然不存在M都有1M|x|成立，故错；对于，|f（x）|=|x2|M|x|，即|x|M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；错对于，f（x）|=|2xsinx|M|x|，即|2sinx|M，当M2时，f（x）=3xsinx是有界泛函对对于，|）|M|x|，即M，只需，对综上所述，故选B点评：本题属于开放式题，题型新颖，考查数学的阅读理解能力知识点方面主要考查了函数的最值及其几何意义，考生需要有较强的分析问题解决问题的能力，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11（5分）已知幂函数f（x）=x的图象过点，则函数f（x）的定义域是0，+）考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域专题：函数的性质及应用分析：依题意可求得=2，从而可求f（x）的定义域解答：解：f（x）=x的图象过点（2，），2=，=，f（x）=x，函数f（x）的定义域是0，+）故答案为：0，+）点评：本题考查幂函数的性质，求得是关键，属于基础题12（5分）如图给出的是计算值的一个程序框图，当程序结束时，n的值为xx考点：循环结构专题：计算题分析：利用循环结构的功能和判断框即可得出解答：解：当i=xx时，ixx，执行“是”后得到i=xx，xxxx不成立，执行“否”，输出S故答案为xx点评：正确理解循环结构的功能和判断框是解题的关键13（5分）已知ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，4，0），B（2，0，3），C（2，2，z），若C=90，则z的值为1或4考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系专题：计算题；平面向量及应用分析：由C=90，可得，利用向量的数量积运算可求得z值解答：解：=（0，2，z），=（0，2，z3），因为C=90，所以，即022+z（z3）=0，解得z=1或4，故答案为：1或4点评：本题考查利用数量积判断两个向量的垂直关系，属基础题14（5分）设实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是8，34考点：简单线性规划专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，设P（x，y），可得x2+y2=|OP|2表示O、P两点距离的平方之值，因此运动点P并加以观察可得|OP|的最大、最小值，即可得到x2+y2的范围解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（3，5），B（3，1），C（1，3）设P（x，y）为区域内一个动点则|OP|=，因此x2+y2=|OP|2表示O、P两点距离的平方之值当P与A重合时|OP|=达到最大值，当P与原点O在BC上的射影D重合量，|OP|=2达到最小值|OP|2的最小值为8，最大值为34，即x2+y2的取值范围是8，34故答案为：8，34点评：本题给出二元一次不等式组，求x2+y2的取值范围，着重考查了两点的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.15（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，1），C（1，0）（1）求以点C为圆心，且经过点A的圆C的标准方程；（2）若直线l的方程为x2y+9=0，判断直线l与（1）中圆C的位置关系，并说明理由考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程专题：直线与圆分析：（1）因为圆C的圆心为C（1，0），可设圆C的标准方程为（x1）2+y2=r2把点A（3，1）代入圆C的方程求得r2=5，从而求得圆C的标准方程（2）由于圆心C到直线l的距离为，大于半径，可得直线l与圆C相离解答：解：（1）因为圆C的圆心为C（1，0），可设圆C的标准方程为（x1）2+y2=r2因为点A（3，1）在圆C上，所以（31）2+12=r2，即r2=5所以圆C的标准方程为（x1）2+y2=5（2）由于圆心C到直线l的距离为因为，即dr，所以直线l与圆C相离点评：本小题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系等基础知识，点到直线的距离公式的应用，属于中档题16（12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若，求的值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的求值分析：（1）利用两角和的正弦公式及周期即可得出；（2）利用（1）及已知可得sin，进而得到cos，于是可得解答：解：（1）=所以函数f（x）的最小正周期是2（2）由（1）得，因为，所以即 