2019-2020年高二数学上学期期末考试试卷（含解析）.doc

2019-2020年高二数学上学期期末考试试卷（含解析）一、填空题：（本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题纸的指定区域内）1命题：“x（0，+），x2+x+10”的否定是_2直线的倾斜角是_3曲线y=2xlnx在点（1，2）处的切线方程是_4直线l1x+2y4=0与l2：mx+（2m）y1=0平行，则实数m=_5已知圆柱的底面半径为1，体积为2，则这个圆柱的表面积是_6以双曲线的左焦点为焦点的抛物线标准方程是_7如图，在边长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱AB上一点，M是棱D1C1上一点，则三棱锥MDEC的体积是_8下列有关命题的说法中，正确的是_（填所有正确答案的序号）命题“若x21=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x210”；已知命题p：x=1且y=1，命题q：x+y=2，则命题p是命题q的必要不充分条件命题p：+=1表示椭圆为真命题，则实数m的取值范围是1m49设双曲线的实轴长为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为_10设，为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若，l，则l；若m，n，m，n，则；若l，l，则其中命题正确的是_（填序号）11在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆o：x2+y2+2x=0上的任意一点，点Q（2a，a+3）（aR），则线段PQ长度的最小值为_12在平面直角坐标系xOy中，已知射线 OA：xy=0（x0），OB：x+2y=0（x0），过点P（2，0）作直线分别交射线OA、OB于点E、F，若，则直线EF的斜率为_13在平面直角坐标系xOy中，点M是椭圆+=1（ab0）上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点若PQM是锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是_14在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a0时，实数b的最小值是_二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（14分）已知函数f（x）=x3+x2+3x+a（aR）（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在区间4，4上的最大值为26，求a的值16（14分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD（1）求证：ABPD；（2）若M为PC的中点，求证：PA平面BDM17已知点P（2，0），圆C的圆心在直线xy5=0上且与y轴切于点M（0，2），（1）求圆C的方程；（2）若直线l过点P且被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程；（3）设直线axy+1=0与圆C交于A，B两点，过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB，这样的实数a是否存在，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由18经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u=除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元已知燃油价格为每升（L）7.5元（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？19（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的左右焦点分别为F1、F2，上下顶点分别为M，N，若椭圆的离心率为，短轴长为2（1）求椭圆E的方程；（2）若直线MF2与椭圆交于另一点E，求MF1E的面积；（3）Q（m，n）是单位圆x2+y2=1上任一点，设P，A，B是椭圆E上异于顶点的三点且满足=m+n，求证：直线OA与OB的斜率之积为定值20（16分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（1）若函数f（x）在（1，+）上是增函数，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在1，e上的最小值；（3）若存在x1，e，使得f（x）（a+2）x成立，求实数a的取值范围xx学年江苏省淮安市涟水中学高二（上）期末数学试卷一、填空题：（本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题纸的指定区域内）1命题：“x（0，+），x2+x+10”的否定是x（0，+），x2+x+10考点：全称命题；命题的否定专题：阅读型分析：利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“x（0，+），x2+x+10”的否定是：x（0，+），x2+x+10故答案为：x（0，+），x2+x+10点评：本题考查命题的否定的应用全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用2直线的倾斜角是30考点：直线的倾斜角专题：计算题分析：将直线方程化为斜截式，利用直线的倾斜角的正切值为斜率，可求直线的倾斜角解答：解：直线方程可化为：直线的倾斜角的正切值为直线的倾斜角为30故答案为：30点评：本题以直线为载体，考查直线的斜率与倾斜角的关系，解题的关键是求出直线的斜率即倾斜角的正切值3曲线y=2xlnx在点（1，2）处的切线方程是xy+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题分析：求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可解答：解：由函数y=2xlnx知y=2，把x=1代入y得到切线的斜率k=2=1则切线方程为：y2=（x1），即xy+1=0故答案为：xy+1=0点评：考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程4直