2019-2020年高中数学基础知识整合 文.doc

2019-2020年高中数学基础知识整合 文1理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？ ；2数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n1；非空真子集的数为2n-2；（2） 注意：讨论的时候不要遗忘了的情况；（3）。第二部分 函数与导数1映射：注意 第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多对一。2函数值域的求法：分析法 ；配方法 ；判别式法 ；利用函数单调性 ；换元法 ；利用均值不等式 ； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；利用函数有界性（、等）；导数法3复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法： 若f(x)的定义域为a，b,则复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b解出 若fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于xa,b时，求g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数的定义域是内函数的值域。4分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；是奇函数；是偶函数 ；奇函数在原点有定义，则；在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6函数的单调性单调性的定义：在区间上是增（减）函数当时；单调性的判定定义法：注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；导数法（见导数部分）；复合函数法（见2 （2）；图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期 ； ； ；函数周期的判定：定义法（试值） 图像法 公式法（利用（2）中结论）与周期有关的结论：或 的周期为；的图象关于点中心对称周期2；的图象关于直线轴对称周期为2；的图象关于点中心对称，直线轴对称周期4；8基本初等函数的图像与性质幂函数： （ ；指数函数：；对数函数:；正弦函数:；余弦函数： ；（6）正切函数：；一元二次函数：；其它常用函数：正比例函数：；反比例函数：；特别的，函数；9二次函数：解析式：一般式：；顶点式：，为顶点；零点式： 。二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论。10函数图象图象作法 ：描点法（注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换： 平移变换：，左“+”右“-”； 上“+”下“-”； 伸缩变换：， （纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；， （横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍； 对称变换：； ； ； 翻转变换：右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；上不动，下向上翻（|在下面无图象）；11函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；注：曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2ax,2by)=0;曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2ax, y)=0;曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=x+a)的对称曲线C2的方程为f(ya,x+a)=0(或f(y+a,x+a)=0);f(a+x)=f(bx) （xR）y=f(x)图像关于直线x=对称；特别地：f(a+x)=f(ax) （xR）y=f(x)图像关于直线x=a对称；函数y=f(xa)与y=f(bx)的图像关于直线x=对称；12函数零点的求法：直接法（求的根）；图象法；二分法.13导数 导数定义：f(x)在点x0处的导数记作；常见函数的导数公式: ； 。导数的四则运算法则：导数的应用：利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？所求的是“在”还是“过”该点的切线？利用导数判断函数单调性： 是增函数； 为减函数； 为常数； 利用导数求极值：求导数；求方程的根；列表得极值。利用导数最大值与最小值：求的极值；求区间端点值（如果有）；得最值。第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形1角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度弧长公式：；扇形面积公式：。2三角函数定义：角中边上任意一点为，设则：3三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；5对称轴：；对称中心：； 对称轴：；对称中心：； 6同角三角函数的基本关系：；7两角和与差的正弦、余弦、正切公式： 。8二倍角公式：；。*降幂公式: .9正、余弦定理正弦定理（是外接圆直径）注：；。余弦定理：等三个；注：等三个。10。几个公式:三角形面积公式：；内切圆半径r=；外接圆直径2R=11已知时三角形解的个数的判定： AbaCh其中h=bsinA,A为锐角时：ah时，无解；a=h时，一解（直角）；hab时，一解（锐角）。第四部分 立体几何1三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为。2表（侧）面积与体积公式：柱体：表面积：S=S侧+2S底；侧面积：S侧=；体积：V=S底h 锥体：表面积：S=S侧+S底；侧面积：S侧=；体积：V=S底h：台体：表面积：S=S侧+S上底S下底；侧面积：S侧=；体积：V=（S+）h；球体：表面积：S=；体积：V= 。3位置关系的证明（主要方法）：直线与直线平行：公理4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理。直线与平面平行：线面平行的判定定理；面面平行线面平行。平面与平面平行：面面平行的判定定理及推论；垂直于同一直线的两平面平行。直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理。平面与平面垂直：定义-两平面所成二面角为直角；面面垂直的判定定理。4.求角：（步骤-。找或作角；。求角）异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形；补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。直线与平面所成的角：直接法（利用线面角定义）；先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin。二面角的求法：定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；6结论：从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若AOB=AOC，则点A在平面BOC上的射影在BOC的平分线上；A立平斜公式(最小角定理公式)：正棱锥的各侧面与底面所成的角相等记为，则S侧cos=S底；长方体的性质长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则：cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2+sin2=2 。长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2；sin2+sin2+sin2=1 。正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的： 高：；对棱间距离：；相邻两面所成角余弦值：；内切球半径：；外接球半径：；第五部分 直线与圆1直线方程点斜式： ；斜截式： ；截距式： ；两点式： ；一般式：，（A，B不全为0）。（直线的方向向量：（，法向量（2求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。