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集合的包含关系,子集与真子集,（1）子集：一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作AB或BA,读作“A含于B”或“B包含A”.,（2）真子集：如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”.,（3）子集和真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集,而集合A的子集不一定是其真子集.若集合A有n个元素,则其子集个数为2n,真子集个数为2n-1.,例1.写出集合1,3,5的所有子集.,解：集合1,3,5的子集有,1,3,5,1,3,1,5,3,5,1,3,5.,注意：切勿忘记空集和集合本身这两个特殊的子集.解完以后验证个数，含有3个元素的集合的子集个数为23=8.,变式：集合A=x|0x3,xN的真子集的个数为（）A.16B.8C.7D.4,C,例2.集合A=x|-1x3,B=x|xa,若AB,则实数a的取值范围.,解析：因为AB，所以集合A中所有元素均属于集合B，利用数轴可知a3.,a3,例3.集合A=0,1,B=x|xA,则下列关于集合A与B的关系说法正确的是（）A.ABB.ABC.BAD.AB,解析：因为xA,所以B=,0,1,0,1,则集合A=0,1是集合B中的元素,所以AB,故选D.,注意：本题比较特殊,集合B中的元素为集合,当集合A是集合B中的元素时,A与B是从属关系,而A中元素是数，因而A与B非包含关系.本题易错选B.,D,A.6个B.7个C.8个D.15个,例4.满足7M1,3,5,7的集合M共有（）,解：集合1,3,5的真子集有23-1=7个.分别为：,1,3,5,1,3,1,5,3,5.,B,集合M为1,3,5的真子集与7取并集,即在1,3,5的真子集中加入元素7.因此个数与1,3,5的真子集个数相同.分别是：7,1,7,3,7,5,7,1,3,7,1,5,7,3,5,7.,注意：集合M为1,3,5的真子集，同时一定含有元素7.这类问题我们可以：7M1,3,5,7，即M1,3,5,即M1,3,5.不影响计算M的个数.,例5.集合A=x|-1-1D.a-1,解：因为AB，所以集合A中至少有一个元素不在B中，利用数轴可知a3.,A,例6.若集合A=-3,2,B=x|mx=12,且,则m的值为.,注意“两个集合具有包含关系”在试题中常采用以下等价说法：,解：,.A=-3,2,而集合B至多含有一个元素,B=,或B=-3或B=2.当m=0时,B=x|0x=12=,符合题意；当m0时,由mx=12得,从而.解得m=-4或m=6.综上所述,m的值为0或-4或6.,0或-4或6,（1）解决集合与集合之间的关系问题,常用的方法有：特征分析法、元素分析法、图示法等，其中图示法就是利用Venn图或数轴或平面图形把两个集合表示出来,再判断它们之间的关系.一般地,元素分析法和图示法能使集合具体化、形象化,从而降低思维难度,简化解题过程.,（2）集合之间的关系与运算技巧：,（3）空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,若忽视这一点,则会导致漏解,从而产生错误的结论,要多加注意.,在解题中要注意上述关系的应用；,
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