2019-2020年高考数学 空间几何体的表面积与体积练习.doc

2019-2020年高考数学 空间几何体的表面积与体积练习1、一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）m3A B C D2、如图，四棱锥PABCD中，平面ABCD，底面为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点， （I）求证： （II）求三棱锥CDEG的体积； （III）AD边上是否存在一点M，使得平面MEG。若存在，求AM的长；否则，说明理由。3、如右图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积是 。 4、已知四边形ABCD满足ADBC，BAADDCBCa，E是BC的中点，将沿翻折成，使面面AECD，F为的中点.（1）求四棱锥的体积；（2）证明：面；（3）求面与面所成锐二面角的余弦值.5、如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB（）求证：CE平面PAD；（）若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45，求四棱锥PABCD的体积（）在满足（）的条件下求二面角BPCD的余弦值的绝对值6、已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体ABCED的体积为16.(1)求实数a的值；(2)将直角三角形ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积7、如图一所示，四边形ABCD为等腰梯形，ADBC，AD=4，BC=8，O、O1分别为BC、AD的中点，将梯形ABOO1沿直线OO1折起，使得平面ABOO1平面OO1DC，得到如图二所示的三棱台AO1DBOC，E为BC的中点（1）求证：BC平面OO1E；（2）若直线O1E与平面ABCD所成的角的正弦值为，求三棱锥ABOC的体积 8、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A B C82 D9、若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 10、如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则PDCE三棱锥的外接球的体积为（ ） A B C D 11、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A 12 B 24 C 30 D 4812、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ） A B C D 713、一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形则这个四面体的外接球的表面积是（ ） A B 3 C 4 D 614、如图是一个几何体的三视图，则该几何体体积为（ ） A 15 B 16 C 17 D 1815、如图，菱形的边长为，现将沿对角线折起至位置，并使平面平面 ()求证：；()在菱形中，若，求直线与平面所成角的正弦值；()求四面体体积的最大值16、如图，在长方体中，沿该长方体对角面将其截成两部分，并将它们再拼成一个新的四棱柱，那么这个四棱柱表面积的最大值为_17、一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径为2的圆，则这个几何体的表面积是（ ） A B C D18、某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是（ ）A. B.1C. D.19、如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点（）求证：GF底面ABC；（）求证：AC平面EBC；（）求几何体ADEBC的体积V20、端午节即将到来，为了做好端午节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下：将一块边长为10的正方形纸片剪去四个全等的等腰三角形再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒,其中重合于点O，与重合，与重合，与重合，与重合（如图所示）.（）求证：平面平面；（）当时,求二面角的余弦值. 答 案1、A2、（I）证明：平面ABCD，1分 又ABCD是正方形，BCCD， 2分 PDICE=DBC平面PCD又PC面PBCPCBC 4分 （II）解：BC平面PCD，GC是三棱锥GDEC的高。 5分E是PC的中点，6分 8分 （III）连结AC，取A C中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA/平面MEG。 9分下面证明之E为PC的中点，O是AC的中点，EO/平面PA， 10分又PA/平面MEG 11分在正方形ABCD中，O是AC中点，所求AM的长为 12分3、4、（1）取AE的中点M，连结B1M，因为BA=AD=DC=BC=a，ABE为等边三角形，则B1M=，又因为面B1AE面AECD，所以B1M面AECD，所以 -4分（2）连结ED交AC于O，连结OF，因为AECD为菱形，OE=OD所以FOB1E， 所以。