线l1x+2y4=0与l2：mx+（2m）y1=0平行，则实数m=考点：直线的一般式方程与直线的平行关系专题：直线与圆分析：由直线的平行关系可得1（2m）2m=0，解之可得解答：解：因为直线l1x+2y4=0与l2：mx+（2m）y1=0平行，所以1（2m）2m=0，解得m=故答案为：点评：本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，属基础题5已知圆柱的底面半径为1，体积为2，则这个圆柱的表面积是6考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）专题：空间位置关系与距离分析：根据已知，求出圆柱的母线长，代入圆柱的表面积公式，可得答案解答：解：圆柱的底面半径为1，故圆柱的底面面积为，又由圆柱的体积为2，故圆柱的母线（高）为2，故圆柱的表面积S=1（1+2）=6，故答案为：6点评：本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆柱的体积公式和表面积公式，是解答的关键6以双曲线的左焦点为焦点的抛物线标准方程是y2=12x考点：双曲线的简单性质；双曲线的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的方程与三个参数的关系求出双曲线的左焦点坐标，根据抛物线的方程与其焦点坐标的关系求出抛物线的方程解答：解：在 中，c2=4+5=9c=3双曲线的左焦点为（3，0）双曲线的左焦点是抛物线的焦点，抛物线的标准方程是y2=12x故答案为：y2=12x点评：双曲线的方程中的三个参数的关系为a2+b2=c2；抛物线的方程与焦点坐标的关系是抛物线的一次项的系数等于焦点非0坐标的4倍7如图，在边长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱AB上一点，M是棱D1C1上一点，则三棱锥MDEC的体积是a3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：计算题；转化思想分析：本题中的M，E两点分别是两个线段上的动点，但动中有静，从题设条件与图形可以得出，点M到底面的距离是定值，三角形DEC的面积是定值，故三棱锥MDEC的体积易求解答：解：由题意及图，三棱锥MDEC的高是正方体的棱长为a，三棱锥的底面三角形一边DC=a，又点E到DC的距离是a，故三角形DEC的面积是a2由公式，三棱锥MDEC的体积是=a3故答案为a3点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，解答本题关键是熟练掌握棱柱的几何性质，且由此性质得出所研究三棱锥的几何性质，依据公式求出它的体积8下列有关命题的说法中，正确的是（填所有正确答案的序号）命题“若x21=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x210”；已知命题p：x=1且y=1，命题q：x+y=2，则命题p是命题q的必要不充分条件命题p：+=1表示椭圆为真命题，则实数m的取值范围是1m4考点：命题的真假判断与应用专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑分析：由命题：若p则q的逆否命题为若q则p，即可判断；运用充分必要条件的定义，即可判断；由椭圆方程的特点，求得m的范围，即可判断解答：解：对于，命题“若x21=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x210”，故正确；对于，由命题p显然可推得命题q成立，反之推不出，则命题p是命题q的充分不必要条件故错误；对于，命题p：+=1表示椭圆，即有m10，m40，且m1m4，可得m4，故错故答案为：点评：本题考查命题的真假判断，主要考查四种命题和充分必要条件的判断，同时考查椭圆方程的应用，属于基础题和易错题9设双曲线的实轴长为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意可得a=1，再由焦点到渐近线的距离为可得b值，进而可得渐近线方程解答：解：由题意可得a=1，焦点为（c，0）到渐近线y=即bxay=0的距离d=b=，渐近线方程为：y=故答案为：点评：本题考查双曲线的渐近线方程，属基础题10设，为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若，l，则l；若m，n，m，n，则；若l，l，则其中命题正确的是（填序号）考点：空间中直线与平面之间的位置关系专题：综合题；推理和证明分析：若，则，研究与 同一平面垂直的两个平面之间的关系，面面平行的条件判断；若，l，则，利用平面与平面平行的性质，可得l；若m，n，m，n，m，n不一定相交，则不正确；由面面垂直的判定定理可由l得出解答：解：若，则，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；若，l，则，利用平面与平面平行的性质，可得l，正确；若m，n，m，n，m，n不一定相交，则不正确；由题意l，当l时，必存在内的直线l，使ll，可得l，由面面垂直的判定定理可得，正确故答案为：点评：本题考查平面的基本性质及推论，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于基本能力训练题11在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆o：x2+y2+2x=0上的任意一点，点Q（2a，a+3）（aR），则线段PQ长度的最小值为1考点：圆的一般方程专题：直线与圆分析：把圆的方程化为标准形式，由条件求得点Q（2a，a+3）到圆心（1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求解答：解：圆o：x2+y2+2x=0，即 （x+1）2+y2 =1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆点Q（2a，a+3）到圆心（1，0）的距离d=，故当a=1时，d取得最小值为，故线段PQ长度的最小值为1，故答案为：点评：本题主要考查圆的一般方程，直线和圆的位置关系，二次函数的性质，求出点Q到圆心的距离d的最小值，是解题的关键，属于中档题12在平面直角坐标系xOy中，已知射线 OA：xy=0（x0），OB：x+2y=0（x0），过点P（2，0）作直线分别交射线OA、OB于点E、F，若，则直线EF的斜率为2考点：直线的斜率专题：计算题；直线与圆分析：由题意设E（a，a），B（2b，b），则，由，解得a=，b=，由此能求出直线EF的斜率解答：解：射线 