2019-2020年高考数学一轮总复习 第九章 平面解析几何课时训练 理.doc

2019-2020年高考数学一轮总复习 第九章 平面解析几何课时训练 理1. 直线xsinycos0的倾斜角是_答案： 解析：tan tantan， 0，)， .2. (原创)若直线l沿x轴的负方向平移2个单位，再沿y轴的正方向平移3个单位后，又回到原来的位置，则直线l的斜率为_答案：解析：设直线上任一点为(x，y)，按题意平移后的点为(x2，y3)，利用斜率公式得直线l的斜率为.3. 若三点A(2，3)、B(3，2)、C共线，则实数m_答案：m解析：由A、B、C三点共线，则kABkAC. ，解得m.4. 如果图中的三条直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3从小到大的排列顺序为_答案：k3k1k2解析：由图知，k10，k30.另外，tan1k10，1，tan3k30，3，而31，正切函数在上单调递增，所以 k3k1.综上，k3k1k2.5. 过点P(1，1)的直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，则直线l的斜率和倾斜角分别为_，_答案：1135解：设A(a，0)，B(0，b)，则 即A(2，0)，B(0，2)， kAB1，故直线l的倾斜角为135.6. 若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是_答案：，0)解析：当时，ktan ；当 时，ktan ，0)综上k，0).7. (xx郑州质检)直线l1：3xy10，直线l2过点(1，0)，且它的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为_答案：y(x1)解析：由tan3可求出直线l2的斜率ktan2，再由l2过点(1，0)即可求得直线方程为y(x1)8. (xx贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是_答案：(，1)解析：设直线l的斜率为k，则方程为y2k(x1)，在x轴上的截距为1，令313，解得k1或k.9. 已知、k分别是直线l的倾斜角和斜率(1) 当sin时，求k的值；(2) 当cos时，求k的值；(3) 当cos时，求k的值解：(1) 当sin时， 0，)， cos， ktan.(2) 当cos时， 0，)， sin， ktan.(3) 当cos时， 0，)， sin， ktan.10. (xx莱芜模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为(1，1)、(2，2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，求m的取值范围解：(解法1)直线xmym0恒过点A(0，1)，kAP2，kAQ，则或2. m且m0.又m0时，直线xmym0与线段PQ有交点， 所求m的取值范围是.(解法2)过P、Q两点的直线方程为y1(x1)，即yx，代入xmym0，整理得x，由已知12，解得m.即m的取值范围是.11. 已知两点A(1，2)，B(m，3)(1) 若直线AB的倾斜角为，试求实数m的值；(2) 已知实数m，求直线AB的倾斜角的取值范围解：(1) 由直线AB的倾斜角为知直线AB的斜率为1， 1，解得m2.(2) 当m1时，； 当m1时，m1(0， k(， .综合知，直线AB的倾斜角.12. 已知直线kxyk0与射线3x4y50(x1)有交点，求实数k的取值范围解：kxyk0k(x1)y0，直线系过定点(1，0)斜率kk，可画图看出k，k(，).(或者由两直线方程联立，消去y得x1，即0k或k0及0，得(30)24(d29)(d225)0，从而0d； 当B0时，两直线分别为x2与x1，它们间的距离为3，满足上述结论综上所述，d的取值范围是(0，(解法2)两平行直线在旋转过程中，00)关于直线xy20对称(1) 求圆C的方程；(2) 设Q为圆C上的一个动点，求的最小值解：(1) 设圆心C(a，b)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2) 设Q(x，y)，则x2y22，(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2. P在圆C上，故令xcos ，ysin， xy2(sincos)22sin2， 的最小值为4.11. 已知圆C通过不同的三点P(m，0)，Q(2，0)，R(0，1)，且CP的斜率为1.(1) 试求圆C的方程；(2) 过原点O作两条互相垂直的直线l1、l2，且l1交圆C于E、F两点，l2交圆C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值解：(1) 设圆的方程为x2y2DxEyF0，则C点的坐标为，且PC的斜率为1，所以1.因为圆C通过不同的三点P(m，0)，Q(2，0)，R(0，1)，所以联立，解得所以圆C的方程为x2y2x5y60，即.(2) 圆心C的坐标为，圆心到l1、l2的距离设为d1、d2，则ddOC2，又d，d，两式相加，得EF2GH2742EFGH.所以SEFGH，即(S四边形EGFH)max.第5课时直线与圆的位置关系1. (xx丽水模拟)直线yx1被圆x22xy230所截得的弦长为_答案：2解析：题中的圆心坐标是(1，0)，半径是2，圆心(1，0)到直线xy10的距离等于，因此所求的弦长等于22.2. (必修2P106练习3(2)改编)过坐标原点且与x2y24x2y0相切的直线的方程为_. 答案：y3x或yx 解析：过坐标原点的直线为ykx与圆x2y24x2y0相切，则圆心(2，1)到直线的距离等于半径，即，解得k或k3，所以切线方程为y3x或yx.3. 已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是_答案：相交解析：由题意知点在圆外，则a2b21，圆心到直线的距离d0)的公共弦长为2，则公共弦所在直线的方程为_答案：y1解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为y，画图可知()222，解得a1.