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第三十二讲一元二次不等式及其解法,名师指导练基础,回归课本1.一元二次不等式的定义只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.,2.一元二次不等式的解集如下表,分式不等式解法的实质是转化,把分式不等式转化为整式不等式来求解,需要注意分式有意义即分母不为零,也可将分式不等式转化为两个不等式的交集,继而求出其解集.,4.用一个程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的求解的算法过程,考点陪练1.(2010大连模拟题)不等式x(1-x)0的解集为()A.x|x0B.x|-11解析:利用数轴标根法可得00的解集为(-,+),则实数a的取值范围是_;若关于x的不等式x2-ax-a-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是_.解析:由10即a2-4(-a)0得-40),ax2+bx+c0).(2)计算相应的判别式.(3)当0时,求出相应的一元二次方程的根.(4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集.,【典例1】解下列不等式:(1)2x2+4x+30;当a0时,2.不等式ax2+bx+c0的不等式恒成立问题,必须对a=0或a0分类讨论,避免产生漏解.,【典例3】已知不等式mx2-2x+m-20.(1)若对于所有的实数x不等式恒成立,求m的取值范围;(2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立,求x的取值范围.分析(1)讨论m是否为零,可结合二次函数的图象求解;(2)看作关于m的一次函数,利用其单调性求解.,解(1)对所有实数x,都有不等式mx2-2x+m-20恒成立,即函数f(x)=mx2-2x+m-2的图象全部在x轴下方.当m=0时,-2x-20知g(m)在-2,2上为增函数,则由题意只需g(2)0即可,即2x2+2-2x-20,解得0x1.即x的取值范围是(0,1).反思感悟对于含参数的不等式恒成立问题,若参数的次数是一次且易于分离时,可以变换主元,借助于一次函数的单调性求解.,类型四一元二次不等式的实际应用解题准备:不等式解法的应用主要体现在两个方面:一是不等式作为一种重要的数学工具在函数和方程中的应用;二是通过建立不等式模型,解决生活中的实际问题.本类问题解决时,注意等价转化和函数方程思想的应用.,【典例4】某种商品,现在定价p元,每月卖出n件,设定价上涨x成,每月卖出数量减少y成,每月售货总金额变成现在的z倍.(1)用x和y表示z;(2)设y=kx(0k0(aR).,剖析本题忽略对判别式的讨论是导致错误的主因.正解因为=a2-16,(1)当0,即-4a4时,解集为R;(2)=0,即a=4.a=4时,解集为x|x-2,a=-4时,解集为x|x2.,错源二思维滞于表面现象,忽视分类讨论【典例2】解关于x的不等式(aR).错解原不等式即为(x-a)(x-a2)0.aa2.不等式的解集为x|axa而不分类,也易在分类时漏掉a=a2的情况;或在讨论a=a2时,误将不等式解集写成x|xR且x0.正解原不等式即为(x-a)(x-a2)1时,aa2,此时不等式的解为a2xa;,当a=0或a=1时,a=a2,原不等式变形为(x-a)21时,原不等式的解集为x|axa2;当0a1时,原不等式的解集为x|a2x4x+p-3恒成立,求x的取值范围.解题切入点这是一个有关x的二次不等式恒成立问题,但若以x为主元考虑解题将非常复杂,而变换视角,令p为主元便可构建关于p的一次函数,使问题很容易得解.,技法二数轴标根法【典例2】不等式的解集是()A.(-,-1)(1,2)(3,+)B.(-1,1)(2,3)C.(-1,1)(1,2)D.(1,2)(2,3),解析原不等式为等价于:(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)0(0)的值的符号变化,写出不等式的解集.注意:当因式中出现“正项”时用“舍项法”;当因式中出现“偶次方项(x+a)2m”时利用“挖点法(去掉点x=-a)”;当因式中出现“奇次方项(x+b)2m+1”时利用“视一法(看成一次式x+b).”,技法三转化与化归思想【典例3】若关于x的不等式的解集为x|4xm,求实数a、m的值.解题切入点根据式子的特征,可令将不等式转化成关于t的一元二次不等式.结合一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系,可求得a、m.,
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