OA：xy=0（x0），OB：x+2y=0（x0），过点P（2，0）作直线分别交射线OA、OB于点E、F，如图，设E（a，a），B（2b，b），则，a=，b=，E（），直线EF的斜率k=2故答案为：2点评：本题考查直线的斜率的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答13在平面直角坐标系xOy中，点M是椭圆+=1（ab0）上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点若PQM是锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是（，1）考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：如图所示把x=c代入椭圆方程可得：，解得M过点M作MDy轴，垂足为D由于PQM是锐角三角形，可得QMD=PMD因此cosQMD=，化简整理即可得出解答：解：如图所示把x=c代入椭圆方程可得：，解得y=M过点M作MDy轴，垂足为DPQM是锐角三角形，QMD=PMDcosQMD=，化为，0，解得e又e1，该椭圆离心率的取值范围是（，1）故答案为：（，1）点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、锐角三角形的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a0时，实数b的最小值是1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；导数的概念及应用分析：设出曲线上的一个切点为（x，y），利用导数的几何意义求切线的坐标，可得b=alnaa，再求导，求最值即可解答：解：设出曲线上的一个切点为（x，y），由y=alnx，得y=，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，y=1，x=a，切点为（a，alna），代入y=x+b，可得b=alnaa，b=lna+1a=0，可得a=1，函数b=alnaa在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，a=1时，b取得最小值1故答案为：1点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数的运算求出切线斜率，根据切线斜率和导数之间的关系建立方程进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（14分）已知函数f（x）=x3+x2+3x+a（aR）（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在区间4，4上的最大值为26，求a的值考点：利用导数研究函数的单调性专题：计算题；导数的综合应用分析：（1）求出导数，令导数大于0，解不等式即可得到所求增区间；（2）求得f（x）在区间4，4内的单调区间，求得极值，以及端点处的函数值，可得最大值，解方程可得a的值解答：解：（1），则f（x）=x2+2x+3，令f（x）0，即x2+2x+30，解得1x3，所以函数f（x）的单调减区间为（1，3）（2）由函数在区间4，4内的列表可知： x4（4，1）1（1，3）3（3，4）4f（x）0+0f（x）递减极小值递增极大值递减函数f（x）在（4，1）和（3，4）上分别是减函数，在（1，3）上是增函数又因为，所以f（4）f（3），所以f（4）是f（x）在4，4上的最大值，所以，即点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于基础题16（14分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD（1）求证：ABPD；（2）若M为PC的中点，求证：PA平面BDM考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：（1）根据面面垂直，得线面垂直，再证明线线垂直；（2）在平面BDM内找与PA平行的直线即可解答：证明：（1）平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，又底面ABCD为矩形，ABADAB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD；（2）AC与BD的交点E，连结ME，底面ABCD为矩形，E为AC的中点，又M是AC的中点，MEPA，又PA平面BDM，ME平面BDM，PA平面BDM点评：本题主要考查线面垂直的判定与性质，线面平行的判定与性质17已知点P（2，0），圆C的圆心在直线xy5=0上且与y轴切于点M（0，2），（1）求圆C的方程；（2）若直线l过点P且被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程；（3）设直线axy+1=0与圆C交于A，B两点，过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB，这样的实数a是否存在，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由考点：直线和圆的方程的应用专题：直线与圆分析：（1）设圆心坐标为C（a，b），由已知，由此能求出圆的方程（2）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y0=k（x2）由弦长为，故弦心距d=1，由此利用点到直线距离公式求出，从而求出直线方程，当l的斜率不存在时，l的方程为x=2也满足条件（3）把直线axy+1=0代入圆C的方程，由0，得a0，从而能求出不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB解答：解：（1）圆C的圆心在直线xy5=0上且与y轴切于点M（0，2），设圆心坐标为C（a，b），则，解得a=3，b=2，圆心C（3，2），半径r=|MC|=3，故圆的方程为（x3）2+（y+2）2=9即x2+y26x+4y+4=0（2）点P（2，0），直线l过点P，设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y0=k（x2）又圆C的圆心为（3，2），半径r=3，由弦长为，故弦心距d=1由，解得所以直线方程为，即 