2019-2020年高三二模数学理试题.doc

2019-2020年高三二模数学理试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1（5分）（xx海淀区二模）集合A=x|（x1）（x+2）0，B=x|x0，则AB=（）A（，0B（，1C1，2D1，+）考点：并集及其运算专题：计算题分析：求解二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算求解解答：解：由A=x|（x1）（x+2）0=x|2x1，B=x|x0，所以AB=x|2x1x|x0=（，1故选B点评：本题考查了并集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的运算题2（5分）（xx海淀区二模）已知数列an是公比为q的等比数列，且a1a3=4，a4=8，则a1+q的值为（）A3B2C3或2D3或3考点：等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：利用题目给出的已知条件列关于首项和公比的方程组，求解后即可得到a1+q的值解答：解：在等比数列an中，由a1a3=4，a4=8，得，2得：q4=16，所以q=2当q=2时，代入得，a1=1当q=2时，代入得，a1=1所以a1+q的值为3或3故选D点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了方程组的解法，是基础题3（5分）（xx海淀区二模）如图，在边长为a的正方形内有不规则图形向正方形内随机撒豆子，若撒在图形内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形面积的估计值为（）ABCD考点：几何概型专题：概率与统计分析：根据落到不规则图形和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值解答：解：由题意知在正方形中随机投掷n个点，若n个点中有m点落入X中，不规则图形的面积：正方形的面积=m：n不规则图形的面积=正方形的面积=a2=故选C点评：本题考查几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到4（5分）（xx海淀区二模）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A180B240C276D300考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由三视图可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可解答：解：由题意可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面斜高为5；下部是棱长为6的正方体，所以几何体的表面积为：5个正方形的面积加上棱锥的侧面积，即：566+44=240故选B点评：本题考查几何体与三视图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力5（5分）（xx海淀区二模）在四边形ABCD中，“R，使得AB=DC，AD=BC”是“四边形ABCD为平行四边形”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：证明题分析：根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形和必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可解答：解：由在四边形ABCD中，“R，使得AB=DC，AD=BC”，不能得出ABDC，ADBC，如图，AB=2DC，AD=2BC，不得到四边形ABCD为平行四边形也就不得到四边形ABCD为平行四边形，反之，由四边形ABCD为平行四边形，得到AB=DC，AD=BC，从而有：=1R，使得AB=DC，AD=BC，故在四边形ABCD中，“R，使得AB=DC，AD=BC”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件故选B点评：本题主要考查对平行四边形的判定定理，必要条件、充分条件与充要条件的判断，能灵活运用平行四边形的判定进行证明是解此题的关键，此题是一个比较综合的题目6（5分）（xx海淀区二模）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（）A32B36C42D48考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题分析：2和4需要排在十位、百位和千位，分2排在百位，4排在百位，2和4分别排在十位和千位来考虑，综合可得答案解答：解：由题意可知：2和4需要排在十位、百位和千位若2排在百位，则4可以排在十位或千位，剩余的1、3、5可以随意排，因此有2=12种情况，同理当4排在百位时，2可以排在十位或千位，同样有2=12种情况再考虑2和4分别排在十位和千位的情况，不同的排列有两种情况，而此时由于5不能排在百位，因此只能从个位和万位中选一个，有两种情况，最后剩余的1和3可以随意排列，因此共有22=8种情况因此所有的排法总数为12+12+8=32种故选A点评：本题考查排列组合及简单的计数原理，分类考虑是解决问题的额关键，属中档题7（5分）（xx海淀区二模）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）AB1C1D2考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线c的值，利用抛物线与双曲线的交点以及AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率解答：解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，c2=a2+b2=1，解得a=，双曲线的离心率e=1+故选B点评：本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力8（5分）（xx海淀区二模）若数列an满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T=an成立，则称数列an为周期数列，周期为T已知数列an满足a1=m（m0），则下列结论中错误的是（）A若a3=4，则m可以取3个不同的值B若，则数列an是周期为3的数列CTN*且T2，存在m1，使得an是周期为T的数列DmQ且m2，使得数列an是周期数列考点：命题的真假判断与应用专题：等差数列与等比数列分析：利用周期数列的定义，分别进行推理证明解答：解：对于选项A，因为，所以，因为a3=4，所以a2=5或，又因为，a1=m，所以m=6或m=或m=，所以选项A正确；对于选项B，1，所以；所以，所以，所以数列an是周期为3的数列，所以选项B正确；对于选项C，当B可知当1时，数列an是周期为3的周期数列，所以C正确故错误的是D故选D点评：本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）（xx海淀区二模）在极坐标系中，极点到直线cos=2的距离为2考点：点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式专题：直线与圆分析：先求出直线的直角坐标方程，求出极点的直角坐标，即可求得极点到直线cos=2的距离解答：解：直线cos=2 即 x=2，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线cos=2的距离为2，故答案为 