2019-2020年高考数学 曲线与方程练习.doc

2019-2020年高考数学 曲线与方程练习1、过抛物线(为大于0的常数)的焦点F,作与坐标轴不垂直的直线交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交轴于Q点，求PQ中点R的轨迹L的方程.2、平面内两定点M（0，一2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题： m，使曲线E过坐标原点； 对m，曲线E与x轴有三个交点； 曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称； 若P、M、N三点不共线，则 PMN周长的最小值为24; 曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN的面积不大于m。 其中真命题的序号是（填上所有真命题的序号）3、在直角坐标系中，曲线上的点均在圆外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值（1）求曲线的方程；（2）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值4、已知点M到点的距离比到点M到直线的距离小4；（）求点M的轨迹的方程；（）若曲线C上存在两点A，B关于直线l:对称，求直线AB的方程5、在棱长为的正方体中，是的中点，点在侧面 上运动现有下列命题：若点总保持，则动点的轨迹所在的曲线是直线；若点到点的距离为，则动点的轨迹所在的曲线是圆；若满足，则动点的轨迹所在的曲线是椭圆；若到直线与直线的距离比为，则动点的轨迹所在的曲线是双曲线；若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是抛物线其中真命题的个数为（ ）A4 B3 C2 D1 6、设圆与两圆 ，中的一个内切，另一个外切(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点，且P为L上动点，求|的最大值及此时点的坐标7、已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于，两点，且点的坐标为，点是椭圆上异于点,的任意一点，点满足，且，三点不共线.（1）求椭圆的方程；（2）求点的轨迹方程；（3）求面积的最大值及此时点的坐标.8、在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，记点P的轨迹为曲线E（I）求曲线E的方程；（II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，当点M在曲线E上时，求四边形OAMB的面积9、设到定点的距离和它到直线距离的比是（）求点的轨迹方程；（）为坐标原点,斜率为的直线过点,且与点的轨迹交于点,若,求的面积10、已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P做PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且（）求点N的轨迹方程；（）直线l与点N的轨迹交于A、B不同两点，若，且求直线l的斜率k的取值范围.11、已知平面内一动点到点的距离等于它到直线的距离（）求动点的轨迹的方程; （）若直线与曲线交于两点,且,又点,求的最小值12、已知圆内有一点，为过点的弦（1）当的倾斜角为时，求的长；（2）求的中点的轨迹方程13、设、R，常数定义运算“”：（1）若求动点轨迹C的方程；（2）若，不过原点的直线与轴、轴的交点分别为T、S，并且与(1)中轨迹C交于不同的两点P、Q , 试求的取值范围；（3）设是平面上的任一点，定义、若在（1）中轨迹C上存在不同的两点A1、A2，使得成立，求实数的取值范围14、已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，椭圆上的动点到直线的最小距离为2，延长至使得，线段上存在异于的点满足.（）求椭圆的方程；（）求点的轨迹的方程；（）求证：过直线上任意一点必可以作两条直线与的轨迹相切，并且过两切点的直线经过定点.15、已知点的坐标分别为，直线相交于点,且它们的斜率之积是（I）求点的轨迹方程；（II）过点作两条互相垂直的射线，与点的轨迹交于两点.试判断点到直线的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由.16、已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,（）求圆的方程；（）求过点的圆的切线方程；（）已知，点在圆上运动，求以,为一组邻边的平行四边形的另一个顶点轨迹方程17、设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.（）求点的轨迹方程；（）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？