2019-2020年高二数学上学期期中试卷 理（普通班）（含解析）.doc

2019-2020年高二数学上学期期中试卷 理（普通班）（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，将正确答案填写在答题卷相应位置）1（5分）过（1，2），（2，1）两点的直线的倾斜角是（）ABCD2（5分）若点（m，1）在不等式2x+3y50所表示的平面区域内，则m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1Dm13（5分）设P是椭圆+=1上的点若F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1F2周长为（）A12B20C10D164（5分）经过点P（2，1），且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程是（）A2x+y=2B2x+y=4C2x+y=3D2x+y=3或x+2y=05（5分）直线y=kxk+1（kR）与椭圆+=1的位置关系是（）A相交B相离C相切D由参数k确定6（5分）直线l：y=x的图象同时经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件是（）Am1 且n1Bmn0Cm0，且n0Dm0 且n07（5分）如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为（00900）的平面所截，截面是一个椭圆当为30时，这个椭圆的离心率为（）ABCD8（5分）实数x，y满足不等式组，则=的取值范围是（）ABC22（15分）如图1，矩形ABCD中，|AB|=6，|BC|=2，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF、EG所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知=，=，其中01（1）求证：直线ER与GR的交点M在椭圆：+y2=1上（2）如图2过点E作两条相互垂直的直线分别交椭圆于点P，N（点P在y轴右侧）求EPN面积最大值及此时直线PE的方程浙江省宁波市象山中学xx学年高二上学期期中数学试卷（理科）（普通班）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，将正确答案填写在答题卷相应位置）1（5分）过（1，2），（2，1）两点的直线的倾斜角是（）ABCD考点：直线的倾斜角 专题：直线与圆分析：由两点的坐标求出直线的斜率，然后利用倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角解答：解：直线过点（1，2），（2，1），直线的斜率k=，设倾斜角为（0），则tan=1，故选：D点评：本题考查了直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题2（5分）若点（m，1）在不等式2x+3y50所表示的平面区域内，则m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1Dm1考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：不等式的解法及应用分析：根据二元一次不等式表示平面区域进行求解即可解答：解：若点（m，1）在不等式2x+3y50所表示的平面区域内，则满足2m+350，解得m1故选：C点评：本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，比较基础3（5分）设P是椭圆+=1上的点若F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1F2周长为（）A12B20C10D16考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由椭圆的标准方程求得a，b，再由隐含条件求得c，则PF1F2的周长可求解答：解：由椭圆+=1，得a2=25，b2=16，c2=a2b2=2516=9，则a=5，c=3PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=25+23=16故选：D点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义，是基础题4（5分）经过点P（2，1），且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程是（）A2x+y=2B2x+y=4C2x+y=3D2x+y=3或x+2y=0考点：直线的截距式方程 专题：计算题分析：分直线过原点和不过原点两种情况，过原点时直接写出直线方程，不过原点时设出直线方程，把点P的坐标代入即可求解解答：解：当直线l过原点时，直线方程为x+2y=0；当直线l不过原点时，由题意可设直线l的方程为，即2x+y=2a，因为点P（2，1）在直线l上，所以221=2a，a=，直线方程为2x+y=3综上，满足条件的直线方程为x+2y=0或2x+y=3故选D点评：本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题5（5分）直线y=kxk+1（kR）与椭圆+=1的位置关系是（）A相交B相离C相切D由参数k确定考点：椭圆的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：直线y=kxk+1恒过点（1，1），且在椭圆的内部，由此可得直线y=kxk+1与椭圆+=1的位置关系解答：解：直线y=kxk+1可化为y=k（x1）+1，所以直线恒过点（1，1），+1，（1，1）在椭圆的内部，直线y=kxk+1与椭圆+=1的位置关系是相交故选：A点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，确定直线恒过定点，且在椭圆的内部是关键6（5分）直线l：y=x的图象同时经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件是（）Am1 