故公共弦所在直线的方程为y1.6. (xx南通一模)在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2y22(x0)上一点，直线OA的倾斜角为45，过A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程为_答案：y(x1)1解析：由题意知直线HB的方程为yx1，代入圆的方程，得x2(x1)22，解得x，从而得B点坐标为，从而kAB，从而直线AB的方程为y(x1)1.7. (xx苏锡常镇一模)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)在圆C：x2y22mx4ym2280内，动直线AB过点P且交圆C于A、B两点，若ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为_答案：32，32)(32，32解析：圆C的方程为(xm)2(y2)232.圆心C(m，2)，半径r4.SABCr2sinACB16sinACB16，故当sinACB1，即ACB90时，SABC取得最大值即当ACB为等腰直角三角形时，面积取到最大值故此时圆心到动直线的距离dr4，从而dPCr，即16(m3)2432，解得m32，32)(32，328. (xx南京二模)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2y24，P为圆C上一点若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，当P在圆C上运动时，使得APB恒为60，则圆M的方程为_答案：(x1)2y21解析： 当P在圆C上运动时APB恒为60， 圆M与圆C一定是同心圆， 可设圆M的方程为(x1)2y2r2.当点P坐标是(3，0)时，设直线AB与x轴的交点为H，则MHHP2，MHr，AB2r，所以r2r2，解得r1，所以所求圆M的方程为(x1)2y21.9. (xx南京十二中质检)已知圆C：x2y2x6ym0与直线l：x2y30.(1) 若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；(2) 若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OPOQ，求实数m的值解：(1) 圆的方程为(y3)2，故有0，解得m.将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得消去y，得x2x6m0，整理，得5x210x4m270. 直线l与圆C没有公共点， 方程无解故有10245(4m27)8. m的取值范围是.(也可用圆心到直线的距离大于半径求解)(2) 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OPOQ，得0，即x1x2y1y20.由(1)及根与系数的关系，得x1x22，x1x2. P、Q在直线x2y30上， y1y293(x1x2)x1x2将代入上式，得y1y2，将代入，得x1x2y1y20，解得m3.代入方程检验得0成立， m3.10. 已知mR，直线l：mx(m21)y4m和圆C：x2y28x4y160.(1) 求直线l斜率的取值范围；(2) 直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解：(1) 直线l的方程可化为yx，此时斜率k.因为|m|(m21)，所以|k|，当且仅当|m|1时等号成立所以斜率k的取值范围是.(2) 不能由(1)知l的方程为yk(x4)，其中|k|；圆C的圆心为C(4，2)，半径r2，圆心C到直线l的距离d.由|k|，得d1，即d.若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于，所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧11. (xx哈尔滨模拟)已知定点M(0，2)，N(2，0)，直线l：kxy2k20(k为常数)(1) 若点M、N到直线l的距离相等，求实数k的值；(2) 对于l上任意一点P，MPN恒为锐角，求实数k的取值范围解：(1) 点M、N到直线l的距离相等， lMN或l过MN的中点 M(0，2)，N(2，0)， kMN1，MN的中点坐标为C(1，1) 直线l：kxy2k20过点D(2，2)， 当lMN时，kkMN1，当l过MN的中点时，kkCD.综上可知，k的值为1或.(2) 对于l上任意一点P，MPN恒为锐角， l与以MN为直径的圆相离，即圆心到直线l的距离大于半径，d，解得，k1.故实数k的取值范围为(1，)12. (xx江阴调研)平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x3)2y24和圆C2：(x4)2(y4)24.(1) 若直线l过点A(4，1)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2) 是否存在一个定点P，使过P点有无数条直线l与圆C1和圆C2都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1) 由于直线x4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x4)1，即kxy4k10，由垂径定理，得圆心C1到直线l的距离d1，结合点到直线距离公式，得1, 化简得24k27k0，所以k0或k.故直线l的方程为 y1或y(x4)，即y1或7x24y280.(2) 假设存在，设点P(a，b)，l的方程为ybk(xa)，即kxybak0.因为圆C1和圆C2的半径相等，被l截得的弦长也相等，所以圆C1和圆C2的圆心到直线l的距离也相等，即，整理得(14a7)k2(8a14b32)k8b160.因为k的个数有无数多个，所以解得综上所述，存在满足条件的定点P，且点P的坐标为.第6课时椭 圆(1)1. 已知椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是_答案：1或1解析： a4，e， c3. b2a2c21697. 椭圆的标准方程是1或1.2. (xx金陵中学模拟)椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为_答案：解析：由题意，4，所以m.3. 