2019年高二下学期期中数学试卷（理科） 含解析.doc

2019年高二下学期期中数学试卷（理科） 含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若复数z=（8+i）i在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）A正方形的对角线相等B平行四边形的对角线相等C正方形是平行四边形D以上均不正确3用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、bR）”，其反设正确的是（）Aa、b至少有一个不为0Ba、b至少有一个为0Ca、b全不为0Da、b中只有一个为04用数学归纳法证明1+2+3+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）Ak2+1B（k+1）2CD（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）25（1+cosx）dx等于（）AB2C2D+26因为a，bR+，a+b2，大前提x+2，小前提所以x+2，结论以上推理过程中的错误为（）A小前提B大前提C结论D无错误7由曲线y=x22x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）ABCD8复数z=，则z的共轭复数在复平面内对应的点（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限9用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A6n2B8n2C6n+2D8n+210给出下列三个类比结论（ab）n=anbn与（a+b）n类比，则有（a+b）n=an+bn；loga（xy）=logax+logay与sin（+）类比，则有sin（+）=sinsin；（a+b）2=a2+2ab+b2与（+）2类比，则有（+）2=+2+；其中结论正确的个数是（）A0B1C2D311自然数按如图的规律排列：则上起第xx行左起xx列的数为（）Axx2Bxx2CxxxxDxxxx12若定义运算：；，例如23=3，则下列等式不能成立的是（）Aab=baB（ab）c=a（bc）C（ab）2=a2b2Dc（ab）=（ca）（cb）（c0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13若实数x，y满足（x3y）+（2x+3y）i=5+i，则x+y=14设，则=15已知数列an的每一项均为正数，a1=1，a2n+1=an2+1（n=1，2），试归纳成数列an的一个通项公式为16复数的模为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17实数m取什么数值时，复数z=m21+（m2m2）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？18计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S19（）求证： +2（）已知a0，b0且a+b2，求证：，中至少有一个小于220试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知0a1，则+921（1）用数学归纳法证明：12+22+32+n2=，n是正整数；（2）用数学归纳法证明不等式：1+2（nN*）22已知：sin230+sin290+sin2150=，sin25+sin265+sin2125=通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明xx学年北京市昌平区临川育人学校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若复数z=（8+i）i在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】根据复数四则运算进行化简，然后根据复数的几何意义，即可得到结论【解答】解：z=（8+i）i=8i+i2=18i，对应的点的坐标为（1，8），位于第三象限，故选：C2由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）A正方形的对角线相等B平行四边形的对角线相等C正方形是平行四边形D以上均不正确【考点】进行简单的演绎推理【分析】三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相等”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形”另外一个是结论【解答】解：由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：”正方形的对角线相等“，故选A3用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、bR）”，其反设正确的是（）Aa、b至少有一个不为0Ba、b至少有一个为0Ca、b全不为0Da、b中只有一个为0【考点】反证法与放缩法【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设【解答】解：由于“a、b全为0（a、bR）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选 A4用数学归纳法证明1+2+3+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）Ak2+1B（k+1）2CD（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2【考点】数学归纳法【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+k2+k2+1+k2+2+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2故选D5（1+cosx）dx等于（）AB2C2D+2【考点】定积分【分析】由于F（x）=x+sinx为f（x）=1+cosx的一个原函数即F（x）=f（x），根据abf（x）dx=F（x）|ab公式即可求出值【解答】解：（x+sinx）=1+cosx，（1+cosx）dx=（x+sinx）=+sin=+2故选D6因为a，bR+，a+b2，大前提x+2，小前提所以x+2，结论以上推理过程中的错误为（）A小前提B大前提C结论D无错误【考点】进行简单的演绎推理【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论【解答】解：，这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，a，b都是正数，是小前提，没有写出x的取值范围，本题中的小前提有错误，故选A7由曲线y=x22x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）ABCD【考点】定积分在求面积中的应用【分析】先确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，求出原函数，即可求得结论【解答】解：由题意，曲线y=x22x与直线x+y=0的交点坐标为（0，0），（1，1）曲线y=x22x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为=（）=故选D8复数z=，则z的共轭复数在复平面内对应的点（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的混合运算【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，然后求出z的共轭复数，得到坐标，则答案可求【解答】解：z=i，z的共轭复数=+i，复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（，）z的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限故选：A9用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A6n2B8n2C6n+