且n1Bmn0Cm0，且n0Dm0 且n0考点：直线的斜截式方程 专题：简易逻辑分析：将题干条件等价转化成，根据必要不充分条件的概念易得结论解答：解：条件y=x的图象同时经过第一、二、四象限等价于，mn0，mn0是y=x的图象同时经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件故选B点评：本题考查斜截式直线方程的应用，以及必要不充分条件的概念，属于基础题7（5分）如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为（00900）的平面所截，截面是一个椭圆当为30时，这个椭圆的离心率为（）ABCD考点：平面与圆柱面的截线 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可求出题意的离心率解答：解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=，a2=b2+c2，c=，椭圆的离心率为：e=故选：A点评：本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量与双曲线的几何量（a，b，c）关系的正确应用，考查计算能力8（5分）实数x，y满足不等式组，则=的取值范围是（）ABC点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案9（5分）已知椭圆C：+y2=1，点M1，M2，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为k（k0）的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，P10，则直线AP1，AP2，AP10这10条直线的斜率乘积为（）ABCD考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用椭圆的性质可得=及其椭圆的对称性可得，进而得出答案解答：解：如图所示，由椭圆的性质可得=由椭圆的对称性可得，=，同理可得=直线AP1，AP2，AP10这10条直线的斜率乘积=故选：B点评：本题考查了椭圆的性质可得=及椭圆的对称性，考查了推理能力和计算能力，属于难题10（5分）设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（tR）记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（）A9，10，11B9，10，12C9，11，12D10，11，12考点：集合的含义 专题：集合分析：分别由t=0，1，2求出N（t），排除错误选项A，B，D，从而得到正确选项解答：解：当t=0时，ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），符合条件的点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共九个，N（t）=9，故选项D不正确当t=1时，ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（5，4），D（1，4），同理知N（t）=12，故选项A不正确当t=2时，ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（6，4），D（2，4），同理知N（t）=11，故选项B不正确故选C点评：本题考查集合的性质和应用，解题时要注意排除法的合理运用本题中取整点是个难点，常用的方法是，先定横（或纵）坐标，在定纵（横）坐标，以确定点的个数，如果从图形上看，就是看直线x=r（r是整数）上有几个整点在四边形内二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把正确答案填在答题卷上）11（4分）已知直线l1：（3+m）x+4y=53m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为7考点：直线的一般式方程与直线的平行关系 专题：直线与圆分析：由两直线平行，得到系数之间所满足的关系，求解即可得到满足条件的m的值解答：解：直线l1：（3+m）x+4y=53m，l2：2x+（5+m）y=8平行，解得m=7故答案为：7点评：本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是对条件的记忆与应用，是基础题12（4分）过点P（1，2）的直线，将圆形区域（x，y）|x2+y29分为两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为x+2y5=0考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：由题意可得，所求直线和OP垂直，求出所求直线的斜率，再用点斜式求得所求直线的方程解答：解：由于点P（1，2）在圆x2+y2 =9的内部，故所求直线和OP垂直时，直线将圆分成的这两部分的面积之差最大由于OP的斜率为2，故所求直线的斜率为，再根据所求直线过点P（1，2），可得所求直线的方程为y2=（x1），即 x+2y5=0，故答案为：x+2y5=0点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题13（4分）椭圆的离心率，右焦点F（c，0），方程ax2+bxc=0的两个根分别为x1，x2，则点P（x1，x2）与圆x2+y2=2的位置关系是 