已知F1、F2是椭圆1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A、B两点在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为_答案：6解析：根据椭圆定义，知AF1B的周长为4a16，故所求的第三边的长度为16106.4. 椭圆1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上若|PF1|4，则|PF2|_，F1PF2_答案：2120解析： a29，b22， c， |F1F2|2.又|PF1|4，|PF1|PF2|2a6， |PF2|2.又由余弦定理，得cosF1PF2， F1PF2120.5. (xx广州模拟)椭圆1的离心率为，则k的值为_答案：或21 解析：若a29，b24k，则c，由，即，解得k；若a24k，b29，则c，由，即，解得k21.6. 设F1、F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为_答案：解析：由题意可得PF2F1F2， 22c， 3a4c， e.7. 已知椭圆1(ab0)，A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点，且，则此椭圆的离心率为_. 答案：解析： AB，BFa，AFac，又， AB2BF2AF2，即2a2b2a2c22ac， c2aca20， .所求的离心率为.8. 已知椭圆C1：1(a1b10)和椭圆C2：1(a2b20)的焦点相同且a1a2.给出如下四个结论： 椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点； aabb； ； a1a2b1b2.其中，所有正确的结论是_(填序号)答案：解析：由已知条件可得abab，可得aabb，而a1a2，可知两椭圆无公共点，即正确；又aabb，知正确；由abab，可得abba，则a1b2，a2b1的大小关系不确定，不正确，即不正确； a1b10，a2b20， a1a2b1b20，而又由(a1a2)(a1a2)(b1b2)(b1b2)，可得a1a2b1b2，即正确综上可得，正确的结论序号为.9. 如图，已知椭圆1(ab0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1) 若F1AB90，求椭圆的离心率；(2) 若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程解：(1) 若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形所以有|OA|OF2|，即bc.所以ac，e.(2) 由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由2，解得x，y.代入1，得1. 即1，解得a23.所以椭圆方程为1.10. 若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1，A1、A2分别为椭圆C1的左、右顶点椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”(1) 求椭圆C2的方程；(2) 设P为椭圆C2上异于A1、A2的任意一点，过P作PQx轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为PA1A2的垂心(垂心为三角形三条高的交点)(1) 解：由题意可知A1(，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e.设椭圆C2的方程为1(ab0)，则b.因为，所以a2.所以椭圆C2的方程为1.(2) 证明：设P(x0，y0)，y00，则1，从而y122x.将xx0代入1，得1，从而y23，即y.因为P、H在x轴的同侧，所以取y，即H.所以kA2PkA1H1，从而A2PA1H.又PHA1A2，所以H为PA1A2的垂心11. (xx新课标全国)设F1、F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1) 若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2) 若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a、b.解：(1) 根据c及题设知M，即2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2) 由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1b0)和半圆x2y2b2(y0)组成的曲线C如图所示曲线C交x轴于点A、B，交y轴于点G、H，点M是半圆上异于A、B的任意一点，当点M位于点时，AGM的面积最大，则半椭圆的方程为_答案：x21(y0)解析：由点在半圆上，所以b1，而当点M位于点时，AGM的面积最大可知，OMAG，即kOMkAG1，a，所以半椭圆的方程为x21.5. 已知椭圆y21的两焦点为F1、F2，点M在椭圆上，0，则M到y轴的距离为_答案：解析：由条件知，点M在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2y23，即y23x2，代入椭圆方程得3x21，解得x2，则|x|，即点M到y轴的距离为.6. 已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e.若椭圆上存在点P，使得e，则该椭圆离心率e的取值范围是_答案：1，1)解析： e， PF1ePF2e(2aPF1)，PF1.又acPF1ac， acac，即a(1e)a(1e)，亦即1e1e，解得e1.又0e1， 1e2)，其离心率为，故，解得a4，故椭圆C2的方程为1.(2) A、B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O、A、B三点共线且点A、B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x.将ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k1.故直线AB的方程为yx或yx.10. (xx淮阴中学调研)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点A.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若点B在椭圆上，点D在y轴上，且2，求直线AB的方程解：(1) e， a2c. b2a2c23c2.设椭圆方程为1， 椭圆过点A， 1， c1.故椭圆方程为1.(2) 设B(x0，y0)，D(0，m)，则(x0，my0)，(1，m) 2， x02，my032m，即x02，y03m3，代入椭圆方程得m1， D(0，1) lAB：yx1.11. 椭圆C的右焦点为F，右准线为l，离心率为，点A在椭圆上，以F为圆心，FA为半径的圆与l的两个公共点是B、D.(1) 若FBD是边长为2的等边三角形，求圆的方程；(2) 若A、F、B三点在同一条直线m上，且原点到直线m的距离为2，求椭圆方程解：设椭圆的半长轴是a，半短轴是b，半焦距是c，由椭圆C的离心率为，可得椭圆C的方程是1, 焦点F(b，0)，准线x，设点A(x0，y0), (1) FBD是边长为2的等边三角形， 则圆半径为2，且F到直线l的距离是， 又F到直线l的距离是FMc，所以，b3, 所以c3.所以圆的方程是(x3)2y24.(2) 因为A、F、B三点共线，且F是圆心，所以F是线段AB中点， 由B点横坐标是，得x02c2bbb，再由1得yb2b2，y0b, 所以直线m斜率k，直线m：y(xc)，xyc0，原点O到直线m的距离d， 依题意2，c，所以b， 所以椭圆的方程是1.第8课时双 曲 线1. 双曲线y21的离心率等于_答案：解析：由已知及双曲线的概念知，a2，b1，故c，故该双曲线的离心率e.2. 设双曲线C的两个焦点为(，0)，(，0)，一个顶点是(1，0)，则C的方程为_答案：x2y21解析：由题意设双曲线的方程为x21(b0)， 1b2()2， b21，即双曲线C的方程为x2y21.3. (xx南京期初)已知双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率为_. 答案：2解析：由题意，得， e2.4. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为_答案：x2y22解析：设双曲线方程为x2y2a2，一个焦点(a，0)到一条渐近线xy0的距离为，即a.故所求双曲线方程为x2y22.5. (xx天津调研改)已知双曲线C的右焦点为(，0)，且双曲线C与双曲线C：1有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为_答案：x21解析： 双曲线C与双曲线1有相同的渐近线， 设双曲线C的方程为(0)则双曲线C：1，又双曲线C的右焦点为(，0)， c，则4165， .故所求双曲线C的方程为x21.6. (xx江西卷改)过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为_答案：1 解析：由直线方程xa和渐近线方程yx联立解得A(a，b)由以C的右焦点为圆心，4为半径的圆过原点O可得c4，即右焦点F(4，0)由该圆过A点可得|FA|2(4a)2b2a2b28a16c28a16c2，所以8a16，则a2，所以b2c2a216412.故双曲线C的方程为1.7. (xx黄冈一模改编)我们把离心率为e的双曲线1(a0，b0)称为黄金双曲线如图，给出以下几个说法： 双曲线x21是黄金双曲线； 若b2ac，则该双曲线是黄金双曲线； 若F1B1A290，则该双曲线是黄金双曲线； 若MON90，则该双曲线是黄金双曲线其中正确的是_(填序号)答案：解析：如题图， e，双曲线是黄金双曲线由b2ac，可得c2a2ac，两边同除以a2，即e2e10，从而e，双曲线是黄金双曲线|F1B1|2b2c2，|A2B1|2b2a2，|F1A2|2(ac)2，注意到F1B1A290，所以b2c2b2a2(ac)2，即b2ac，由可知双曲线为黄金双曲线 |MN|，由射影定理知|OF2|2|MF2|F2N|，即c2，从而b2ac，由可知双曲线为黄金双曲线8. 已知双曲线1(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在该双曲线上，则_答案：0解析：由题知b22，故y01，F1(2，0)，F2(2，0)， (2，1)(2，1)3410或(2，1)(2，1)3410.9. 若双曲线与椭圆1有相同的焦点，与双曲线1有相同的渐近线，求此双曲线的标准方程解：椭圆1的焦点为F1(4，0)、F2(4，0)，双曲线1的渐近线方程为yx，设所求双曲线方程为1(a0，b0)，由题意知 所求双曲线方程为1.10. 已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1) 求双曲线的方程；(2) 若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3) 对于(2)中的点M，求F1MF2的面积(1) 解：由题意，可设双曲线方程为x2y2(0)，又双曲线过点(4，)，解得6， 双曲线方程为x2y26.(2) 证明：由(1)可知，ab，c2， F1(2，0)，F2(2，0)， (23，m)，(23，m)， m23.又点M(3，m)在双曲线上， 9m26， m23， 0.(3) 解：SF1MF2|F1F2|m|46， F1MF2的面积为6.11. (xx湛江二模)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c，0)(1) 若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2) 以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解：(1) 双曲线的渐近线为yx， ab， c2a2b22a24， a2b22， 双曲线方程为1.(2) 设点A的坐标为(x0，y0)， 直线AO的斜率满足()1， x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程，得3yy