18、已知定点F(0，1)和直线：y1，过定点F与直线相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线交动点C的轨迹于两点P、Q，交直线于点R，求的最小值；(3)过点F且与垂直的直线交动点C的轨迹于两点R、T，问四边形PRQT的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由19、设过点的直线分别与轴和轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且（）求点的轨迹的方程；（）过的直线与轨迹交于两点，求的取值范围20、在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题.（1）已知动点P为圆O：外一点，过P引圆O的两条切线PA、PB，A、B为切点，若，求动点P的轨迹方程；（2）若动点Q为椭圆M：外一点，过Q引椭圆M的两条切线QC、QD，C、D为切点，若，求出动点Q的轨迹方程；（3）在（2）问中若椭圆方程为，其余条件都不变，那么动点Q的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）. 答 案1、抛物线的焦点为,设的直线方程为.由得,设M,N的横坐标分别为,则,得,而,故PQ的斜率为,PQ的方程为.代入得.设动点R的坐标,则,因此,故PQ中点R的轨迹L的方程为. 2、解析：平面内两定点M（0，2）和N（0，2），动点P（x，y）满足|=m（m4），=m（0，0）代入，可得m=4，正确；令y=0，可得x2+4=m，对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确；曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确；若P、M、N三点不共线，|+|2=2，所以PMN周长的最小值为2+4，正确；曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为2SMNG=|GM|GN|sinMGNm，四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确故答案为：3、解析：（1）解法1 ：设的坐标为，由已知得，1分易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以.化简得曲线的方程为. 4分解法2 ：曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线， 2分故其方程为. 4分（2）当点在直线上运动时，P的坐标为，又，则过且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为，即于是整理得 6分设过所作的两条切线的斜率分别为，则是方程的两个实根，故 7分由得 8分设四点的纵坐标分别为，则是方程的两个实根，所以 9分同理可得 10分于是由，三式得 .13分所以，当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值6400. 14分4、（1）结合图形知，点M不可能在轴的左侧，即M到点的距离等于M到直线的距离M的轨迹是抛物线，为焦点，为准线M的轨迹方程是：（或由化简得）6分（2）设则 相减得 又的斜率为4则 中点的坐标为， 即经检验，此时，与抛物线有两个不同的交点，满足题意. 12分5、C6、(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.(2)由图知，|MP|FP|MF|，当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|FP|取得最大值|MF|，7、（1）；（2），除去四个点，；（3），点的坐标为或.试题分析：（1）由双曲线的顶点得椭圆的焦点，由椭圆的定义得的值，利用即可得椭圆的方程；（2）设点，先写出，的坐标，再根据已知条件可得，代入，化简，即可得点的轨迹方程；（3）先计算的面积，利用基本不等式即可得的面积的最大值.试题解析：（1）解法1： 双曲线的顶点为, 1分 椭圆两焦点分别为,. 设椭圆方程为， 椭圆过点， ，得. 2分 . 3分 椭圆的方程为 . 4分解法2: 双曲线的顶点为, 1分 椭圆两焦点分别为,. 设椭圆方程为， 椭圆过点， . 2分 , 3分由解得, . 椭圆的方程为 . 4分（2）解法1：设点，点，由及椭圆关于原点对称可得，.由 , 得 ， 5分即 . 同理, 由, 得 . 6分得 . 7分由于点在椭圆上, 则，得,代入式得 . 当时，有， 当，则点或,此时点对应的坐标分别为或 ，其坐标也满足方程. 8分当点与点重合时，即点，由得 ，解方程组 得点的坐标为或.同理, 当点与点重合时，可得点的坐标为或.点的轨迹方程为 , 除去四个点, ,. 9分解法2：设点，点，由及椭圆关于原点对称可得，.， 5分. 6分 得 . (*) 7分 点在椭圆上, ，得,代入(*)式得，即, 化简得 . 若点或, 此时点对应的坐标分别为或 ，其坐标也满足方程. 8分当点与点重合时，即点，由得 ，解方程组 得点的坐标为或.同理, 当点与点重合时，可得点的坐标为或.点的轨迹方程为 , 除去四个点, ,.9分(3) 解法：点到直线的距离为.的面积为10分 . 11分而（当且仅当时等号成立）. 12分当且仅当时, 等号成立.由解得或 13分的面积最大值为, 此时,点的坐标为或.14分解法：由于，故当点到直线的距离最大时，的面积最大 10分设与直线平行的直线为，由消去，得， 由，解得11分若，则，；若，则， 12分故当点的坐标为或时，的面积最大，其值为14分8、（）设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)9、（）由已知得化简得点的轨迹方程为6分（）设直线的方程为.