2019-2020年高二上学期第四次月考数学试卷（探究部）含解析.doc

2019-2020年高二上学期第四次月考数学试卷（探究部）含解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设aR，则a1是1的（）A必要但不充分条件B充分但不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件2等差数列an中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则其前13项和为（）A13B26C52D1563对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（）A开口向上，焦点为（0，1）B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为（1，0）D开口向右，焦点为4若ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（）ABCD5若不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A（2，2B2，2C（2，+）D（，26已知双曲线C：（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=xDy=7下列函数中，最小值为4的函数是（）Ay=x+By=sinx+（0x）Cy=ex+4exDy=log3x+4logx38数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n1），则a6=（）A344B344+1C44D44+19有下列四个命题：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）ABCD10若点O和点F（2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）ABCD11若A（3，），B（4，），则|AB|=_（注A、B两点坐标为极坐标）（）A4B5C4D212设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为12，则的最小值为（）ABCD4二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦，若|AB|=4，则AB的中点的纵坐标为14设数列an的前n项和为Sn，令Tn=，称Tn为数列a1，a2，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a100的“理想数”为101，那么数列2，a1，a2，a100的“理想数”为15某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是16设x，y，zR，且满足x2+y2+z2=5，则x+2y+3z之最大值为三、解答题（本大题共6个小题，满分70分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立；Q：a2+8a200如果PQ为真命题，PQ为假命题，求实数a的取值范围18等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和19在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC（）求证：a，b，c成等比数列；（）若a=1，c=2，求ABC的面积S20如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米（）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值21已知直线l经过点P（1，1），倾斜角=，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积22已知椭圆C： +=1（ab0）的长轴长为4，焦距为2（）求椭圆C的方程；（）过动点M（0，m）（m0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B（）设直线PM，QM的斜率分别为k，k，证明为定值；（）求直线AB的斜率的最小值xx学年山东省菏泽市鄄城一中高二（上）第四次月考数学试卷（探究部）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设aR，则a1是1的（）A必要但不充分条件B充分但不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式；充要条件【分析】根据 由a1，一定能得到1但当1时，不能推出a1 （如 a=1时），从而得到结论【解答】解：由a1，一定能得到1但当1时，不能推出a1 （如 a=1时），故a1是1 的充分不必要条件，故选 B2等差数列an中，2（a1+a4+a7）+3（a9+a11）=24，则其前13项和为（）A13B26C52D156【考点】等差数列的性质【分析】由已知，根据通项公式，能求出a7=2，S13运用求和公式能得出S13=13a7，问题解决【解答】解：2（a1+a1+3d+a1+6d）+3（a1+8d+a1+10d）=2（3a1+9d）+3（2a1+18d）=12a1+72d=24，a1+6d=2，即a7=2S13=213=26故选B3对抛物线y=4x2，下列描述正确的是（）A开口向上，焦点为（0，1）B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为（1，0）D开口向右，焦点为【考点】抛物线的简单性质【分析】根据二次函数的性质进行判断【解答】解：a=40，图象开口向上，焦点为故选B4若ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（）ABCD【考点】余弦定理【分析】通过正弦定理求出，a：b：c=2：3：4，设出a，b，c，利用余弦定理直接求出cosC即可【解答】解：因为sinA：sinB：sinC=2：3：4所以a：b：c=2：3：4，设a=2k，b=3k，c=4k由余弦定理可知：cosC=故选A5若不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A（2，2B2，2C（2，+）D（，2【考点】函数最值的应用【分析】分类讨论，结合不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x均成立，利用函数的图象，建立不等式，即可求出实数a的取值范围【解答】解：a=2时，不等式可化为40对任意实数x均成立；a2时，不等式（a2）x2+2（a2）x40对任意实数x均成立，等价于，2a2综上知，实数a的取值范围是（2，2故选A6已知双曲线C：（a0，b0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=xDy=【考点】双曲线的简单性质【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=x，代入可得答案【解答】解：由双曲线C：（a0，b0），则离心率e=，即4b2=a2，故渐近线方程为y=x=x，故选：D7下列函数中，最小值为4的函数是（）Ay=x+By=sinx+（0x）Cy=ex+4exDy=log3x+4logx3【考点】基本不等式【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论【解答】解：Ax0时，y0，不成立；B令sinx=t（0，1），则y=t+，y=10，因此函数单调递减，y5，不成立Cy=4，当且仅当x=0时取等号，成立Dx（0，1）时，log3x，logx30，不成立故选：C8数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n1），则a6=（）A344B344+1C44D44+1【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和【分析】根据已知的an+1=3Sn，当n大于等于2时得到an=3Sn1，两者相减，根据SnSn1=an，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，an+1=3Sn，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值【解答】解：由an+1=3Sn，得到an=3Sn1（n2），两式相减得：an+1an=3（SnSn1）=3an，则an+1=4an（n2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以an=a2qn2=34n2（n2）则a6=344故选A9有下列四个命题：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）ABCD【考点】命题的真假判断与应用【分析】写出“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题判断真假；写出“全等三角形的面积相等”的否命题判断真假；通过若q1，则方程x2+2x+q=0有实根，根据二次方程根的存在性，即可得到其真假，然后利用互为逆否命题的两个命题即可判定该命题的正误利用原命题与逆否命题同真同假判断即可【解答】解：对于，“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是：若x，y互为相反数，则x+y=0它是真命题对于，“全等三角形的面积相等”的否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等它是假命题对于，若q1，则=44q0，故命题若q1，则方程x2+2x+q=0有实根是真命题；它的逆否命题的真假与该命题的真假相同，故（3）是真命题对于，原命题为假，故逆否命题也为假故选：B10若点O和点F（2