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机械波,第五章,波动是一切微观粒子的属性， 与微观粒子对应的波称为物质波。,各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有类似的波动方程。,机械振动在介质中的传播称为机械波。 声波、水波,5-1 机械波的产生和传播,一、机械波产生的条件,如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。,弹性力： 有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。,1、有作机械振动的物体，即波源,2、有连续的介质,二、纵波和横波,横波振动方向与传播方向垂直，如电磁波,纵波振动方向与传播方向相同，如声波。,横波在介质中传播时，介质中产生切变，只能在固体中传播。,纵波在介质中传播时，介质中产生容变，能在固体、液体、气体中传播。,结论：机械波向外传播的是波源（及各质点） 的振动状态和能量。,三、波线和波面,波场-波传播到的空间。,波面-波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。,波前（波阵面）-某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。,波线（波射线）-代表波的传播方向的射线。,各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.,沿波线方向各质点的振动相位依次落后。,平面波,球面波,四、简谐波,波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。,任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。,*五、物体的弹性形变,弹性形变：物体在一定限度的外力作用下形状和体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状的形变。,(1)长变,在弹性限度范围内，应力与应变成正比,(2) 切变,相对面发生相对滑移,在弹性限度范围内，应力与应变成正比,(3) 容变,在弹性限度范围内， 压强的改变与容变应变的大小成正比,六、描述波动的几个物理量,振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为波速 ，也称之相速。,1、波速 u,在固体媒质中纵波波速为,G、 E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 为介质的密度,在固体媒质中横波波速为,在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些,T为弦中张力，为弦的线密度,在弦中传播的横波波速为:,在液体和气体只能传播纵波，其波速为：,B为介质的容变弹性模量 为密度,理想气体纵波声速:, 为气体的摩尔热容比，Mmol为气体的摩尔质量， T为热力学温度， R为气体的普适常数， 为气体的密度,3、波长,2、波的周期和频率,波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需 的时间，用T表示。,波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目，用表示。,同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离。,一、平面简谐波的波动方程,平面简谐波 简谐波的波面是平面。(可当作一维简谐波研究）,5-2 平面简谐波的波动方程,一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播， x轴即为某一波线,设原点振动表达式：,y表示该处质点偏离平衡位置的位移 x为p点在x轴的坐标,p点的振动方程：,t 时刻p处质点的振动状态重复,时刻O处质点的振动状态,O点振动状态传到p点需用,沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程,沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动,为p点的振动落后与原点振动的时间,沿x轴负向传播的 平面简谐波的波动方程,若波源（原点）振动初位相不为零,或,波矢，表示在2 长度内所具有的完整波的数目。,二、波动方程的物理意义,1、如果给定x，即x=x0,x0处质点的振动初相为,为x0处质点落后于原点的位相,若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2,是波在空间上的周期性的标志,2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x),表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布，即给定了t0 时刻的波形,同一波线上任意两点的振动位相差,同一质点在相邻两时刻的振动位相差,T是波在时间上的周期性的标志,3.如x,t 均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形,t时刻的波形方程,t+t时刻的波形方程,t时刻,x处的某个振动状态经过t ，传播了x的距离,在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离x,行波,三、平面波的波动微分方程,沿x方向传播的平面 波动微分方程,求t 的二阶导数,求x的二阶导数,一、波的能量和能量密度,波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。,有一平面简谐波,质量为,在x处取一体积元,质点的振动速度,5-3 波的能量 *声强,体积元内媒质质点动能为,体积元内媒质质点的弹性势能为,体积元内媒质质点的总能量为：,1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。,说明,2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。,能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。,平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。,能流:单位时间内通过介质中某一 截面的能量。,二、波的能流和能流密度,平均能流：在一个周期内能流的平均值。,能流密度（波的强度）： 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。,例 试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。,分析平面波和球面波的振幅,证明：,在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等,所以,平面波振幅相等。,对平面波：,所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r 处的振幅为A/r,由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：,对球面波：,三、波的吸收,波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。