2D8n+2【考点】归纳推理【分析】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则组成不同个数的图形的火柴棒的个数组成一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n项的火柴根数【解答】解：第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+26个火柴组成，以此类推组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n1）第n个图中的火柴棒有6n+2故选：C10给出下列三个类比结论（ab）n=anbn与（a+b）n类比，则有（a+b）n=an+bn；loga（xy）=logax+logay与sin（+）类比，则有sin（+）=sinsin；（a+b）2=a2+2ab+b2与（+）2类比，则有（+）2=+2+；其中结论正确的个数是（）A0B1C2D3【考点】类比推理【分析】分别利用运算的法则：利用乘方的运算法则；利用三角函数的运算法则；利用幂的运算法则；逐个进行验证，判断每个小题的正误【解答】解：根据乘方的运算法则知：（a+b）nan+bn，不正确；根据三角函数的运算法则知：sin（+）sinsin，不正确；根据幂的运算法则知：（+）2=2+2+2，正确；故选B11自然数按如图的规律排列：则上起第xx行左起xx列的数为（）Axx2Bxx2CxxxxDxxxx【考点】数列的函数特性；等差数列的通项公式【分析】由题意可知：根据数的排列特征，可以从行和列两个角度观察分析，总结出这个自然数表的排列特征，由此能够求出结果【解答】解：经观察，这个自然数表的排列特征有：第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；第一行第n个数为（n1）2+1；第n行中从第1个数至第n个数依次递减1；第n列中从第1个数至第n个数依次递增1故上起第xx行，左起第xx列的数，应是第xx列的第xx个数，即为2+1+xx=xx2+xx=xxxx故选D12若定义运算：；，例如23=3，则下列等式不能成立的是（）Aab=baB（ab）c=a（bc）C（ab）2=a2b2Dc（ab）=（ca）（cb）（c0）【考点】函数的概念及其构成要素【分析】利用题中的新定义知ab表示a，b中的最大值，分别对各选项判断表示的值【解答】解：由题中的定义知ab表示a，b中的最大值ab与ba表示的都是a，b中的最大值（ab）c与a（bc）表示的都是a，b，c中的最大值c（ab）表示a，b的最大值与c的乘积；（ca）（cb）表示ca与cb中最大值故c（ab）=（ca）（cb）故A、B、D都对故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13若实数x，y满足（x3y）+（2x+3y）i=5+i，则x+y=1【考点】复数代数形式的加减运算【分析】实数x，y满足（x3y）+（2x+3y）i=5+i利用复数相等的条件求出x、y，然后求x+y的值【解答】解：因为实数x，y满足（x3y）+（2x+3y）i=5+i，可得所以x=2，y=1所以x+y=1故答案为：114设，则=【考点】微积分基本定理【分析】由于函数f（x）为分段函数，则=，再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值【解答】解：由于，定义当x1，e时，f（x）=，则=，故答案为15已知数列an的每一项均为正数，a1=1，a2n+1=an2+1（n=1，2），试归纳成数列an的一个通项公式为an=【考点】数列的概念及简单表示法【分析】由a1=2，an+12=an2+1，即an+12an2=1，可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出结论【解答】解：a1=1，an+12=an2+1，即an+12an2=1，数列是等差数列，公差为1，首项为1，an0，an=故答案为：an=16复数的模为【考点】复数求模【分析】根据复数的运算性质化简，求模即可【解答】解：=i，模是=，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17实数m取什么数值时，复数z=m21+（m2m2）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？【考点】复数的基本概念【分析】由复数的解析式可得，（1）当虚部等于零时，复数为实数；（2）当虚部不等于零时，复数为虚数；（3）当实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数；（4）当实部大于零且虚部小于零时，复数在复平面内对应的点位于第四象限【解答】解：复数z=m21+（m2m2）i，（1）当m2m2=0，即m=1，或m=2时，复数为实数（2）当m2m20，即m1，且m2时，复数为虚数（3）当 m2m20，且m21=0时，即m=1时，复数为纯虚数（4）当m210，且m2m20时，即 1m2时，表示复数z的点在复平面的第四象限18计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S【考点】定积分在求面积中的应用【分析】首先利用定积分是几何意义将所求面积表示出来，然后进行定积分的计算【解答】解：由题图得到S=19（）求证： +2（）已知a0，b0且a+b2，求证：，中至少有一个小于2【考点】不等式的证明【分析】（）利用了分析法，和两边平方法，（）利用了反证法，假设：，都不小于2，则2，2，推得即a+b2，这与已知a+b2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立【解答】（）证明：因为和都是正数，所以为了证明+2，只要证 （+）2（2）2只需证：1020，即证：210，即证：5，即证：2125，因为2125显然成立，所以原不等式成立（）证明：假设：，都不小于2，则2，2，a0，b0，1+b2a，1+a2b，1+b+1+a2（a+b）即 a+b2这与已知a+b2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立20试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知0a1，则+9【考点】反证法；分析法和综合法【分析】分析法是从结论出发找出要证结论的充分条件；反证法是假设结论不成立，从假设出发：同分；两边同时乘以a（1a）；得到不成立的结论，从而得证；综合法即将分析法的每一步倒过来【解答】解：分析法： +99反证法：假设+9，通分得90a1，1+3a9a（1a），整理得（3a1）20，这与平方数不小于0矛盾假设不成立，则+9综合法：由（3a1）20，变形得1+3a9a（1a）0a1，9，即+921（1）用数学归纳法证明：12+22+32+n2=，n是正整数；（2）用数学归纳法证明不等式：1+2（nN*）【考点】数学归纳法【分析】根据数学归纳法的证明步骤先验证n=1时结论成立，再假设n=k时，结论成立，推导n=k+1时结论成立即可【解答】证明：（1）n=1时，左边=12=1，右边=1，等式成立，假设n=k时，等式成立，即12+22+32+k2=，则n=k+1时，12+22+32+k2+（k+1）2=+（k+1）2= 2k2+k+6（k+1）=（2k2+7k+6）=当n=k+1时，等式成立，由得：12+22+32+n2=（2）n=1时，显然不等式成立，假设n=k时，不等式成立，即1+2则当n=k+1时，1+2+=2当n=k+1时，不等式成立由得1+222已知：sin230+sin290+sin2150=，sin25+sin265+sin2125=通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明【考点】归纳推理；三角函数恒等式的证明【分析】分析已知条件中：sin230+sin290+sin2150=，sin25+sin265+sin2125=我们可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论【解答】解：由已知中sin230+sin290+sin2150=，sin25+sin265+sin2125=归纳推理的一般性的命题为：sin2（60）+sin2+sin2（+60）=证明如下：左边=+= cos（2120）+cos2+cos（2+120）=右边结论正确xx年8月2日