-7分(3)连结MD，则AMD=，分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴建系，则,所以1，,设面ECB1的法向量为，令x=1, ，同理面ADB1的法向量为， 所以，故面所成锐二面角的余弦值为 13分5、（）证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE，因为ABAD，CEAB，所以CEAD，又PAAD=A，所以CE平面PAD（3分）（）解：由（）可知CEAD，在直角三角形ECD中，DE=CDcos45=1，CE=CDsin45=1又因为AB=CE=1，ABCE，所以四边形ABCE为矩形，所以SABCD=SABCE+SECD=，又PA平面ABCD，PA=1，所以四棱锥PABCD的体积等于（7分）（）解：建立以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴的空间坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，2，0），D（0，3，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，1），则，x=1，y=0，=（1，0，1），设平面PCD的法向量为=（1，y，z），则，y=1，z=3，=（1，1，3），所以二面角的余弦值的绝对值是（12分）6、(1)由该几何体的三视图知AC平面BCED，且ECBCAC4，BDa，故该旋转体的表面积为7、解：（1）在等腰梯形ABCD中，O、O1分别为两底BC、AD的中点，OO1BC，因此在三棱台三棱台AO1DBOC中，OO1BO，OO1OC，又BOOC=O，OO1平面BOC，OO1BC，又BO=OC，E为BC的中点，OEBC，OO1OE=O，BC平面OO1E；（2）由（1）可得：OO1平面BOC，OO1BC，又平面ABOO1平面OO1DC，BOC=90以O为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示）设OO1=m，由题意可得，O（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），O1（0，0，m），E（2，2，0），A（2，0，m）=（2，0，m），=（4，4，0），=（2，2，m）设平面ABCD的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则y=1，z=，即=，设直线O1E与平面ABCD所成的角为，则sin=，解得 m=或m=2，VABOC=或8、解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8=故选A9、解：由图知此几何体为边长为2的正方体裁去一个三棱锥（如右图），所以此几何体的体积为：2=故答案为：10、解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，故选C11、解：由三视图可知其直观图如下所示，其由三棱柱截去一个三棱锥所得，三棱柱的体积V=435=30，三棱锥的体积V1=433=6，故该几何体的体积为24；故选B12、解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，正方体的棱长为2，故体积为：222=8，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，故体积为：111=，故几何体的体积V=8=，故选：A13、解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为此四面体的外接球的表面积为表面积为=3故选：B14、解：由题意，在长方体ABCDABCD中，由题意可得到所求几何体的几何直观图由题意可知：多面体ADDEFC即为所求的几何体由题意作EMDC于M，则由已知得MC=1，EM=3FM=3，DM=3则V=V三棱柱ADDFME+V三棱锥EFMC=SEMFDM=故选A15、（）证明:取中点，连接，由于四边形为菱形， 又， 平面，又平面， .() 平面平面， 平面平面, ， ，两两垂直， 故以为原点，以方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， ，菱形的边长为， , ，设平的法向量，直线与平成角为， ，取，则，于是， ， 直线与平面成角的正弦值为.（）法一：设, ， ，又平面ABC， ()，当且仅当，即时取等号，四面体PABC体积的最大值为法二：设,，又平面ABC，()， 设，则，且， ，当时，当时，当时，取得最大值，四面体PABC体积的最大值为法三：设，则， 又平面ABC，当且仅当，即时取等号，四面体PABC体积的最大值为16、当的两个面叠合时，所得新的四棱柱的表面积最大，其表面积为17、A18、A19、解：（I）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）G、F分别是EC和BD的中点HGBC，HFDE，（2分）又ADEB为正方形DEAB，从而HFABHF平面ABC，HG平面ABC，HFHG=H，平面HGF平面ABCGF平面ABC（5分）证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN（如图）G、F分别是EC和BD的中点（2分）又ADEB为正方形BEAD，BE=ADGMNF且GM=NFMNFG为平行四边形GFMN，又MN平面ABC，GF平面ABC（5分）证法三：连接AE，ADEB为正方形，AEBD=F，且F是AE中点，（2分）GFAC，又AC平面ABC，GF平面ABC（5分）（）ADEB为正方形，EBAB，GF平面ABC（5分）又平面ABED平面ABC，BE平面ABC（7分）BEAC又CA2+CB2=AB2ACBC，BCBE=B，AC平面BCE（9分）（）连接CN，因为AC=BC，CNAB，（10分）又平面ABED平面ABC，CN平面ABC，CN平面ABED（11分）三角形ABC是等腰直角三角形，（12分）CABED是四棱锥，VCABED=（14分）20、解析：（）折后重合于一点拼接成底面的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，底面是正方形，故. 2分在原平面图形中，等腰三角形, 4分又平面. 又平面，平面平面. 6分（）法1：过作交于点，连,面,面，为二面角的平面角. 8分当时，即中，, 中，,所以所求二面角的余弦值为 12分法2：由（）知并可同理得到故以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 在原平面图形中，则底面正方形的对角线，在原平面图形中，可求得在中，可求得 8分设平面的一个法向量为，则得 令，则 10分平面，是平面的一个法向量，设二面角的大小为则二面角的余弦值为 12分