2019-2020年高三上学期第一次五校联考数学理试题 含解析.doc

2019-2020年高三上学期第一次五校联考数学理试题 含解析【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。但是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。试题起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）A B C D【知识点】复数.L4【答案解析】D 解析： 解：由题可知，所以D正确.【思路点拨】根据复数的概念与运算法则可求出结果.2. 设集合，则（ ）A B C D【知识点】集合.A1【答案解析】C 解析：解：由题意可求出集合，所以正确选项为C. 【思路点拨】根据集合的概念先求出集合A,B.再求它们的交集.3. 函数的零点所在的区间为（ ）A B C D【知识点】函数的性质.B10【答案解析】C解析：解：因为，函数为连续函数，所以函数的零点在之间. 【思路点拨】可过特殊值验证函数值的正负来判定零点的区间.4. 已知m，n，则 “a2”是“mn”的（ ）A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【知识点】向量，充要条件.A2,G9【答案解析】B 解析： 解：由共线的条件可知，所以“a2”是“mn”的充分而不必要条件，所以B正确.【思路点拨】根据向量共线的条件求出a的值，然后再根据题意判定逻辑关系.5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A B C D 【知识点】三视图.G2【答案解析】A 解析：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为： 故选：A 【思路点拨】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状6. 在爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：食物投掷地点有远、近两处； 由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。则不同的搜寻方案有（ ） A40种 B70种 C80种 D100种【知识点】排列组合.J2【答案解析】A解析：解：Grace不参与该项任务，则有Grace参与该项任务，则有,故共有30+10=40种故选：A【思路点拨】由题意可把问题分为两类，最后求和.7. 已知数列的首项为，且满足对任意的，都有，成立，则（ ）A B C D【知识点】数列的通项.D1,D4【答案解析】A 解析：解：由故选：A 【思路点拨】由题意可利用逐差法求出数列的通项公式，然后再代入求值.8. 已知函数，当时，恒有 成立，则实数的取值范围（ ）A B C D【知识点】函数的性质；特殊函数.B1【答案解析】D 解析：解：由题可知函数是定义域上的奇函数，且它的导数为，所以函数为减函数，根据题意可知，所以只需2m大于它的最大值，依据函数性质可知，所以D正确. 【思路点拨】根据函数性质可知函数为奇函数且在定义域内的减函数，再由角的取值范围可转化为恒成立的问题.二、填空题（本大题共7小题，其中第9第13题为必做题，第14第15题为选做题，考生从中任选一题作答，两题均选按第14题给分，每小题5分，总分30分）（第9题图）开始结束n=1，S=1S=S+n=n + 1 输出S否是nM9. 右图是一个算法的程序框图，若输出的结果是31，则判断框中的正整数的值是_【知识点】程序框图；算法.L1【答案解析】4 解析： 解：根据程序框图，有S=1第1次循环时：n=1，S=3第2次循环时：n=2，S=7第3次循环时：n=3，S=15第4次循环时：n=4，S=31第5次循环时：n=5，此时5M不成立，输出S的值为31故判断框中的正整数M的值是：4即答案为：4【思路点拨】根据题目中所给的算法可按要求依次执行循环求出结果.10. 若二项式的展开式中的第5项是常数项， 则n=_【知识点】二项式定理.J3【答案解析】6解析：解：由二项式定理可知二项式的展开式中的第5项是【思路点拨】根据二项式定理可直接利用特定项的求法求出常数项.11. 若实数满足约束条件，则目标函数的最大值为_【知识点】线性规划.E5【答案解析】8 解析：解：根据题意可知函数在点最得最大值，代入可得 【思路点拨】根据线性规划可求出目标函数的最大值.12. 已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是_若m，n，m、n，则 .若，m，n，则mn .若m，mn，则n .若n，n，m，那么mn .【知识点】直线与平面的位置关系.G3【答案解析】解析：解：在选项中，只有两条相交直线都平行于另一个平面才能有两平面相互平行，所以不正确； 在中，直线n有可能在平面，这时，不是平行，所以不正确，所以只有正确.【思路点拨】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系可直接判定.13. 若不等式的解集是区间的子集，则实数的范围为_ 【知识点】函数的性质.E8【答案解析】 解析：解：不等式x2|x-1|+a等价为x2-|x-1|-a0，设f（x）=x2-|x-1|-a，若不等式x2|x-1|+a的解集是区间（-3，3）的子集，则故答案为：（-，5 【思路点拨】将不等式转化为函数，利用函数根与不等式解之间的关系即可得到结论14.