2019-2020年高三第四次诊断考试数学（文）试题含解析.doc

2019-2020年高三第四次诊断考试数学（文）试题含解析一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项符合题意）1（5分） 设复数z=（34i）（1+2i）（i是虚数单位），则复数z的虚部为（） A 2 B 2 C 2i D 2i【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 计算题【分析】： 熟练掌握复数的运算法则和虚部的意义即可得出【解析】： 解：复数z=（34i）（1+2i）=11+2i，复数z的虚部为2故选B【点评】： 正确理解复数的运算法则和虚部的意义是解题的关键2（5分） 已知全集U=R，集合A=x|x2x60，B=x|0，那么集合A（UB）=（） A x|2x4 B x|x3或x4 C x|2x0 D x|0x3【考点】： 交、并、补集的混合运算【专题】： 集合【分析】： 求出A，B中不等式的解集确定出B，根据全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可【解析】： 解：集合A=x|x2x60=x|2x3，B=x|0=x|x0，或x4UB=x|0x4，A（UB）=x|0x3故选：D【点评】： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键3（5分） 下列有关命题的叙述错误的是（） A 若p是q的必要条件，则p是q的允分条件 B 若p且q为假命题，则p，q均为假命题 C 命题“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0” D “x2”是“”的充分不必要条件【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 简易逻辑【分析】： 由充分条件、必要条件的判定方法判断A，D；由复合命题的真值表判断B；写出原命题的否定判断C【解析】： 解：对于A，若p是q的必要条件，则qp，即pq，则p是q的充分条件，A正确；若p且q为假命题，则p，q中至少一个为假命题，B错误；命题“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0，C正确；由x2，反之不成立，“x2”是“”的充分不必要条件，D正确故选：B【点评】： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分条件、必要条件的判定方法，是基础题4（5分） 将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（） A B C D 【考点】： 球的体积和表面积【专题】： 计算题【分析】： 根据已知中，将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，结合正方体和圆的结构特征，我们可以求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案【解析】： 解：将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球时，球的直径等于正方体的棱长1，则球的半径R=则球的体积V=故选D【点评】： 本题考查的知识点是球的体积，其中根据正方体和圆的结构特征，求出球的半径，是解答本题的关键5（5分） 设，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是（） A 2 B 4 C 6 D 8【考点】： 三点共线；基本不等式【专题】： 计算题【分析】： 根据题意首先求出 和 的坐标，再根据两个向量共线的性质得到2a+b=1，然后结合所求的式子的结构特征利用基本不等式求出其最小值【解析】： 解：由题意可得：=（1，2），=（a，1），=（b，0），所以=（a1，1），=（b1，2）又A、B、C三点共线，从而（a1 ）21（b1）=0，可得2a+b=1又a0，b0+=（ +）（2a+b）=4+（ ）4+4=8故 +的最小值是8故选D【点评】： 解决此类问题的关键是熟练掌握向量共线与点共线之间的关系，以及两个向量共线时坐标形式的运算公式，考查基本不等式的应用，此题得到2a+b=1是解题的关键6（5分） 函数的图象可能是（） A B C D 【考点】： 函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析x（2，1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案【解析】： 解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为（2，1）（1，+）可排除B，D答案当x（2，1）时，sinx0，ln（x+2）0则0可排除C答案故选A【点评】： 本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键7（5分） 已知等差数列an共有2n1项，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（） A B C D 【考点】： 等差数列的性质【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 求出等差数列的奇数项和与偶数项和，然后直接作比得答案【解析】： 解：等差数列an共有2n1项，那么奇数项有n个，偶数项有n1个，于是故选：C【点评】： 本题考查了等差数列的性质，是基础的计算题8（5分） 已知函数f（x）=2sin（），则f（1）+f（2）+f（xx）的值为（） A l B 1 C D 0【考点】： 三角函数的周期性及其求法；函数的值【专题】： 函数的性质及应用；三角函数的求值【分析】： 利用三角函数求出函数的周期，求出已改周期内的函数值，然后求解所求表达式的函数值即可【解析】： 解：函数f（x）=2sin（），所以函数的周期为：=4f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2sin（）+2sin（）+2sin（）+2sin（）=2（）=0，f（1）+f（2）+f（xx）=f（1）+f（2）+f（3）+503（f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2（）=故选：C【点评】： 本题考查三角函数的周期的求法，函数的周期性的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力9（5分） 已知圆的方程为x2+y26x8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（） A 10 B 20 C 30 D 40【考点】： 直线与圆相交的性质【专题】： 压轴题【分析】： 根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可【解析】： 解：圆的标准方程为（x3）2+（y4）2=52，由题意得最长的弦|AC|=25=10，根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且ACBD，四边形ABCD的面积S=|AC|BD|=104=20故选B【点评】： 