3x+4y6=0当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件故l的方程为3x+4y6=0或x=2（3）把直线axy+1=0，即y=ax+1代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a1）x+9=0由于直线axy1=0交圆C于A，B两点，故=36（a1）236（a2+1）0，即2a0，解得a0设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，2）必在l2上所以l2的斜率kPC=2，而，所以由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB点评：本题考查圆的方程和直线方程的求法，考查满足条件的实数a是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意圆的性质和直线方程的合理运用18经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u=除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元已知燃油价格为每升（L）7.5元（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？考点：利用导数求闭区间上函数的最值；分段函数的应用；函数模型的选择与应用专题：综合题分析：（1）由题意，当0v50时，y=，当v50时，=，由此能将y表示成速度v的函数关系式（2）当0v50时，是单调减函数，故v=50时，y取得最小值，当v50时，由导数求得当v=100时，y取得最小值+600=2400，由于31502400，知当卡车以100km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少解答：解：（1）由题意，当0v50时，y=30=，当v50时，=，（2）当0v50时，是单调减函数，故v=50时，y取得最小值，当v50时，由=0，得v=100当50v100时，y0，函数单调递增，当v=100时，y取得最小值+600=2400，由于31502400，所以，当v=100时，y取得最小值答：当卡车以100km/h的速度行驶时，运送这车水果的费用最少点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想综合性强，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答19（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的左右焦点分别为F1、F2，上下顶点分别为M，N，若椭圆的离心率为，短轴长为2（1）求椭圆E的方程；（2）若直线MF2与椭圆交于另一点E，求MF1E的面积；（3）Q（m，n）是单位圆x2+y2=1上任一点，设P，A，B是椭圆E上异于顶点的三点且满足=m+n，求证：直线OA与OB的斜率之积为定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆的离心率为，短轴长为2，建立方程，求出a，b，即可求椭圆E的方程；（2）求出直线MF2与椭圆交于另一点E的坐标，即可求MF1E的面积；（3）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），把点A，B代入椭圆方程可，利用Q（m，n）是单位圆x2+y2=1上任一点可得m2+n2=1，由=m+n，得到P的坐标，因P在椭圆上，代入整理得（）m2+（）n2+2（）mn=1，即可证明结论解答：（1）解：因为椭圆的离心率为，短轴长为2，所以=，2b=2，所以a=，b=1，所以椭圆E的方程为；（2）解：直线ME的方程为y=x+1，代入，可得3x24x=0，所以x=0或，x=时，y=，所以MF1E的面积为=；（3）证明：设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则，又m2+n2=1，因=m+n，故x=mx1+nx2，y=my1+ny2，因P在椭圆上，代入整理得（）m2+（）n2+2（）mn=1将代入上式，并注意点Q（m，n）的任意性，得：=0所以，kOAkOB=为定值点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量运算、斜率的计算公式、三角形的面积计算公式等基础知识，需要较强运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想20（16分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（1）若函数f（x）在（1，+）上是增函数，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在1，e上的最小值；（3）若存在x1，e，使得f（x）（a+2）x成立，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（1）求得函数的导数，由题意可得x1时，导数f（x）0恒成立，由恒成立思想即可得到所求a的范围；（2）求出导数，对a讨论，当a2时，当2e2a2时，当a2e2时，判断导数符号，得到单调性，可得最小值；（3）由题意可得（x1，e），由于导数判断右边函数的单调性，即可得到最小值，进而得到a的范围解答：解（1）f（x）=x2+alnx，由题意x（1，+），恒成立，即2x2+a0对x（1，+）恒成立，故a2；（2），当x1，e，2x2+aa+2，a+2e2，若a2，f（x）在1，e上非负（仅当a=2，x=1时，f（x）=0），故函数f（x）在1，e上是增函数，此时f（x）min=f（1）=1若2e2a2，当时，f（x）=0；当时，f（x）0，此时f（x）是减函数； 当时，f（x）0，此时f（x）是增函数故f（x）min=若a2e2，f（x）在1，e上非正（仅当a=2e2，x=e时，f（x）=0），故函数f（x）在1，e上是减函数，此时f（x）min=f（e）=a+e2综上可知，当a2时，f（x）的最小值为1；当2e2a2时，f（x）的最小值为；当a2e2时，f（x）的最小值为a+e2；（3）不等式f（x）（a+2）x，可化为a（xlnx）x22xx1，e，lnx1x且等号不能同时取，lnxx，即xlnx0，因而（x1，e），令（x1，e），又，当x1，e时，x10，lnx1，x+22lnx0，从而g（x）0（仅当x=1时取等号），即g（x）在1，e上为增函数，故g（x）的最小值为g（1）=1，则a的取值范围是1，+）点评：本题考查导数的运用：求单调性和最值，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数，求得单调性，求得最值，考查运算能力，属于中档题