点在圆内考点：圆与圆锥曲线的综合 专题：计算题分析：由题设知，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=由此可知点P（x1，x2）与圆x2+y2=2的位置关系解答：解：离心率，a=2c方程ax2+bxc=0的两个根分别为x1，x2，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=2点P（x1，x2）在圆x2+y2=2内故答案为：点在圆内点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要要认真审题，仔细解答14（4分）过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，从而确定直线斜率1k0，用含k的式子表示出三角形AOB的面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率k的值解答：解：由，得x2+y2=1（y0）曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合则1k0直线l的方程为：即则圆心O到直线l的距离直线l被半圆所截得的弦长为|AB|=令则当SAOB有最大值为此时，又1k0点评：本题考查直线与圆的位置关系，利用数形结合，二次函数求最值等思想进行解答15（4分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；压轴题分析：抓住OAP是等腰直角三角形，建立a，c的关系，问题迎刃而解解答：解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以OAP是等腰直角三角形，故，解得，故答案为点评：本题考查了椭圆的离心率，有助于提高学生分析问题的能力16（4分）已知变量x，y满足约束条件，若恒成立，则实数a的取值范围为考点：简单线性规划的应用 专题：不等式的解法及应用分析：利用已知条件考查约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可解答：解：易知a1，不等式表示的平面区域如图所示，设Q（2，0），平面区域内动点P（x，y），则，当P是x=a与xy=1交点时，PQ的斜率最大，为当P是x=a与x+y=1交点时，PQ的斜率最小，为，由且得0a2，又a1，所以a故答案为：点评：本题考查线性规划的应用，正确画出可行域是解题的关键，考查转化思想的应用17（4分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y28x+15=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：由于圆C的方程为（x4）2+y2=1，由题意可知，只需（x4）2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可解答：解：圆C的方程为x2+y28x+15=0，整理得：（x4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需圆C：（x4）2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可设圆心C（4，0）到直线y=kx2的距离为d，则d=2，即3k24k0，0kk的最大值是故答案为：点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x4）2+y2=4与直线y=kx2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（14分）如图所示，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P（1，0）作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=x上时，求直线AB的方程考点：直线的一般式方程 专题：直线与圆分析：先求出OA、OB所在的直线方程，对AB的斜率分类讨论，分别与射线OA、OB联立，求出A、B点坐标，利用中点坐标公式求出C坐标，代入直线y=x求出斜率求出，代入点斜式方程化简即可解答：解：因为射线OA、OB分别与x轴正半轴成45和30角，所以OA、OB所在的直线方程分别是：xy=0，x+y=0，当直线AB的斜率不存在时，则AB的方程为x=1，易知A（1，1），B（1，），所以AB的中点C显然不在直线y=x上，不满足条件；当直线AB的斜率存在时，记为k，易知k0且k1，则直线AB的方程为y=k（x1），分别联立，解得A（，），B（，），所以AB的中点C的坐标是（，），因为AB的中点C恰好落在直线y=x上，所以=，解得k=，则直线AB的方程为：y=（x1），即（3+）x2y3=0，所以直线AB的方程为（3+）x2y3=0点评：本题考查了分类讨论思想、中点坐标公式、直线方程的点斜式、一般式，考查了计算能力，属于中档题19（14分）已知动点P（x，y）及两定点A（3，0）和B（3，0），若=2，（|PA|、|PB|分别表示点P与点A、B的距离）（1）求动点P的轨迹方程（2）动点Q在直线yx1=0上，且QM、QN是轨迹的两条切线，M、N是切点，C是轨迹中心，求四边形OMCN面积的最小值及此时直线MN的方程考点：直线和圆的方程的应用；轨迹方程 