2019-2020年高二数学下学期期中试卷 新人教A版.doc

2019-2020年高二数学下学期期中试卷 新人教A版题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（题型注释）【答案】D 【解析】试题分析：若，由平面,平面得，与为异面直线相矛盾，A错；若,且结合条件则或，B错；若与相交结合条件可证交线平行于，故选D。考点：（1）线面平行、面面平行性质及判定定理的应用；（2）面面垂直性质及判定定理的应用。2如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （ ）A BC D【答案】A 【解析】试题分析：设球的半径为，由球的截面性质得，解得，故球的体积为。 考点：（1）球的截面性质；（2）球的体积公式。 3三个人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2人上了同一车厢的概率为（ ）A B C D 【答案】B 【解析】试题分析：这是一个古典概型，每个人选车厢有10种情况，则基本事件总数有种，2人上了同一车厢有，3人上了同一车厢有种情况，故至少有2人上了同一车厢的概率为 。考点：（1）分步乘法计数原理的应用；（2）分类讨论思想的应用。（3）古典概型的求法。 4除以100的余数是( )A1 B79 C21 D81【答案】C 【解析】试题分析：=4，即除以100的余数为21。 考点：二项式定理解决整除问题。 第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）5设复数满足,则_。 【答案】 【解析】试题分析：由已知得。考点：复数的除法运算。 6三个平面最多把空间分割成 个部分。 【答案】 8【解析】试题分析：两个平面相交把空间分成四部分，第三个平面从中间截开，把每一部分一分为二，故可把空间分成八部分。 考点：空间两个平面的位置关系。7若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为180的扇形，则这个圆锥的体积是 。【答案】【解析】试题分析：扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，设底面半径为，则，扇形的半径即为圆锥的母线，则圆锥的高为，故该圆锥的体积为。考点：（1）圆锥基本元素之间的关系；（2）圆锥体积公式的应用。 8如图,在正三棱柱中,异面直线与所成角的大小为,该三棱柱的体积为 。【答案】【解析】试题分析：由线线角定义知，又为直角三角形，则，故该三棱柱的体积为。 考点：（1）线线角的定义；（2）正三棱柱的性质及体积公式。9的展开式中的常数项是 。 【答案】60 【解析】试题分析：通项公式为，令，得。 考点：二项式定理的应用。 106名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 种。 【答案】729 【解析】试题分析：根据分步乘法计数原理获得冠军的可能性有。 考点：分步乘法计数原理的应用，11将三个1、三个2、三个3填入33的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法共有 种。【答案】12 【解析】试题分析：先排第一行有种，再排第二行、第一列，有两种可能，该位置确定后，其余位置的元素就唯一确定了，故有种。考点：分步乘法计数原理的应用。12用4种颜色给一个正四面体的4个顶点染色，若同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，那么不同的染色方法共有_种。【答案】24 【解析】试题分析：因为同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，则相当于把四个元素排往四个位置全排，有种。 考点： 排列的定义及排列数公式。13从个正整数中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于的概率为,则 。 【答案】8 【解析】试题分析：两数之和等于的只有与两种情况，由古典概型公式得，解得。考点：古典概型的定义及概率的求法。 14用0、1、2、3、4、5组成一个无重复数字的五位数，这个数是偶数的概率为 。【答案】【解析】试题分析： 选个数全排，再减去首位为的，可得组成的无重复数字五位数的个数为，这个数是偶数包括三种情况：末尾为，末尾为的有种情况，末尾为的各有种情况，这个数是偶数的概率为。 考点：（1）排列的定义及排列数公式；（2）古典概型的定义及概率的求法。 15设复数，在复平面上所对应点在直线上，则 = 。【答案】【解析】试题分析：由 得，又在复平面上所对应点在直线上，所以，代入上式解得或（舍），则。 考点：（1）复数的基本概念及复数模的求法；（2）复数的几何意义。 16如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为 。【答案】【解析】试题分析:把正方体的表面展开图还原成正方体，设的中点为，连接，又，则为异面直线AB和CD所成的角，由余弦定理可得。 考点：（1）异面直线所成角的定义；（2）平行公里；（3）余弦定理的应用。 17在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，. 已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的最小值为 。【答案】【解析】 试题分析：建立直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，则（），（）。所以，。因为，所以，由此推出 。又，从而有 。 