联立方程组消去并整理得故又所以,可得,所以由原点到直线的距离所以 12分10、（）由于 则P为MN的中心， 设N（x，y），则M（x,0）,P（0，）， 由 得 所以点N的轨迹方程为 。4分（）设直线l的方程是与： 设则： 。6分由 即 由于直线与N的轨迹交于不同的两点， 则 把 。8分 而 。10分又因为 解得 综上可知k的取值范围是. 。12分11、（）依题知动点的轨迹是以为焦点,以直线为准线的抛物线,1分 所以其标准方程为 4分（）设,则因为,所以即（）6分又设直线,代入抛物线的方程得,所以,且8分也所以,所以（）式可化为,即 ,得,或10分此时恒成立,且,所以由二次函数单调性可知,当时,有最小值13分12、（1）由题意得，圆心，半径当时，直线的斜率， 2分直线的方程为：，即，圆心到直线的距离为：，4分由垂径定理得，6分（2）法1：设点的坐标为， 7分若、三点不共线时，则， 9分即，化简得， （*） 11分若、重合时，即，则也满足上述方程（*） 12分若、重合时，即，则也满足上述方程（*） 13分综上所述，点的轨迹方程为（或）14分法2：设点的坐标为， 7分当且时，由题意有，则， 9分又，化简得， （*） 11分当或时，点或或或均满足方程13分所以点的轨迹方程为 14分法3：设点的坐标为， 7分由题意有，则， 9分， 10分，化简得， 13分所以点的轨迹方程为 14分13、（1）设, 又由，可得动点轨迹的方程为：（2）由题得，设直线 , 依题意，则都在直线上，则由题，由 消去得，代入得，又知，所以即的取值范围是14、（1）依题意得， 2分解得，3分椭圆的方程为4分（2）解法1：设点的坐标为.当重合时，点坐标为和点，5分当不重合时，由，得.6分由及椭圆的定义，7分所以为线段的垂直平分线，为线段的中点在中，8分所以有.综上所述，点的轨迹的方程是.9分解法2：设点的坐标为.当重合时，点坐标为和点，5分当不重合时，由，得.6分由及椭圆的定义，7分所以为线段的垂直平分线，为线段的中点设点的坐标为，则，因此8分由,得, 将代入，可得.综上所述，点的轨迹的方程式.9分（3） 直线与相离，过直线上任意一点可作圆的两条切线10分所以 所以四点都在以为直径的圆上，11分其方程12分为两圆的公共弦，-得：的方程为13分显然无论为何值，直线经过定点.14分15、（I） ;（II）为定值解析：（）解：，由题可得 .（4分） 所以点M的轨迹方程为 .（6分 ） （）点O到直线AB的距离为定值 ，设, 当直线AB的斜率不存在时，则为等腰直角三角形，不妨设直线OA： 将代入，解得 所以点O到直线AB的距离为； .（8分） 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为与 联立消去得 ， .（9分） 因为，所以， 即 所以，整理得，.（12分 ） 所以点O到直线AB的距离 综上可知点O到直线AB的距离为定值 .（13分 ） 16、（） 因为圆与轴交于两点,所以圆心在直线上由得即圆心的坐标为 2分半径,所以圆的方程为. 4分（）由坐标可知点在圆上，由得切线的斜率为， 故过点的圆的切线方程为. 8分（）设， 因为为平行四边形，所以其对角线互相平分， 即解得 1 0分 又在圆上， 代入圆的方程得，即所求轨迹方程为，除去点和 13分17、（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线2分 曲线方程是4分（2）设圆的圆心为，圆过，圆的方程为7分令得：设圆与轴的两交点分别为，方法1：不妨设，由求根公式得，10分又点在抛物线上，即4-13分当运动时，弦长为定值414分方法2：，又点在抛物线上， 当运动时，弦长为定值4.18、（3）19、（）过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A， B两点，点Q与点P关于y轴对称，Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b）， O为坐标原点， =（x，y-b），=（a-x，-y），=（-x，y）， =3且 ， 解得点P的轨迹M的方程为（）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k， 联立，得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-3=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=， =（x1-2，y1），=（x2-2，y2），=（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）（x1-2）（x2-2）=（1+k2）x1x2-2（x1+x2）+4=（1+k2）（+4）=，当k2的最小值；当k=0时，的最大值为1的取值范围是（，120、解：（1）由切线的性质及可知，四边形OAPB为正方形，所以点P在以O为圆心，长为半径的圆上，且，进而动点P的轨迹方程为3分（2）设两切线为，当与轴不垂直且不平行时，设点Q的坐标为则，设的斜率为，则，的斜率为，的方程为，联立，得，5分因为直线与椭圆相切，所以，得化简，进而 所以7分所以是方程的一个根，同理是方程的另一个根，得，其中，9分当轴或轴时，对应轴或轴，可知；因为满足上式，综上知：点P的轨迹方程为10分（3）动点Q的轨迹方程是12分