考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半10（5分）（xx市中区校级四模）若函数y=|x2+4x3|的图象C与直线y=kx相交于点M（2，1），那么曲线C与该直线的交点的个数为（） A 1 B 2 C 3 D 4【考点】： 二次函数的性质；函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 直线y=kx过点M（2，1），求出y=，画出图象y=，函数y=|x2+4x3|，即可得出交点个数【解析】： 解：直线y=kx过点M（2，1），1=2k，k=，y=，函数y=|x2+4x3|作图如下：曲线C与该直线的交点的个数为4故选：D【点评】： 本题考查了函数的图象解决问题，画出图象，即可判断交点，难度不大，属于容易题二、填空题（本题包括5小题，共25分）11（5分） 为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年教育支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y=0.15x+0.2由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增加0.15万元【考点】： 线性回归方程【专题】： 应用题【分析】： 写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，得到家庭年收入每增加 1万元，年教育支出平均增加的数字，得到结果【解析】： 解：对x的回归直线方程y=0.15x+0.2y1=0.15（x+1）+0.2，y1y=0.15（x+1）+0.20.15x0.2=0.15，故答案为：0.15【点评】： 本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，用来预报当自变量取某一个数值时对应的y的值，注意本题所说的是平均增，注意叙述正确12（5分） 若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为【考点】： 几何概型【专题】： 计算题【分析】： 由我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内也单位圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案【解析】： 解：满足约束条件 区域为ABC内部（含边界），与单位圆x2+y2=1的公共部分如图中阴影部分所示，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率概率为P=故答案为：【点评】： 本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解13（5分） 如图在程序框图中，若输入n=6，则输出k的值是3【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，k的值，当n=111时，满足条件n100，退出循环，输出k的值为3【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得n=6，k=0n=13，不满足条件n100，k=1n=27，不满足条件n100，k=2n=55，不满足条件n100，k=3n=111，满足条件n100，退出循环，输出k的值为3故答案为：3【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的n，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查14（5分） 已知抛物线C：y2=4x及直线l：xy+4=0；户是抛物线C上的动点，记尸到抛物线C准线的距离为d1，P到直线的距离为d2，则dl+d2的最小值为【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线xy+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值【解析】： 解：点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线xy+4=0的垂线，此时d1+d2最小，F（1，0），则d1+d2=，故答案为：【点评】： 本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用，比较基础15（5分） 对于函数f（x），若存在常数a0，使得取x定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2ax），则称f（x）为准奇函数给出下列函数f（x）=（x1）2，f（x）=，f（x）=x3，f（x）=cosx，其中所有准奇函数的序号是【考点】： 抽象函数及其应用【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 判断对于函数f（x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数a0，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，则称f（x）为准奇函数【解析】： 解：对于函数f（x），若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2ax）知，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，对于f（x）=（x1）2，函数无对称中心，对于f（x）=，函数f（x）的图象关于（1，0）对称，对于f（x）=x3，函数f（x）关于（0，0）对称，对于f（x）=cosx，函数f（x）的图象关于（k+，0）对称，故答案为：【点评】： 本题考查新定义的理解和应用，函数f（x）的图象关于（a，0）对称，则称f（x）为准奇函数是关键，属于基础题三、解答题（本题包括6小题，共75分）16（12分） 已知函数f（x）=Asin（x+）（其中xR，A0，0）的最大值为2，最小正周期为8（）求函数f（x）的解析式及函数的增区间；（）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求POQ 的面积【考点】： 正弦函数的图象【专题】： 三角函数的图像与性质；解三角形【分析】： （）由已知得A=2由周期公式可求得，即可确定解析式，由2kx+2k，kZ即可解得函数的增区间（）先由已知可求得：P，Q坐标，即可求得|OP|，|OQ|，|PQ|的值，由余弦定理可得cosPOQ，可得sinPOQ=，从而由面积公式即可求值【解析】： 解：（）由已知得A=2由周期公式可求得：f（x）=2sin（x+）由2kx+2k，kZ即可解得：x8k3，8k+1，kZ，函数的增区间是8k3，8k+1，kZ，（）函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，可求得：P（2，），Q（4，）可求得：|OP|=，|OQ|=3，|PQ|=2由余弦定理可得：cosPOQ=，sinPOQ=，POQ 的面积为s=OPOQsinPOQ=3【点评】： 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理的应用，两点距离公式的应用，属于中档题17（12分） 为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：组别 候车时间 人数一 0，5） 2二 5，10） 6三 10，15） 