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第四讲数学归纳法证明不等式,在数学研究中，人们会遇到这样的情况，对于任意正整数n或不小于某个数n0的任意正整数n，都有某种关系成立。,对这类问题的证明我们将使用又一种重要的数学推理方法-数学归纳法,与正整数有关的命题,例如：14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2(nN+)n21+nx(x-1,nN+).,n=5,a5=25,问题情境一,问题1:大球中有5个小球，如何验证它们都是绿色的？,完全归纳法,不完全归纳法,模拟演示,问题2：若an=(n2-5n+5)2，则an=1。对吗？,当n=1,a1=;n=2,a2=;n=3,a3=;n=4,a4=;,（1）nn,问题情境二：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例,猜想：都是质数,法国的数学家费马（PierredeFermat）(1601年1665年)。十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以“业余王子”之美称，,归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。,（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）,（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）,（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。,（2）不完全归纳法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法。,归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。,归纳法,如何解决不完全归纳法存在的问题呢？,必须寻找一种用有限个步骤，就能处理完无限多个对象的方法。,问题情境三,多米诺骨牌操作实验,数学归纳法,我们常采用数学归纳法来证明：由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题的正确性.,（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,（2）假设当n=k(kN,kn0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立。,这种证明方法叫做数学归纳法,k=2,k+1=2+1=3k=3,k+1=3+1=4k=10,k+1=10+1=11,下面我们来证明前面问题3中猜想的正确性,证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,当n=1时，式（*）成立,(2)假设当n=k时，式（*）成立，即1+35（1）k（2k1）（1）kk,在这个假设下再考虑当n=k+1时，式（*）的左右两边是否成立.,例1、用数学归纳法证明：当nN+时，1+35（1）n（2n1）（1）nn（*）,当n=k+1时等式左边1+35（1）k（2k1）（1）k12(k+1)1,（1）k12(k+1)1,（1）k1(k+1)右边,所以当n=k+1时等式（*）成立。,由（1）（2）可知，1+35（1）n（2n1）（1）nn,利用假设,凑结论,从n=k到n=k+1有什么变化,（1）kk,（1）k1k2(k+1)1,下面的框图表示了数学归纳法的基本过程：,（1）验证：n=n0（n0N+）时命题成立。,（2）证明：假设n=k（kn0）时命题成立，则n=k+1时命题也成立。,对所有的n（n0N+，nn0）命题成立,奠基,假设与递推,数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有两个步骤、一个结论:第一步：验证当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确第二步：假设n=k(kN，且kn0)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确结论：由（1）、（2）得出结论正确,找准起点奠基要稳,用上假设递推才真,写明结论才算完整,数学归纳法主要步骤:,例2用数学归纳法证明,144,1,1）此时n0=_左_右=_,2）假设n=k时命题成立，即,当n=k时，等式左边共有_项，第(k1)项是_。,k,(K1)3(k1)1,1(11)2=4,14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2,14+27+310+k(3k+1)=k(k+1)2,14+27+310+k(3k+1)+(k+1)3(k+1)+1=(k+1)(k+1)+12,(k+1)3(k+1)+1,当n=k+1时左边=14+27+310+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=k(k+1)2+(k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)k(k+1)+3(k+1)+1=(k+1)k2+4k+4=(k+1)(k+1)+12右边,练习巩固,1.用数学归纳法证明：,在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是,2,2.某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（）A当n=6时该命题不成立B当n=6时该命题成立C当n=4时该命题不成立D当n=4时该命题成立,C,3.如下用数学归纳法证明对吗？,证明：当n=1时，左边,右边,等式成立。假设n=k时等式成立，有,那么，当n=k+1时，有,即n=k+1时，命题成立。根据可知，对nN，等式成立。,注意:用上假设递推才真,第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明,既然不对，如何改正？,三注意：1、有时n0不一定等于12、项数不一定只增加一项。3、一定要用上假设,分析,4.用数学归纳法证明122334n(n1),练习巩固,从n=k到n=k+1有什么变化,利用假设,凑结论,证明:,2)假设n=k时命题成立,即122334k(k+1),1)当n=1时，左边=12=2,右边=2.命题成立,n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。,明确初始值n0，验证真假。（必不可少）“假设n=k时命题正确”，写出命题形式。证明“n=k+1时”命题成立。分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项。注意用上假设，要作结论,用数学归纳法证明恒等式注意事项：,数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有两个步骤、一个结论:（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确（2）假设n=k(kN，且kn0)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确由（1）、（2）得出结论正确,归纳小结,（1）数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于与正整数有关的问题。（2）两个步骤，一个结论缺一不可，否则结论不能成立。（3）在证明递推步骤时，必须使用归纳假设。,递推基础不可少归纳假设要用到结论写明莫忘掉,可能错误如何避免？,课堂小结,数学归纳法是一种完全归纳法，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。,数学归纳法的核心思想,课堂小结,（1）思考题：问题1中大球中有很多个小球，如何证明它们都是绿色的？,模拟演示,作业,（2）课本作业P50.习题4.11，2,（3）补充作业:,用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，那么an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。,（4）预习课本P49例1和例2,哥德巴赫猜想,德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于5的整数,都可以表示为三个质数的和.他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明.1742年6月6日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现:问题的关键在于证明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和.于是,欧拉对大于2的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。6月30日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫猜想.,谢谢！再见！,
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