2019-2020年高二12月学科竞赛数学（理）试题 含答案.doc

衡阳县一中xx年下学期高二学科竞赛数学试题分值：150分 时量：120分钟 2019-2020年高二12月学科竞赛数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，则等于（ b ）A12 B21 C15 D182.已知公比为2的等比数列的前项和为，则等于（ a ）A B C D 3.已知命题若，则，则下列叙述正确的是（ D ）A命题的逆命题是：若，则B命题的否命题是：若，则C命题的否命题是：若，则D命题的逆否命题是真命题4.若实数满足约束条件，则的最小值为（ a ）A 0 B C. D-15.若的内角所对的边分别是，已知，且，则等于（ C ）A B C D46M是抛物线上一点，且在轴上方，F是抛物线的焦点，以轴的正半轴为始边，FM为终边构成的角为60则 （ c ）A2 B3 C4 D67.已知点F1,F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,A,B是以坐标原点O(0,0)为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且F2AB是正三角形,则此椭圆的离心率为(d)A.B.C.-1D.-18.已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，同下列数中是数列中的项是（ b ）A16 B64 C32 D1289.在中，内角的对边分别是，若，且的面积为，则等于（ D ）A B C D10.已知，且，则的最小值为（ a ）A8 B6 C5 D411.已知正项数列的前项和为，当时，且，设，则等于（ c ）A64 B72 C80 D9012.若双曲线-=1(a0,b0)上不存在点P使得右焦点F关于直线OP(O为双曲线的中心)的对称点在y轴上,则该双曲线离心率的取值范围为(c)A.(,+) B.,+)C.(1,D.(1,)第卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在数列中，且数列是等差数列，则_ _14.在中，角的对边分别为，则的最大值为_2_15.椭圆+=1(ab0)的离心率为,若直线y=kx与椭圆的一个交点的横坐标为b,则k= .16.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a0,且a1)在R上单调递增,且2a+b4,则的取值范围为,2)由2x+b-1在R上单调递增,f(x)=loga(2x+b-1)在R上单调递增,得a1.由2x+b-10,得b-10,即b1,所以画出可行域,如图,由=,得的取值范围可转化为(a,b),(0,0)两点所在直线的斜率范围,由图可知kOB最大,kOA最小,由得B(1,2),所以kOB=2,由得A(,1),所以kOA=,结合图形得,2).三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）设条件；条件，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：设，则，4分又当或时，故实数的取值范围为10分18.（本小题满分12分）已知向量=(cosx,-1),向量=(sinx,),函数f(x)=(+)(1)求f(x)的最小正周期T.(2)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=1,c=,且f(A)恰是f(x)在0,上的最大值,求A和b的大小.【解析】(1)f(x)=(m+n)m=cos2x+sinxcosx+=+sin2x+=cos2x+sin2x+2=sin(2x+)+2.因为=2,所以T=.(2)由(1)知:f(A)=sin(2A+)+2,当A0,时,2A+,由正弦函数图象可知,当2A+=时f(A)取得最大值3,所以2A+=,A=.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,所以1=b2+3-2bcos.解得b=1或b=2.19.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设等差数列的前项和为，求的值解：（1） ，当时， ，1分得，则，3分又，4分数列是首项为1，公比为4的等比数列，则6分（2）由（1）得7分则，得，8分设数列的公差为，则，9分，10分，11分12分20.（本小题满分12分）设内角所对的边分别为，且（1）若，求的面积；（2）若，且边的中点为，求的长.解：，1分则，又，3分，即，5分（1），的面积7分（2），8分即，解得或（舍去），10分，得12分21.（本小题满分12分）已知数列中，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若存在，使关于的不等式成立，求常数的最小值.解：（1），1分两式相减得，2分数列从第二项起，是以2为首项，3为公比的等比数列，故4分（2）由（1）可知当时，当时，两式相减得6分又也满足上式，8分（3）等价于，由（1）可知当时，9分设，则，又及，12分22.(12分)(xx滨州模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的右焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l与椭圆C相交于A,B两点,且以AB为直径的圆经过原点O,求证:点O到直线AB的距离为定值.(3)在(2)的条件下,求OAB面积的最大值.【解析】(1)因为椭圆的右焦点为(,0),离心率为,所以所以a=,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,代入椭圆方程,消元可得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-,x1x2=.因为以AB为直径的圆D经过坐标原点,所以=0,所以x1x2+y1y2=0,所以(1+k2)-km+m2=0,所以4m2=3(k2+1),所以原点O到直线的距离为d=.当直线AB斜率不存在时,由椭圆的对称性可知x1=x2,y1=-y2,因为以AB为直径的圆D经过坐标原点,所以=0,所以x1x2+y1y2=0,所以-=0.因为+3=3,所以|x1|=|y1|=,所以原点O到直线的距离为d=|x1|=,综上,点O到直线AB的距离为定值.(3)直线AB斜率存在时,由弦长公式可得|AB|=|x1-x2|=2,当且仅当k=时,等号成立,所以|AB|2,直线AB斜率不存在时, |AB|=|y1-y2|=2,所以OAB面积=|AB|d2=,所以OAB面积的最大值为.