2点评：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，点到直线的距离的定义，属于基础题10（5分）（xx海淀区二模）已知，则a，b，c按照从大到小排列为cba考点：有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较专题：计算题分析：利用对数函数与指数函数及正弦函数的性质可对a，b，c的大小作出判断解答：解：a=lnln1=0，0b=sinsinsin30=，c=，cba故答案为：cba点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，着重考查对数函数与指数函数及正弦函数的性质，属于基础题11（5分）（xx海淀区二模）直线l1过点（2，0）且倾斜角为30，直线l2过点（2，0）且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为考点：两条直线的交点坐标专题：直线与圆分析：用点斜式求出两条直线的方程，再联立方程组，解方程组求得直线l1与直线l2的交点坐标解答：解：由题意可得直线l1的斜率等于tan30=，由点斜式求得它的方程为 y0=（x+2），即 x3y+2=0直线l2过的斜率等于 =，由点斜式求得它的方程为 y0=（x2），即 x+y2=0由 ，解得 ，故直线l1与直线l2的交点坐标为 ，故答案为 点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，求两条直线的交点坐标，属于基础题12（5分）（xx海淀区二模）在ABC中，A=30，B=45，则b=2；SABC=考点：正弦定理；三角形的面积公式专题：计算题；解三角形分析：根据正弦定理的式子，即可解出b=2；由三角形内角和定理，算出C=75，再由正弦定理的面积公式，可以算出SABC的大小解答：解：ABC中，A=30，B=45，由正弦定理，得b=2C=180AB=75SABC=absinC=故答案为：2，点评：本题给出三角形两个角和其中一角的对边，求另一边的大小并求三角形的面积着重考查了用正弦定理解三角形、三角形面积公式等知识，属于基础题13（5分）（xx海淀区二模）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是0，1考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得、的坐标，再由 =10，1，可得的取值范围解答：解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）=（0，1，0）、 （1，1，1）点P在线段BD1上运动，=（，），且01=+=+=（，1，），=10，1，故答案为0，1点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题14（5分）（xx海淀区二模）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线为W（）给出下列三个结论：曲线W关于原点对称；曲线W关于直线y=x对称；曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；其中，所有正确结论的序号是；（）曲线W上的点到原点距离的最小值为考点：轨迹方程；命题的真假判断与应用分析：根据动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论解答：解：动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，|x|+|y|=|xy|+x+y1=0xy0，（x+1）（y+1）=2或xy0，（y1）（1x）=0函数的图象如图所示曲线W关于直线y=x对称；曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；由y=x与（x+1）（y+1）=2联立可得x=1，曲线W上的点到原点距离的最小值为=故答案为：；点评：本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想，求出轨迹方程，正确作出曲线的图象是关键三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）（xx海淀区二模）已知函数（）求函数f（x）的定义域；（）求函数f（x）的单调增区间考点：二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：（）由分母不为0，得到sin（x）0，利用正弦函数的性质即可求出函数f（x）的定义域；（）函数解析式第二项分子利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可求出函数的单调递增区间解答：解：（I）sin（x）0，xk，kZ，则函数的定义域为x|xk+，kZ；（II）f（x）=1=1+（cosx+sinx）=1+sinx+cosx=1+sin（x+），又y=sinx的单调递增区间为（2k，2k+），kZ，令2kx+2k+，解得：2kx2k+，又注意到xk+，则f（x）的单调递增区间为（2k，2k+），kZ点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键16（13分）（xx海淀区二模）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%（）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围考点：离散型随机变量及其分布列；互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：（I）利用对立事件概率求解公式，可求至少有一张彩票中奖的概率；（）确定福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金的取值，求出相应的概率，可得其分布列与期望，利用期望大于0，即可求得结论解答：解：（I）设至少一张中奖为事件A，则P（A）=10.52=0.75（4分）（II）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为，则可以取5，0，45，145（6分）故的分布列为5045145P50%50%2%p2%p（8分）所以的期望为E=550%+0（50%2%p）+（45）2%+（145）p=2.590%145p（11分）所以当1.6145p0时，即（12分）所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业（13分）点评：本题考查对立事件的概率公式，考查随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题17（14分）（xx海淀区二模）如图1，在直角梯形ABCD中，ABC=DAB=90，CAB=30，BC=2，AD=4把DAC沿对角线AC折起到PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，PB的中点（）求证：平面EFH平面PBC；（）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；（）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由考点：用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（）依题意，可证得ADC（即PDC）是等边三角形H是AC的中点，从而可知HEPC，可知同理EFPB，利用面面平行的判断定理即可证得结论；（）在平面ABC内过H作AC的垂线，以H为坐标原点建立空间直角坐标系，继而可求得A，P，B，E的坐标，设平面PHB的法向量=（x，y，z），由可求得，通过对x赋值，可求得=（，3，0），利用向量的数量积即可求得cos，即HE与平面PHB所成角的正弦值；（）在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=PA=2，在直角三角形PHB中，PB=4，EF=PB=2，从而可知E为M即可解答：解：（）点