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3 双曲线 31 双曲线及其标准方程,第二章 圆锥曲线与方程,学习导航,第二章 圆锥曲线与方程,1.双曲线的定义 平面内到两定点F1，F2的距离_ _的点的集合叫作双曲线. 定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距,之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|),注意：(1)在此定义中“常数要大于0且小于|F1F2|”这一限制条件十分重要，不可去掉 (2)如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时动点轨迹是以F1、 F2为端点的两条射线(包括端点) (3)如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在 (4)如果定义中常数改为等于0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线 (5)如果定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，点的轨迹成为双曲线的一支 (6)定义中“平面内”这一前提条件也不能去掉，否则就成了空间曲线,2双曲线的标准方程,(c，0),(c，0)(c0),(0，c),(0，c)(c0),a2b2,3.椭圆与双曲线的比较 (1)区别,P|PF1|PF2| 2a,P|PF1|PF2| 2a,a2b2c2,c2a2b2,封闭的连续曲线,分两支，不封闭， 不连续,2已知F1(8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|PF2|10,则P点的轨迹是( ) A双曲线 B双曲线的一支 C直线 D一条射线 解析：|F1F2|10，表示以F2为端点的一条射线,D,D,16,解析：焦点在x轴上，c5，259m，m16.,求双曲线的标准方程,双曲线的定义及应用,2.(1)在本例(1)中，条件改为“若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离为8”如何求解？ (2)在本例(2)中，条件改为“若P是双曲线上一点，且F1PF260”，如何求解？,与双曲线有关的轨迹问题,方法归纳 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种:(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，若符合双 曲线的定义，从而得出对应的方程 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.,3. 如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程,某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|100 m，|BP|150 m，APB60，试说明怎样运土才能最省工 (链接教材第二章3.1例2),双曲线的实际应用,解 如图，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则|MA|PA|MB|PB|，于是有|MA|MB|PB|PA|15010050, 这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支,方法归纳 (1)实际问题常需根据图形特征建立适当的坐标系 (2)实际问题求得的方程注意考虑实际意义，常需对方程加上限制条件,4在相距1 400 m的A、B两个观察哨所测得炮弹爆炸声的时差为3 s，已知当时声音的速度为340 m/s，求炮弹爆炸点所在曲线的方程,m|33,A,解 双曲线中，a4. 由双曲线的定义得|PF1|PF2|8， 所以|9|PF2|8. 所以|PF2|1或17. 因为|F1F2|12，当|PF2|1时， |PF1|PF2|10|F1F2|， 不符合公理“两点之间线段最短”,应舍去,故|PF2|17.,错因与防范 (1)本例易不加检验而增解 (2)双曲线上任一点到焦点之距的范围是ca，)， 求双曲线上的点到焦点的距离应检验是否在上述范围内,
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