考点：(1)空间向量的坐标运算及空间两点间距离公式的应用；（2）利用二次函数思想求最值。 18一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 【答案】 【解析】试题分析：如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面/平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，垂足为的中心图甲因，故，从而记此时小球与面的切点为，连接，则考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙记正四面体的棱长为，过作于因，有，故小三角形的边长小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）图乙 又，所以由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 考点：(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用。 评卷人得分三、解答题（题型注释）19如图，AB是底面半径为1的圆柱的一条母线，O为下底面中心，BC是下底面的一条切线。（1）求证：OBAC；（2）若AC与圆柱下底面所成的角为30，OA=2。求三棱锥A-BOC的体积。【答案】（1）见解析；（2）。 【解析】 试题分析：(1)要证，可转化为证OB平面ABC，而根据圆的切线性质、圆柱母线定义可知，即OB平面ABC；（2）三棱锥A-BOC的体积等于，在RtOA B中，AB，由题意知，故，代入公式即可。 试题解析： （1）连结OB，由圆的切线性质有OBBC，圆柱母线性质有，又，OB平面ABC，OBAC。（2）在RtOA B中，AB又ACB就是AC与底面O所成角，, 考点：（1）圆的切线性质、圆柱母线定义；（2）线面垂直判定及性质定理的应用；（3）三棱锥体积公式。 20如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。A1C1CBAB1D（1）求证：直线AB1平面C1DB；（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值 【答案】（1）见解析；（2）。 【解析】试题分析：(1) 连BC交于E，连DE, 要证直线AB1平面C1DB，证明AB1DE即可；（2）根据异面直线所成角的定义并结合（1）可知DEB为异面直线所成的角，然后用余弦定理求解。试题解析：（1）连BC交于E，连DE, 则DE，而DE面CDB，面CDB， 平面C1DB。（2）由（1）知DEB为异面直线所成的角，在 由余弦定理得。 考点：（1）线面平行判断定理的应用；（2）异面直线所成角的定义；（3）余弦定理的应用。 21已知：对于任意的多项式与任意复数z，整除。利用上述定理解决下列问题：在复数范围内分解因式：；求所有满足整除的正整数n构成的集合A。【答案】(1)；(2) 或。 【解析】试题分析：（1） 令，由求根公式可得两根为；（2）因为，又一个整数除以，要么整除，要么余，要么余，故分，三种情况讨论。试题解析：（1）令解得两个根，这里所以（2）记。有两个根，这里，当时，故在这种情形有，同样可以证明，当时，有，但当时，故，综上，当且仅当时，所以或。 考点：（1）求根公式的应用；（2）分情况讨论思想的应用，（3）复数性质的应用。 22设（是正整数），利用赋值法解决下列问题：（1）求；（2）为偶数时，求；（3）是3的倍数时，求。 【答案】（1）；（2） ；（3）。【解析】试题分析：（1）为二项式展开式中每一项的二项式系数，令可求得，即的值，（2）为的展开式中偶数项的二项式系数，令可得的值，再与相加即可得，(3)利用复数次方的性质，构造方程，从而求得的值。试题解析：令，（1），所以（2），所以（3）记，则。当时，当时，记，则从上到下各式分别乘以，求得。即 考点：（1）赋值法的应用；（2）复数性质的应用。 23宇宙深处有一颗美丽的行星，这个行星是一个半径为r（r0）的球。人们在行星表面建立了与地球表面同样的经纬度系统。已知行星表面上的A点落在北纬60，东经30；B点落在东经30的赤道上；C点落在北纬60，东经90。在赤道上有点P满足PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离。（1）求AC两点间的球面距离；（2）求P点的经度；（3）求AP两点间的球面距离。【答案】 【解析】试题分析：（1）根据纬度、经度的定义求出的长，在由余弦定理求的大小，然后用弧长公式求AC两点间的球面距离，（2）由球面距离定义知POB=AOB=60，又P点在赤道上，根据经度的定义可确定P点的经度；（3）连接A，C，可知A平行OB且等于OB的一半，延长BA与交于D点，那么，同理可证，即四边形为等腰梯形，求出的长，然后解三角形可得的大小。 试题解析：设球心为，北纬60圈所对应的圆心为，（1）那么=。A=C=。又因为AC=60。所以AC=。那么由余弦定理得，则AC两点间的球面距离为。（2）PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离，所以PB=AB。可知POB=AOB=60，又P点在赤道上，所以P点的经度为东经90或西经30。显然P点的两种可能对应的AP间的球面距离相等。不妨P所在的经度为东经90。由条件可知A平行OB且等于OB的一半，延长BA与交于D点，那么。 而C平行OP且等于OP的一半，所以D、P、C共线且。可知ACBP，所以A、B、C、P共面。又，所以四边形为等腰梯形，所以，所以两点之间的球面距离为考点：（1）纬（经）的定义；（2）球面距离的定义与求法；（3）余弦定理的应用；（4）反三角函数的应用。