因为，所以所以=4sincos=点评：本小题主要考查周期的概念，考查三角恒等变换的运算以及化归与转化的数学思想17（14分）对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取N名学生作为样本，得到这N名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率3，6）10m6，9）np9，12）4q12，1520.05合计N1（1）求出表中N，p及图中a的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人，求至少有一人参加社区服务次数在区间12，15内的概率考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图专题：概率与统计分析：（1）由分组12，15）内的频数是2，频率是0.05，可得，所以N=40再由10+n+4+2=40，解得n=24，由此求得以及的值（2）记“至少有一人参加社区服务次数在区间12，15）内”为事件A这个样本中参加社区服务次数不少于9次的学生共有4+2=6人从这6人中任选2人的所有可能结果，用列举法求得共15种，事件A包含的结果有9种，由此求得事件A发生的概率解答：解：（1）由分组12，15）内的频数是2，频率是0.05，可得，所以N=40因为频数之和为40，所以10+n+4+2=40，解得n=24所以，因为a是对应分组6，9）的频率与组距的商，所以，（2）记“至少有一人参加社区服务次数在区间12，15）内”为事件A这个样本中参加社区服务次数不少于9次的学生共有4+2=6人记在区间9，12）内的4人为a1，a2，a3，a4，在区间12，15）内的2人为b1，b2从这6人中任选2人的所有可能结果有：a1，a2，a1，a3，a1，a4，a1，b1，a1，b2，a2，a3，a2，a4，a2，b1，a2，b2，a3，a4，a3，b1，a3，b2，a4，b1，a4，b2，b1，b2，共15种事件A包含的结果有：a1，b1，a1，b2，a2，b1，a2，b2，a3，b1，a3，b2，a4，b1，a4，b2，b1，b2，共9种所以所求概率为点评：本小题主要考查频数、频率等基本概念，考查古典概型等基础知识，属于基础题18（14分）如图所示，AB是O的直径，点C是O圆周上不同于A、B的任意一点，PA平面ABC，点E是线段PB的中点，点M在上，且MOAC（1）求证：BC平面PAC；（2）求证：平面EOM平面PAC考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定专题：计算题；空间位置关系与距离分析：（1）由PA平面ABC，证出PABC，由直径所对的圆周角证出BCAC，再利用线面垂直判定定理，即可证出BC平面PAC（2）根据三角形中位线定理证出EOPA，从而得到EO平面PAC，由MOAC证出MO平面PAC，再结合面面平行判定定理即可证出平面EOM平面PAC解答：解：（1）点C是以AB为直径的O圆周上不同于A、B的任意一点，ACB=90，即BCACPA平面ABC，BC平面ABC，PABCAC平面PAC，PA平面PAC，ACPA=A，BC平面PAC（2）点E是线段PB的中点，点O是线段AB的中点，EOPAPA平面PAC，EO平面PAC，EO平面PACMOAC，AC平面PAC，MO平面PAC，MO平面PACEO平面EOM，MO平面EOM，EOMO=O，平面EOM平面PAC点评：本题给出特殊锥体，求证线面垂直并证明面面平行，着重考查直线与平面垂直的判定、平面与平面平行的判定定理等知识，考查空间想象能力，属于中档题19（14分）已知数列an满足a1=1，（nN*，为常数），且a1，a2+2，a3成等差数列（1）求的值；（2）求数列an的通项公式；（3）设数列bn满足bn=，证明：bn考点：等差数列的性质；数列与不等式的综合专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用数列递推式，结合a1，a2+2，a3成等差数列，即可求的值；（2）由（nN*），可得（n2），利用叠加法，结合等比数列的求和公式，即可求数列an的通项公式；（3）确定数列bn的通项，可得其单调性，即可证明结论解答：（1）解：因为a1=1，（nN*），所以，因为a1，a2+2，a3成等差数列，所以a1+a3=2（a2+2），即2+6=2（3+2），解得=2（2）解：由（1）得，=2，所以（nN*），所以（n2）当n2时，an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=1+22+23+2n=2n+13又a1=1也适合上式，所以数列（，a的通项公式为（nN*）（3）证明：由（2）得，所以因为，当n3时，（n1）2+20，所以当n3时，bn+1bn0，即bn+1bn又，所以（nN*）点评：本小题主要考查等差数列的概念，考查数列求和、单调性等基础知识以及运算求解能力、推理论证能力等20（14分）设a为常数，aR，函数f（x）=x2+|xa|+1，xR（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）求函数f（x）的最小值考点：带绝对值的函数；函数奇偶性的判断专题：计算题；函数的性质及应用分析：（1）根据偶函数的定义，采用比较系数法，可得（x+a）2=（xa）2对任意的xR成立，故可得a=0（2）分xa与xa两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质加以分析，可得当时，函数在x=a处取得最小值，而当时，函数在x=处取得最小值；当时，函数在x=处取得最小值由此即可得到本题的答案解答：解：（1）函数f（x）为偶函数，对任意的xR都有f（x）=f（x），即（x）2+|xa|+1=x2+|xa|+1，对任意的xR都有|x+a|=|xa|，也就是（x+a）2=（xa）2对任意的xR成立，故4ax=0恒成立，可得a=0（2）当xa时，若，则函数f（x）在（，a上单调递减所以函数f（x）在（，a上的最小值为f（a）=a2+1若，则函数f（x）在上单调递减，在上单调递增所以函数f（x）在（，a上的最小值为当xa时，若，则函数f（x）在上单调递减，在单调递增所以函数f（x）在a，+）上的最小值为若，则函数f（x）在a，+）单调递增所以函数f（x）在a，+）上的最小值为f（a）=a2+1综上所述，可得当时，函数f（x）的最小值是；当时，函数f（x）的最小值是a2+1；当时，函数f（x）的最小值是点评：本小题主要考查偶函数的概念，考查二次函数的单调性、最值等基础知识以及运算求解能力、分类讨论思想等知识，属于中档题