3两条直线的位置关系：直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 有斜率 且 不可写成 （验证） 分式4几个公式设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），ABC的重心G：（）；点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：；两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是；5圆的方程：标准方程： ； 。一般方程： （注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C0且B=0且D2+E24AF0；6圆的方程的求法：待定系数法；几何法；圆系法。7点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）点在圆上；点在圆内；点在圆外。直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）相切；相交；相离。圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）相离；外切；相交；内切；内含。8与圆有关的结论：过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0。第六部分 圆锥曲线1定义：椭圆：；双曲线：；抛物线：略2结论 焦半径：椭圆：（e为离心率）； （左“+”右“-”）；抛物线：弦长公式：；注：（）焦点弦长：椭圆：；抛物线：x1+x2+p=；（）通径（最短弦）：椭圆、双曲线：；抛物线：2p。过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；椭圆中的结论：内接矩形最大面积 ：2ab；P，Q为椭圆上任意两点，且OP0Q，则 ；椭圆焦点三角形：，（）；点 是内心，交于点，则 ；当点与椭圆短轴顶点重合时最大； 双曲线中的结论：双曲线（a0,b0）的渐近线：； 共渐进线的双曲线标准方程为为参数，0）；双曲线焦点三角形：，（）；P是双曲线=1(a0，b0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则PF1F2的内切圆的圆心横坐标为；双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；（6）抛物线中的结论：抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB性质： x1x2=；y1y2=p2； ；以AB为直径的圆与准线相切；以AF（或BF）为直径的圆与轴相切；。 抛物线y2=2px(p0)内结直角三角形OAB的性质： ； 恒过定点；中点轨迹方程：；，则轨迹方程为：； 。抛物线y2=2px(p0)，对称轴上一定点，则：当时，顶点到点A距离最小，最小值为；当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为。3直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（代点相减法）：-处理弦中点问题步骤如下：设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得；解决问题。4求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。第七部分 平面向量设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： ab(b0)a=b （x1y2x2y1=0； ab(a、b0)ab=0x1x2+y1y2=0 .ab=|a|b|cos=x2+y1y2； 注：|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；ab的几何意义：ab等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。cos=；三点共线的充要条件P，A，B三点共线； 第八部分 数列1定义：等差数列 ；等比数列 ；2等差、等比数列性质 等差数列 等比数列通项公式 前n项和 性质 an=am+ (nm)d, an=amqn-m; m+n=p+q时am+an=ap+aq m+n=p+q时aman=apaq 成AP 成GP 成AP, 成GP,等差数列特有性质：项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n)； ；项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1)； ；若；若；若。S1 (n=1)SnSn-1 (n2)3数列通项的求法：an=分析法；定义法（利用AP,GP的定义）；公式法：累加法（；叠乘法（型）；构造法（型）；（6）迭代法；间接法（例如：）；作商法（型）；待定系数法；（理科）数学归纳法。注：当遇到时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。4前项和的求法：拆、并、裂项法；倒序相加法；错位相减法。5等差数列前n项和最值的求法： ；利用二次函数的图象与性质。 第九部分 不等式1均值不等式：注意：一正二定三相等；变形，。2绝对值不等式：3不等式的性质：；（6）。4不等式等证明（主要）方法：比较法：作差或作比；综合法；分析法。 第十部分 复数1概念：z=a+biRb=0 (a,bR)z= z20；z=a+bi是虚数b0(a,bR)；z=a+bi是纯虚数a=0且b0(a,bR)z0（z0）z20时，变量正相关； 0时，变量负相关； 越接近于1，两个变量的线性相关性越强； 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。4回归分析中回归效果的判定：总偏差平方和：残差：；残差平方和： ；回归平方和：；相关指数 。注：得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；越接近于1，则回归效果越好。5独立性检验（分类变量关系）：随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。 第十三部分 算法初步1程序框图：图形符号： 终端框（起止况）； 输入、输出框； 连接点。 处理框（执行框）； 判断框； 流程线 ；程序框图分类:顺序结构： 条件结构： 循环结构： r=0? 否 求n除以i的余数 输入n 是 n不是质素 n是质数 i=i+1 i=2 in或r=0?否 是注：循环结构分为：当型（while型）先判断条件，再执行循环体；直到型（until型）先执行一次循环体，再判断条件。2基本算法语句：输入语句： INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式 赋值语句： 变量=表达式条件语句： IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句体 语句体1 END IF ELSE 语句体2 END IF循环语句：当型： 直到型: WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件3算法案例：辗转相除法与更相减损法-求两个正整数的最大公约数；秦九韶算法-求多项式的值；进位制-各进制数之间的互化。 第十四部分 常用逻辑用语与推理证明1 四种命题：原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。2充要条件的判断：（1）定义法-正、反方向推理；（2）利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；3逻辑连接词：且(and) ：命题形式 pq； p q pq pq p或（or）：命题形式 pq； 真 真 真 真 假非（not）：命题形式p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真4全称量词与存在量词全称量词-“所有的”、“任意一个”等，用表示； 全称命题p：； 全称命题p的否定p：。存在量词-“存在一个”、“至少有一个”等，用表示； 特称命题p：； 特称命题p的否定p：；第十五部分 推理与证明1推理：合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注：类比推理是特殊到特殊的推理。演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般结论；小前提-所研究的特殊情况；结 论-根据一般原理，对特殊情况得出的判断。二证明直接证明综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。2间接证明-反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。