4四 15，20） 2五 20，25 1（）求这15名乘客的平均候车时间；（）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率【考点】： 古典概型及其概率计算公式；频率分布表【专题】： 概率与统计【分析】： （）用每一段的中间值乘以每一段的频率然后作和即得15名乘客的平均候车时间；（）查出15名乘客中候车时间少于10分钟的人数，得到15名乘客中候车时间少于10分钟的频率，用频率乘以60即可得到答案；（）用列举法写出从第三组和第四组中随机各抽取1人的所有事件总数，查出两人恰好来自不同组的事件个数，则两人恰好来自不同组的概率可求【解析】： 解：（）由图表得：，所以这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟（）由图表得：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于（）设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为e，f，“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A所得基本事件共有15种，即（ac），（ab），（ad），（ae），（af），（bc），（bd），（be），（bf），（cd），（ce），（cf），（de），（df），（ef），抽到的两人恰好来自不同组的事件共8种，分别是（ae），（af），（be），（bf），（ce），（cf），（df），（df）其中事件A包含基本事件8种，由古典概型可得，即所求概率等于【点评】： 本题考查了频率分布表，考查了古典概型及其概率计算公式，考查了学生读取图表的能力，是基础的计算题18（12分） 如图，ABCD是边长为2的正方形，ED平面ABCD，ED=1，EFBD且EF=BD（1）求证：BF平面ACE；（2）求证：平面EAC平面BDEF（3）求几何体ABCDEF的体积【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【专题】： 综合题；空间位置关系与距离【分析】： （1）记AC与BD的交点为O，则DO=BO=BD，连接EO，则可证出四边形EFBO是平行四边形，从而BFEO，最后结合线面平行的判定定理，可得BF平面ACE；（2）利用面面垂直的判定定理证明平面EAC平面BDEF；（3）利用条件公式求几何体的条件【解析】： （1）证明：记AC与BD的交点为O，则DO=BO=BD，连接EO，EFBD且EF=BD，EFBO且EF=BO，则四边形EFBO是平行四边形，BFEO，又EO面ACE，BF面ACE，BF平面ACE； （2）证明：ED平面ABCD，AC平面ABCD，EDACABCD为正方形，BDAC，又EDBD=D，AC平面BDEF，又AC平面EAC，平面EAC平面BDEF；（3）解：ED平面ABCD，EDBD，又EFBD且EF=BD，BDEF是直角梯形，又ABCD是边长为2的正方形，由（1）知AC平面BDEF，几何体的体积【点评】： 本题以一个特殊多面体为例，考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定理、空间几何体的体积，要求熟练掌握相应的判定定理，属于中档题19（12分） 已知公差不为零的等差数列an，满足a1+a3+a5=12，且a1，a5，a17成等比数列（I）求数列an的通项公式；（II）若bn=，数列bn的前n项和为Sn，求证：Snn【考点】： 数列与不等式的综合；等差数列的性质【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （）由已知得a3=4，从而（4+2d）2=（42d）（4+14d），由此能求出数列an的通项公式（）由，由此利用裂项法能证明Snn【解析】： （）解：a1+a3+a5=12，3a3=12，a3=4（2分）a1，a5，a17成等比数列，（4+2d）2=（42d）（4+14d），d0，解得d=1，（4分）an=a3+（n3）d=4+（n3）=n+1；数列an的通项公式为（5分）（）证明：，（7分）=，（11分）Snn=（12分）【点评】： 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项法的合理运用20（13分） 已知函数f（x）=x2+axlnx，aR（1）若函数f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）x2，是否存在实数a，当x（0，e（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【考点】： 函数单调性的性质【专题】： 分类讨论；转化思想【分析】： （1）由函数f（x）在1，2上是减函数得在1，2上恒成立，即有h（x）=2x2+ax10成立求解（2）先假设存在实数a，求导得=，a在系数位置对它进行讨论，结合x（0，e分当a0时，当时，当时三种情况进行【解析】： 解：（1）在1，2上恒成立，令h（x）=2x2+ax1，有得，得（6分）（2）假设存在实数a，使g（x）=axlnx（x（0，e）有最小值3，=（7分）当a0时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x）min=g（e）=ae1=3，（舍去），g（x）无最小值当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，a=e2，满足条件（11分）当时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x）min=g（e）=ae1=3，（舍去），f（x）无最小值（13分）综上，存在实数a=e2，使得当x（0，e时g（x）有最小值3（14分）【点评】： 本题主要考查转化化归、分类讨论等思想的应用，函数若为单调函数，则转化为不等式恒成立问题，解决时往往又转化求函数最值问题21（14分） 已知椭圆C：=1（ab0）的离心率为e=，过焦点且垂直于长轴的弦长为（）求椭圆C的方程：（）斜率为k的真线l经过椭圆C的右焦点F且与椭圆交于不同的两点A，B设（2，1），求直线l斜率k的取值范围【考点】： 椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系【专题】： 向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （）通过离心率为e，及a2b2=c2，可知b=c，再利用过焦点且垂直于长轴的弦长为，可得b=1，从而可得椭圆C的方程；（）设直线l的方程为：y=k（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，根据韦达定理及，可得y1=y2，通过化简，解不等式即可【解析】： 解：（）离心率为e=，又a2b2=c2，b=c，过焦点且垂直于长轴的弦长为，b=1，椭圆C的方程为：；（）根据题意，设直线l的方程为：y=k（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，消去x，得（1+2k2）y2+2kyk2=0，根据韦达定理，得y1+y2=，y1+y2=，y1=y2，在（2，1）上位增函数，解不等式，得或，所求直线l斜率k的取值范围为：或【点评】： 本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量共线，函数的单调性，解不等式，注意解题方法的积累，属于中档题