专题：直线与圆分析：（1）利用已知条件直接列出方程，即可求动点P的轨迹方程（2）由（1）知轨迹是以C（5，0）为圆心，半径为4的圆，可得|QM|=|QN|，表示出四边形面积S，然后求出Smin=4线段CQ为直径的圆的方程，以及直线MN的方程解答：解：（1）由|PA|=，代入=2，经化简得轨迹方程为（x5）2+y2=16（2）由（1）知轨迹是以C（5，0）为圆心，半径为4的圆，|QM|=|QN|，易知四边形面积S=（|QM|+|QN|）4=4|QM|，故|QM|最小时，四边形QMNC面积最小|QM|=故有Smin=4此时CQ直线：x+y=5 由 得到Q（2，3），以线段CQ为直径的圆的方程为：x27x+y23y+10=0两圆方程相减得到直线MN的方程为：3y2x1=0点评：本题考查直线方程的综合应用，在方程以及圆的方程的求法，考查计算能力20（15分）已知椭圆C：+=1（ab0）经过点M（1，），其离心率为，设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l与圆x2+y2=相切，求证：OAOB（O为坐标原点）考点：椭圆的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由离心率及a2=b2+c2，得a与b的关系式，再将点M的坐标代入椭圆方程中，求解关于a，b的二元二次方程组，即得a2，b2，从而得椭圆的标准方程；（2）根据圆心到直线的距离等于圆的半径，得k与m的等量关系，要证明OAOB，只需证明=0即可，从而将数量积转化为坐标运算，联立直线l与椭圆方程，利用韦达定理消去坐标，得到关于k，m的代数式，再利用前面k与m的等量关系即可达到目的解答：解：（1）由离心率e=，a2=b2+c2，a2=2b2，即有椭圆方程为+=1，将M（1，）代入，得b2=1，a2=2，则所求椭圆方程为+y2=1（2）证明：因为直线l与圆x2+y2=相切，所以=，即m2=（1+k2），由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0设点A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，所以=x1x2+y1y2=+=0，故OAOB点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查直线和圆相切的条件，属于中档题21（14分）已知圆C的方程为x2+（y4）2=4，点O是坐标原点直线l：y=kx与圆C交于M，N两点（）求k的取值范围；（）设Q（m，n）是线段MN上的点，且请将n表示为m的函数考点：直线与圆的位置关系；函数与方程的综合运用 专题：直线与圆分析：（）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围；（）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y=kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可解答：解：（）将y=kx代入x2+（y4）2=4中，得：（1+k2）x28kx+12=0（*），根据题意得：=（8k）24（1+k2）120，即k23，则k的取值范围为（，）（，+）；（）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），|OM|2=（1+k2）x12，|ON|2=（1+k2）x22，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2，代入=+得：=+，即=+=，由（*）得到x1+x2=，x1x2=，代入得：=，即m2=，点Q在直线y=kx上，n=km，即k=，代入m2=，化简得5n23m2=36，由m2=及k23，得到0m23，即m（，0）（0，），根据题意得点Q在圆内，即n0，n=，则n与m的函数关系式为n=（m（，0）（0，）点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题22（15分）如图1，矩形ABCD中，|AB|=6，|BC|=2，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF、EG所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知=，=，其中01（1）求证：直线ER与GR的交点M在椭圆：+y2=1上（2）如图2过点E作两条相互垂直的直线分别交椭圆于点P，N（点P在y轴右侧）求EPN面积最大值及此时直线PE的方程考点：椭圆的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）求得F，C的坐标，由向量的关系的坐标表示可得R，R的坐标，求出直线ER和GR的方程，求得交点M，检验即可得证；（2）由题意知直线PE，NE的斜率存在且不为0，PENE，不妨设直线PE的斜率为k（k0），则直线PE的方程为y=kx1，联立直线方程和椭圆方程，可得P的坐标，同样可得N的坐标，由两点的距离公式和面积公式，化简整理，结合基本不等式计算即可得到最大值，进而得到所求直线方程解答：（1）证明：由已知，得F（3，0），C（3，1），由=，=，其中01得R（3，0），R（3，1），又E（0，1），G（0，1），则直线ER的方程为y=x1，直线GR的方程为y=x+1，联立解得M（，），因为（）2+（）2=+=1，所以直线ER与CR的交点M在：+y2=1上；（2）解：由题意知直线PE，NE的斜率存在且不为0，PENE，不妨设直线PE的斜率为k（k0），则直线PE的方程为y=kx1，由得或，所以P（，），用代k得到N（，），所以|PE|=，|NE|=，SEPN=|PE|NE|=设u=k+，=当且仅当k+=u=，即k=，故PE的直线方程为y=x1点评：本题考查直线的交点的轨迹方程，考查直线和椭圆方程联立，求得交点，考查两点的距离公式和基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题