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，所以PH平面ABC，所以PHAC，1分在直角梯形ABCD中，ABC=DAB=90，CAB=30，BC=2，AD=4，AC=4，CAB=60，ADC是等边三角形，故H是AC的中点，2分HEPC3分同理可证EFPB，又HEEF=E，CPPB=P，平面EFH平面PBC；5分（）在平面ABC内过H作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，则A（0，2，0），P（0，0，2），B（，1，0）6分因为E（0，1，），=（0，1，），设平面PHB的法向量=（x，y，z），=（，1，0），=（0，0，2），即，令x=，则y=3，=（，3，0）8分cos，=10分直线HE与平面PHB所成角的正弦值为11分（）存在，事实上记点E为M即可12分因为在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=PA=213分在直角三角形PHB中，PB=4，EF=PB=2，所以点E到P，H，A，F四点的距离相等14分点评：本题考查平面与平面平行的判定，考查直线与平面所成的角，考查点、线、面间的距离计算，突出考查空间向量在空间几何中的应用，考查逻辑推理与证明的能力，属于难题18（13分）（xx海淀区二模）已知函数f（x）=ex，A（a，0）为一定点，直线x=t（t0）分别与函数f（x）的图象和x轴交于点M，N，记AMN的面积为S（t）（）当a=0时，求函数S（t）的单调区间；（）当a2时，若t00，2，使得S（t0）e，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的综合应用分析：（）先根据题意得到函数S（t）的解析式，再由导数与函数单调性的关系解不等式即可求函数S（t）的单调区间；（）当a2时，若t00，2，使得S（t0）e，转化为S（t）在0，2上的最大值一定大于等于e先求，令S（t）=0，得t=a1下面对字母a进行分类讨论：a12；a12可得出关于a的不等关系，从而可求出a的范围；解答：解：（I） 因为，其中ta（2分）当a=0，其中t0当t0时，所以S（t）0，所以S（t）在（0，+）上递增，（4分）当t0时，令，解得t1，所以S（t）在（，1）上递增令，解得t1，所以S（t）在（1，0）上递减 （7分）综上，S（t）的单调递增区间为（0，+），（，1），S（t）的单调递增区间为（1，0）（II）因为，其中ta当a2，t0，2时，因为t00，2，使得S（t0）e，所以S（t）在0，2上的最大值一定大于等于e，令S（t）=0，得t=a1（8分）当a12时，即a3时对t（0，2）成立，S（t）单调递增，所以当t=2时，S（t）取得最大值令，解得 ，所以a3（10分）当a12时，即a3时对t（0，a1）成立，S（t）单调递增，对t（a1，2）成立，S（t）单调递减，所以当t=a1时，S（t）取得最大值，令，解得aln2+2，所以ln2+2a3（12分）综上所述，ln2+2a（13分）点评：本题考查了应用导数研究函数的单调性，以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想19（14分）（xx海淀区二模）已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点（）求椭圆M的方程；（）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点，求AOB（O为原点）面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）依题意，可求得a=，b=1，从而可得椭圆M的方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），依题意，直线AB有斜率，可分直线AB的斜率k=0与直线AB的斜率k0讨论，利用弦长公式，再结合基本不等式即可求得各自情况下SAOB的最大值解答：解：（）因为椭圆+=1（ab0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点，a=，b=1，椭圆M的方程为：+y2=14分（）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB的垂直平分线经过点（0，），显然直线AB有斜率，当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线为y轴，则x1=x2，y1=y2，所以SAOB=|2x1|y1|=|x1|y1|=|x1|=，=，SAOB，当且仅不当|x1|=时，SAOB取得最大值为7分当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t，所以，代入得到（3k2+1）x2+6ktx+3t23=0，当=4（9k2+33t2）0，即3k2+1t2，方程有两个不同的实数解；又x1+x2=，=8分所以=，又=，化简得到3k2+1=4t代入，得到0t4，10分又原点到直线的距离为d=，|AB|=|x1x2|=，所以SAOB=|AB|d|=，化简得：SAOB=12分0t4，所以当t=2时，即k=时，SAOB取得最大值为综上，SAOB取得最大值为14分点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查椭圆的标准方程，着重考查方程思想分类讨论思想与弦长公式，基本不等式的综合运用，考查求解与运算能力，属于难题20（13分）（xx海淀区二模）设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”（） 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 12372101表1（） 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；aa21aa22a1a2a2a2表2（）对由mn个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由考点：切变变换专题：计算题；图表型分析：解：（I）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可） （II） 每一列所有数之和分别为2，0，2，0，每一行所有数之和分别为1，1；如果操作第三列，第一行之和为2a1，第二行之和为52a，列出不等关系解得a，b；如果操作第一行，可解得a值；（III） 按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1（1）=2，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立解答：解：（I）法1：12372101改变第4列得：12372101改变第2行得：12372101法2：12372101改变第2行得：12372101改变第4列得：12372101法3：12372101改变第1列得：12372101改变第4列得：12372101（写出一种即可） （3分）（II） 每一列所有数之和分别为2，0，2，0，每一行所有数之和分别为1，1；如果操作第三列，则 aa21aa22a1a2a+2a2则第一行之和为2a1，第二行之和为52a，解得a=1，a=2（6分）如果操作第一行aa2+1aa22a1a2a2a2则每一列之和分别为22a，22a2，2a2，2a2解得a=1 （9分）综上a=1 （10分）（III） 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1（1）=2，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 （13分）点评：本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和切变变换的应用，同时考查了分析问题的能力，属于难题