（参数方程与极坐标）已知在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数且），在以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线的极坐标方程为，则曲线与交点的直角坐标为_【知识点】参数方程；极坐标.N3【答案解析】 解析：解：由曲线的参数方程可得，由曲线的极坐标方程为，可得，联立【思路点拨】由参数方程可求出普通方程，最后按题意求解.15.（几何证明选讲）如图，切圆于点,交圆于两点，且与直径交于点，若，则_ （第15题图）【知识点】直线与圆.H4【答案解析】15解析：解：根据相交弦定理得DTCD=ADBD，DT=9设PB=x根据切割线定理和勾股定理得：PT2=PD2-DT2=PBPA，即（x+6）2-81=x（x+9），解得x=15，即PB=15 【思路点拨】根据相交弦定理求DT；根据切割线定理和勾股定理列方程求解三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答过程须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分12分）已知的最小正周期为.（1）求的值；（2）在中，角所对应的边分别为，若有，则求角的大小以及的取值范围.【知识点】三角函数的性质；解三角形.C3.C8【答案解析】D 解析：解：（1） 的最小正周期为 ， （2） 由正弦定理可得： 7分 8分 9分 【思路点拨】由已知函数代入求出函数值，再根据两角和与差的展开式求出角A的取值范围，再计算函数值.17. （本小题满分12分）已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个. 现从中随机取球，每次只取一球.（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望【知识点】概率；随机变量的公布列与期望.K1,K6【答案解析】D 解析：解：（1）记事件表示“第i次取到白球”（），事件表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：. 2分 4分 5分或者：记随机变量表示连续取球四次，取得白球的次数. 易知 2分则5分（2）易知：随机变量X的取值分别为2，3，4，5 6分， ， 10分随机变量X的分布列为：X2345P 11分随机变量X的期望为： 【思路点拨】根据重复独立事件有一个发生的概率求出事件的概率，再分别求出变量各取值的概率，列出分布列求出数学期望.18. （本小题满分14分）如图，三棱柱侧棱与底面垂直，且所有棱长都为4，D为CC1中点（1）求证：；（2）求二面角的余弦值【知识点】直线与平面垂直；二面角. G10【答案解析】D 解析：解法一：（向量法）（1）取中点，连结取中点， 故：以为原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 2分则： 3分 4分， 6分 平面 7分（2）设平面的法向量为 令得为平面的一个法向量 10分由（1）可知：为平面的法向量 11分 13分二面角是锐角 二面角的余弦值为为14分【思路点拨】由已知建立空间坐标系，利用向量证明直线与平面垂直；再通过平面的法向量求出二面角的余弦值.19. （本小题满分14分）已知数列满足，是数列的前n项和，且有.（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，记数列的前n项和，求证：.【知识点】等差数列的概念；通项公式；特殊数列求和.D1,D2,D4【答案解析】D 解析：（1）证明： 1分 即： 3分数列是以为首项， 1为公差的等差数列. 4分（2）解：当时， 5分， 即： 6分 8分当时， 9分（3）由（1）知： 10分 12分.14分【思路点拨】(1)根据定义证明数列是等差数列；（2）利用条件求出数列通项公式；（3）利用特殊数列求和的方法求出数列的和，判断证明.20. （本小题满分14分）已知双曲线， 分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为. 设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【知识点】双曲线；直线与双曲线.H6,H8【答案解析】D 解析：解：（1）由题可知： 双曲线C的方程为 （2）设直线的方程为：，另设： 4分 5分又直线AP的方程为，代入 6分同理，直线AQ的方程为，代入 7分 9分（3）当直线的方程为时，解得. 易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：. 10分下证：对直线存在斜率的情形也成立. 11分 12分 13分结合正切函数在上的图像可知， 【思路点拨】根据已知条件求出双曲线方程，再设出直线方程与双曲线方程联立，证明垂直关系，再根据题意求出角之间的关系.21. （本小题满分14分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，设，是函数图像上的任意两点（），记直线AB的斜率为，求证：.【知识点】导数与函数的单调性;导数证明不等式.B3,B12.【答案解析】D 解析：（1）解： 1分（i）当时， 恒成立，即恒成立，故函数的单增区间为，无单减区间. 2分（ii）当时，解得：，函数的单增区间为，单减区间为. 4分（iii）当时，由解得：.，而此时，函数的单增区间为，单减区间为. 6分综上所述：（i）当时，的单增区间为，无单减区间.（ii）当时，的单增区间为，单减区间为.（iii）当时，的单增区间为，单减区间为. 7分（2）证明： 由题，则： 9分注意到，故欲证，只须证明：. 10分因为，故即证： 11分令， 12分则： 故在上单调递增. 所以： 13分即：，即：所以：. 14分【思路点拨】首先利用导数研究函数的单调性，根据函数的性质证明不等关系，构造出适合的函数并用函数性质进行求解是关键.