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得【解答】解：因为F（2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有，解得，因为，所以=x0（x0+2）+=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值=，故的取值范围是，故选B11若A（3，），B（4，），则|AB|=_（注A、B两点坐标为极坐标）（）A4B5C4D2【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】求出A，B的直角坐标，利用两点间的距离公式，可得结论【解答】解：A（3，），B（4，），直角坐标方程为A（，），B（2，2），|AB|=5，故选B12设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为12，则的最小值为（）ABCD4【考点】基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划的应用；基本不等式【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线xy+2=0与直线3xy6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，4a+6b=12，即2a+3b=6，=（）=（12+）4当且仅当时，的最小值为4故选D二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦，若|AB|=4，则AB的中点的纵坐标为【考点】抛物线的简单性质【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的长为4，|AB|=y1+y2+p，知y1+y2=，可得A、B中点的纵坐标【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=4，|AB|=y1+y2+=4，y1+y2=，A、B中点的纵坐标为故答案为14设数列an的前n项和为Sn，令Tn=，称Tn为数列a1，a2，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a100的“理想数”为101，那么数列2，a1，a2，a100的“理想数”为102【考点】数列的求和【分析】据“理想数”的定义，列出a1，a2，a100的“理想数”满足的等式及2，a1，a2，a100的“理想数”的式子，两个式子结合求出数列2，a1，a2，a100的“理想数”【解答】解：为数列a1，a2，an的“理想数”，a1，a2，a100的“理想数”为101又数列2，a1，a2，a100的“理想数”为：=故答案为10215某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是15km【考点】正弦定理【分析】根据题意画出图形，如图所示，求出CAB与ACB的度数，在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，将各自的值代入即可求出BC的长【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，可得DAB=60，DAC=30，AB=45km，CAB=30，ACB=120，在ABC中，利用正弦定理得： =，即=，BC=15（km），则这时船与灯塔的距离是15km故答案为：15km16设x，y，zR，且满足x2+y2+z2=5，则x+2y+3z之最大值为【考点】二维形式的柯西不等式【分析】由条件利用柯西不等式可得 14（x2+y2+z2）（x+2y+3z）2，由此求得x+2y+3z之最大值【解答】解：x2+y2+z2=5，12+22+32=14，利用柯西不等式可得 14（x2+y2+z2）（x+2y+3z）2，即145）（x+2y+3z）2，x+2y+3z，当且仅当=时，取等号，故x+2y+3z之最大值为，故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，满分70分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立；Q：a2+8a200如果PQ为真命题，PQ为假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】由ax2+ax+10恒成立可得，可求P的范围；由a2+8a200解不等式可求Q的范围，然后由PQ为真命题，PQ为假命题，可知P，Q为一真一假，可求【解答】（本小题满分12分）解：命题P：ax2+ax+10恒成立当a=0时，不等式恒成立，满足题意当a0时，解得0a40a4命题Q：a2+8a200解得10a2PQ为真命题，PQ为假命题P，Q有且只有一个为真，如图可得10a0或2a418等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和【考点】等比数列的通项公式；数列的求和【分析】（）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（）把（）求出数列an的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列的前n项和【解答】解：（）设数列an的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=由条件可知各项均为正数，故q=由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=故数列an的通项式为an=（）bn=+=（1+2+n）=，故=2（）则+=2（1）+（）+（）=，所以数列的前n项和为19在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC（）求证：a，b，c成等比数列；（）若a=1，c=2，求ABC的面积S【考点】等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形【分析】（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证（II）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S=可求【解答】（I）证明：sinB（tanA+tanC）=tanAtanCsinB（）=sinB=sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsincsinBsin（A+C）=sinAsinC，A+B+C=sin（A+C）=sinB即sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，所以a，b，c成等比数列（II）若a=1，c=2，则b2=ac=2，0BsinB=ABC的面积20如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米（）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用【分析】（）设DN的长为x（x0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论【解答】解：（）设DN的长为x（x0）米，则|AN|=（x+2）米，由SAMPN32得又x0得3x220x+120解得：0x或x6即DN的长取值范围是（）矩形花坛的面积为当且仅当3x=，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米21已知直线l经过点P（1，1），倾斜角=，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积【考点】直线的参数方程；直线与圆的位置关系；圆的参数方程【分析】（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程；（2）由题意将直线代入x2+y2=4，从而求解【解答】解：（1）直线的参数方程为，即（2）把直线代入x2+y2=4，得，t1t2=2，则点P到A，B两点的距离之积为222已知椭圆C： +=1（ab0）的长轴长为4，焦距为2（）求椭圆C的方程；（）过动点M（0，m）（m0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B（）设直线PM，QM的斜率分别为k，k，证明为定值；（）求直线AB的斜率的最小值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程；（）（）设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果（）求出直线PM，QM的方程，然后求解B，A坐标，利用AB的斜率求解最小值【解答】解：（）椭圆C： +=1（ab0）的长轴长为4，焦距为2可得a=2，c=，b=，可得椭圆C的方程：；（）过动点M（0，m）（m0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（t，0）t0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，2m），（）证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k，k=，k=，=3为定值；（）由题意可得，m2=4t2，QM的方程为：y=3kx+m，PN的方程为：y=kx+m，联立，可得：x2+2（kx+m）2=4，即：（1+2k2）x2+4mkx+2m24=0可得xA=，yA=+m，同理解得xB=，yB=，xAxB=k=，yAyB=k+m（）=，kAB=，由m0，x00，可知k0，所以6k+，当且仅当k=时取等号此时，即m=，符合题意所以，直线AB的斜率的最小值为：xx年2月8日