2019-2020年高考数学一轮复习 5.5数列模型的应用课时作业 理 湘教版.doc

2019-2020年高考数学一轮复习 5.5数列模型的应用课时作业 理 湘教版一、选择题1.有200根相同的钢管，要把它们堆成三角形垛，使剩余的钢管数尽可能的少，那么剩余的钢管有 （ ）A.20根B.19根C.10根D.9根【解析】令1+2+200，则200,(+1)400,19,当=19时(+1)=380,=190,故选C.【答案】C2. 四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位子上如图,第一次前后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,这样交替进行下去,那么第2 012次互换座位后,小兔的座位对应的是( )A.编号1 B.编号2 C.编号3 D.编号4【解析】小兔原来的位置编号为=3,每次变换后小兔座位的位置编号为,由题图可得=1,=2,=4,依次类推得=3,=1,=2该数列的项周期性出现,周期为4,即+4=,故=3.故选C.【答案】 C3.农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.xx年，某发达地区农民人均收入为31 500元（其中工资性收入为18 000元，其他收入为13 500元），预计该地区自xx年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加1 600元.根据以上数据，xx年该地区农民人均收入介于多少之间 （）A.42 000元44 000元B.44 000元46 000元C.46 000元48 000元D.48 000元50 000元【解析】设工资收入构成数列，其他收入构成数列，则=18 000(1+6%)n,=13 500+1 600n,+=18 000(1+6%)5+13 500+51 600=45 588,故正确的选项为B.【答案】B4.2011年，我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域(,)| 0,0内植树，第一棵树在点 (0,1)，第二棵树在点(1,1)，第三棵树在点(1,0)，第四棵在树在点 (2,0)，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2011棵树所在的点的坐标是( )A.(13,44) B.(12,44) C.(13,43) D.(14,43)【解析】设为第一个正方形，种植3棵树，依次下去，第二个正方形种植5棵树，第三个正方形种植7棵树，前43个正方形共有棵树，2 0111 93576,764432,453213，因此第2011棵树在(13,44)点处.【答案】 A5.(xx江西宜春模拟)如图所示，当n2时，将若干点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n个点，若第n个图案中总的点数记为an，则a1a2a3a10( )A.126 B.135C.136 D.140【解析】由已知图形可知，当n2时，an3(n1)，a1a2a3a10136271136. 【答案】C6.（2011黄冈等八市联考）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B曼德尔布罗特（Benoit B.Mandelbrot）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照的分形规律生长成一个树形图，则第10行的空心圆点的个数是 （）A.13B.21C.34D.55【解析】由生成规律，当3时满足=+，由=1，知由此开始得到一个斐波拉契数列，=21,故选B.【答案】B二、填空题7.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.则第n年初M的价值an.【解析】当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，an12010(n1)13010n；当n7时，数列an是以a6为首项，为公比的等比数列，又a670，所以an70n6.【答案】an 13010n，n6， 70n6，n78.自然数按下表的规律排列，则上起第2 014行，左起第2 013列的数为 .【解析】 观察规律，当n为奇数时，第n行的第一个数是n2，而当n为偶数时，第n行的第一个数是(n1)2+1，第2 014行的第一列的一个数是2 0132+1，故第2 013列的一个数是2 0132+2 013=2 0142 013=4 054 182.【答案】 4 054 1829.设平面内有n条直线（n3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一个点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)= ；当n4时，f(n)= . 【解析】 由图可得f(4)=5,由f(3)=2, f(4)=5, f(5)=9, f(6)=14,可推得n每增加1，则交点增加（n-1)个，f(n)=2+3+4+(n-1)=(n +1)( n-2).【答案】 5, (n+1)(n-2)10.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是 ，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为_.【解析】 从第一道弧开始，半径依次为1,2,3,4，并且从第二道弧开始，每一道弧的半径比前一道弧的半径大1，所以第8道弧的半径为8.弧长依次为,，所以弧长之和为(123n).【答案】 8 三、解答题11.一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列ak（k=1,2,3, n）.试求：（1）a1, a2, a3;（2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋多少个？（3）当k为何值时，ak的值最大？求出ak的最大值.【解析】（1）由题意得a1=n-1, a2=(n-1)(n-2)-1=2n-4,a3=(n-1)+(n-2)+(n-3)-1-2=3 n-9.（2）a1= n-1，考察相邻两站ak、ak-1之间的关系，由题意知ak = ak-1 (k-1）+（n-k），ak-ak-1 =( n +1)-2k (n2).依次让k取2,3,4，k，得k-1个等式将这k-1个等式相加，得ak= nk-k2(n, kN*,1kn).(3) ak =,当n为偶数时，取k=, ak取最大值；当n为奇数时，取k =或，ak取最大值.12.为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，武汉市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车.每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆.(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值.【解析】(1)设an、bn分别为第n年投入的 电力型公交车、混合动力型公交车的数量，依题意知，数列an是首项为128，公比为150%的等比数列；数列bn是首项为400，公差为a的等差数列.所以数列an的前n项和Sn256n1，数列bn的前n项和Tn400na.所以经过n年，该市更换的公交车总数S(n)SnTn256n1400na.(2)若用7年的时间完成全部更换，则S(7)10 000，即256714007a10 000，即21a3 082， 所以a.又aN*，所以a的最小值为147.13.甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n2n2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多n1a万元.(1) 设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an、bn, 求an、bn的表达式；(2) 若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？【解析】(1) 假设甲超市前n年总销售额为Sn，则Sn(n2n2)(n2)，因为n1时，a1a，则n2时，anSnSn1(n2n2)(n1)2(n1)2a(n1)，故an a，n1， （n1）a，n2.又b1a，n2时，bnbn1n1a，故bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)aa2an1a12n1a32n1a，显然n1也适合，故bn32n1a(nN*).(2)当n2时，a2a，b2a，有a2b2；n3时，a32a，b3a，有a3b3；当n4时，an3a，而bnbn，则(n1)a32n1an164n1，即n74n1.又当n7时，04n174n1.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购.