2019-2020年高中数学 1.2解三角形应用举例练习题（含解析）新人教版必修5.doc

2019-2020年高中数学 1.2解三角形应用举例练习题（含解析）新人教版必修5一、填空题1.海上有三个小岛,其中两个小岛A,B相距10海里,从A岛望B岛和C岛成60视角,从B岛望C岛和A岛成75视角,则B,C间距离是_解析 180-60-75=45, 根据正弦定理. 答案 海里2.从A处望B处的仰角为从B处望A处的俯角为则、的关系为_解析 根据仰角和俯角的定义可知. 答案 3江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.解析如图，OMAOtan 4530 (m)，ONAOtan 303010 (m)，由余弦定理得，MN 10 (m)答案104某人向正东方向走x km后，他向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为_解析如图，在ABC中，ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()232x223xcos 30，即x23x60，解得x1，x22，经检测均合题意答案或25如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，则AB的长为_解析在ACD中，已知CDa，ACD60，ADC60，所以ACa.在BCD中，由正弦定理可得BCa.在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB30，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为ABa.答案a6在ABC中，D为边BC上一点，BDCD，ADB120，AD2，若ADC的面积为3，则BAC_.解析由A作垂线AHBC于H.因为SADCDADCsin 602DC3，所以DC2(1)，又因为AHBC，ADH60，所以DHADcos 601，HC2(1)DH23.又BDCD，BD1，BHBDDH.又AHADsin 60，所以在RtABH中AHBH，BAH45.又在RtAHC中tanHAC2，所以HAC15.又BACBAHCAH60，故所求角为60.答案607如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米解析在BCD中，CD10(米)，BDC45，BCD1590105，DBC30，BC10(米)在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010(米)答案108据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是_米解析如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则ABO45，AOB75，OAB60.由正弦定理知，AO(米)答案9如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30，经过1 min后又看到山顶的俯角为75，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)_解析AB1 0001 000 (m)，BCsin 30 (m)航线离山顶hsin 7511.4 (km)山高为1811.46.6 (km)答案6.6 km10如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105，进行10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135后继续前行回到出发点，那么x_.解析由题知，CBA75，BCA45，BAC180754560，.x(m)答案m11如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当与满足条件_时，该船没有触礁危险I解析由题可知，在ABM中，根据正弦定理得，解得BM，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90)n，所以当与的关系满足mcos cos nsin()时，该船没有触礁危险答案mcos cos nsin()12某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30角的直线上，1分钟后，他看这宝塔在与火车前进方向成45角的直线上，设火车的速度是100 km/h，则宝塔到铁路线的垂直距离等于_km.解析如图，BCA453015，AB(km)，ACsinABC(1)(km)，所以宝塔到铁路线的垂直距离ACsin 30(1)(km)答案(1)13知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是_解析如图，设ABAC2x，则在ABD中，由余弦定理，得3x24x24x2cos A，所以cos A.所以sin A，所以SABC(2x)2sin A.故当x2时，(SABC)max 2.答案2二、解答题14.如图,一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10千米,速度为180千米/小时,飞行员先看到山顶的俯角为30,经过2分钟后又看到山顶的俯角为75,求山顶的海拔高度. 解析 在ABP中-30=45. 根据正弦定理, . sin75sin(45+30. 所以,山顶P的海拔高度为千米). 15如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值解析(1)依题意知，BAC120，AB12(海里)，AC10220(海里)，BCA，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784.解得BC28(海里)所以渔船甲的速度为14海里/时(2)在ABC中，因为AB12(海里)，BAC120，BC28(海里)，BCA，由正弦定理，得.即sin .16某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由思路分析第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式；第(2)问建立速度与时间的函数关系式解析(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S .故当t时，Smin10(海里)，此时v30(海里/时)即，小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900，0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30海里/时故v30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇【点评】 解决这一类问题一般是根据余弦定理来建立函数关系式，利用函数的有关知识解决问题，充分体现了函数与方程思想的重要性.17如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，接到信号后乙船朝北偏东方向沿直线前往B处救援，问的正弦值为多少？解析如题干图，在ABC中，AB20海里，AC10海里，BAC120，由余弦定理知BC2AB2AC22ABACcos 12020210222010700.BC10海里由正弦定理，sinACBsinBACsin 120.sin sin(30ACB)sin 30cosACBcos 30sinACB乙船应沿北偏东sin 的方向沿直线前往B处救援18如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？解析由题意知AB5(3)海里，DBA906030，DAB904545，所以ADB180(4530)105，在ADB中，由正弦定理得，所以DB10(海里)，又DBCDBAABC30(9060)60，BC20(海里)，在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 20021020900，所以CD30(海里)，则需要的时间t1(小时)所以救援船到达D点需要1小时