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2019-2020年高三第三次自主命题数学（理）试题 含答案 数学（理）试题高三数学组 孙玲 李新宁 姓名 班级 考号 说明：测试时间：120分钟 总分：150分一选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.函数的定义域为（ ）A B C D2. 设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则实数的值为（ ）A.4 B.1 C.4 D.13.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，每隔500元一段要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2500，3000）（元）月收入段应抽出的人数为（ ） 0.00010.00020.00030.00040.00051000 1500 xx 2500 3000 3500 4000月收入(元)频率/组距A20 B25 C35 D454. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：,.）A. B. C. D.图15.函数的图象大致为（ ） 6某器物的三视图如图1所示，根据图中数据可知该器物的表面积为（ ） A B C D7过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则=（ ）A 2 B 8 C4 D 108. 已知数列an的前n项和为Sn ，点(n，Sn)在函数f(x)=的图象上，则数列an的通项公式为（ ）A B C D9函数（为常数，且）图象的一个对称中心的坐标为（ ）A B（0,0） C D 10点、在半径为的同一球面上，点到平面的距离为，则点与中心的距离为（ ）A B C D11.已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，则的取值范围是（ ） A.（0，2） B.（1，3） C. D. 12过点的直线与双曲线的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线的右支上的点到直线的距离恒大于，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13. 抛物线的准线方程是 .14. .15. 从2名语文老师、2名数学老师、4名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文老师、数学老师、英语老师都至少有一人的选派方法种树为 .（用数字作答）16. 公元年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限 增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为 . （参考数据：,，）三、解答题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17.（本小题满分12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列， （1）若a=1，b=，求sinC； （2）若a，b，c成等差数列，试判断ABC的形状18.（本小题满分12分）有5名学生的数学和化学成绩如下表所示：学生学科ABCDE数学成绩(x)8876736663化学成绩(y)7865716461 (1)如果与具有相关关系，求线性回归方程; (2)预测如果某学生数学成绩为79分，他的化学成绩为多少？19.（本小题满分12分）如图，在直棱柱（1）证明：；（2）求直线所成角的正弦值。20.（本小题满分12分）已知椭圆C： 的右焦点为F（1,0），经过F与B（0，b）的直线与圆 相切.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线交椭圆于M，N两点，求证： 为定值。21.（本小题满分12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）若，求证：函数只有一个零点，且；请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图6，圆O的直径，P是AB延长线上一点，BP=2 ,割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F. (1) 当时，求的度数； (2) 求的值.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知参数方程为（为参数）的直线经过椭圆的左焦点，且交轴正半轴于点，与椭圆交于两点、（点位于点C上方）.（1）求点对应的参数（用表示）；（2）若，求直线的倾斜角的值（24） （本小题满分10分）选修45：不等式选讲 已知函数 （1）解不等式； （2）若，且，求证：华清中学第三次自主命题参考答案一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号123456789101112答案BCBBADCDBBBA 二、13、 14、 15、 44 16、243、 解答题17.解：（1）由A+B+C=，2B=A+C，得B=由，得，得sinA=，又0AB，A=，则C=sinC=1；（2）证明：由2b=a+c，得4b2=a2+2ac+c2，又b2=a2+c2ac，得4a2+4c24ac=a2+2ac+c2，得3（ac）2=0，a=c，A=C，又A+C=，A=C=B=，ABC是等边三角形18.19.() （）20.（1）（2）21.（）解：的定义域为. 令，或. 当时，函数与随的变化情况如下表： 所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和当时，. 所以，函数的单调递减区间是当时，函数与随的变化情况如下表： 所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和. （）证明：当时，由（）知，的极小值为，极大值为.因为，且在上是减函数，所以至多有一个零点. 又因为，所以 函数只有一个零点，且.22.解：() 连结BC，AB是圆O的直径 则，-1分又，-2分，；-4分 () 由（）知，D、C、E、F四点共圆，-6分,-7分PC、PA都是圆O的割线，-9分=24. -10分23解：（）在椭圆中，即，-2分故，在直线的参数方程中，令，解得；-4分（）解法1：把代入椭圆方程，并整理得：，-6分设点、对应的参数为、，由结合参数的几何意义得：，即，-8分解得，依题意知，-10分【解法2：设A、B两点的横坐标分别为、，将直线的普通方程代入椭圆方程并整理得：，-6分则，-7分 -8分,解得，依题意知，得. -10分】24. 解（1）不等式的解集是 (2)要证，只需证，只需证而，从而原不等式成立