,波通过厚度为dx的介质，其振幅衰减量为-dA,波强的衰减规律：,*四、声压、声强和声强级,声压：介质中有声波传播时的压力与无声波时的 静压力之间的压差。,平面简谐波，声压振幅为,声强：声波的能流密度。,频率越高越容易获得较大的声压和声强,引起人听觉的声波有频率范围和声强范围,声强级,人耳对响度的主观感觉由声强级和频率共同决定,5-4 惠更斯原理 波的叠加和干涉,一、惠更斯原理,惠更斯原理： 介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。,t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向,如你家在大山后,听广播和看电视哪个更容易? (若广播台、电视台都在山前侧),*应用惠更斯原理证明波的反射和折射定律,二、波的叠加,各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不便，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。,波传播的独立性原理或波的叠加原理：,说明： 振动的叠加仅发生在单一质点上 波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上,能分辨不同的声音正是这个原因,两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为波的干涉。,相干条件,具有恒定的相位差,振动方向相同,两波源具有相同的频率,满足相干条件的波源称为相干波源。,三、波的干涉,传播到p点引起的振动分别为：,在p点的振动为同方向同频率振动的合成。,设有两个相干波源S1和S2 发出的简谐波在空间p点相遇。,合成振动为：,其中：,由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：,对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。,其中：,相长干涉的条件：,相消干涉的条件：,当两相干波源为同相波源时，相干条件写为,相长干涉,相消干涉, 称为波程差,波的非相干叠加,例题 位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相位差为，其A、B相距30米，波速为400米/秒，求:A、B连线之间因相干干涉而静止的各点的位置。,解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴，取A点的振动方程 :,在X轴上A点发出的行波方程：,B点的振动方程 :,B点的振动方程 :,在X轴上B点发出的行波方程：,因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：,相干相消的点需满足：,因为：,5-5 驻波,一、驻波方程,驻波是两列振幅、频率相同，但传播方向相反的简谐波的叠加。,函数不满足,它不是行波,它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。,驻波的特点：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。,1、波腹与波节 驻波振幅分布特点,二、驻波的特点,相邻波腹间的距离为：,相邻波节间的距离为：,相邻波腹与波节间的距离为：,因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。,2、驻波的位相的分布特点,时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。,在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。,两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。,*3、驻波能量,驻波振动中无位相传播，也无能量的传播,一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换， 并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。,当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。,三、半波损失,入射波在反射时发生反向的现象称为半波损失。,折射率较大的媒质称为波密媒质； 折射率较小的媒质称为波疏媒质.,当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。,在绳长为l 的绳上形成驻波的波长必须满足下列条件：,*四、简正模式（或本征振动）,即弦线上形成的驻波波长、频率均不连续。这些频率称为弦振动的本征频率，对应的振动方式称为该系统的简正模式（Normal mode).,对应k=2,3,的频率为谐频，产生的音称为谐音(泛音)。,最低的频率(k=1)称为基频，产生的一个音称为基音；,两端固定的弦，当距一端某点受击而振动时，该点为波节的那些模式（对应于 k 次，2 k 次.谐频)就不出现，使演奏的音色更优美。,当周期性强迫力的频率与系统（例如，弦）的固有频率之一相同时，就会与该频率发生共振，系统中该频率振动的振幅最大。可用共振法测量空气中声速。,系统究竟按那种模式振动，取决于初始条件。一般是各种简正模式的叠加。,5-6 多普勒效应 *冲击波,一、多普勒效应,观察者接受到的频率有赖于波源或观察者运动的现象，称为多普勒效应。,vS 表示波源相对于介质的运动速度。,vB表示观察者相对于介质的运动速度。,S波源的频率,u波在介质中的速度,B 观察者接受到的频率,选介质为参考系 波源和观察者的运动在两者的连线上,规定,“趋近为正，背离为负”,“恒为正”,若观察者以速度vB远离波源运动，观察者接受到的频率为波源频率的 倍。,若观察者以速度vB迎着波运动时，观察者接受到的频率为波源频率的 倍。,1、波源不动，观察者以速度vB 相对于介质运动,频率升高,频率降低,2、观察者不动，波源以速度vS 相对于介质运动,若波源向着观察者运动时，观察者接受到的频率为波源频率的 倍。,若波源远离观察者运时vs0，观察者接受到的频率小于波源的振动频率。,频率升高,频率降低,3、波源和观察者同时相对于介质运动,波源和观察者接近时，,波源和观察者背离时，,相对于观察者，波速,相对于观察者，波长,电磁波的多普勒效应,光源和观察者在同一直线上运动,横向多普勒效应,红移,*二、冲击波,波源的运动速度大于波在介质中的传播速度， 波源本身的运动会激起介质的扰动，激起另一种波。,冲击波的包络面成圆锥状，称作马赫堆。,若冲击波是声波，必然是运动物体通过之后才能听见声音。,*5-7 色散 波包 群速度,一、色散,凡波速与频率有关的现象均称为色散。,色散介质 非色散介质,二、波包,不同频率的简谐波叠加，复合波中波列的振幅随质元位置时大时小变化，显现为一团一团地振动，称之为波群或波包。,三、群速度,相速度：简谐波的传播速度。,群速度：波包（包络线）的传播速度。,两个频率相近、振幅相等的同向传播的简谐波叠加,两列波叠加后,振幅为A作缓慢变化的余弦波,包络线上某一确定点,包络线移动的速度即群速度为,频差很小,无色散波,色散波,波包携带和传递信息，其中心振幅最大是能量集中的地方。,波包群速度=信息、能量的传播速度,*5-8 非线性波 孤波,一、非线性效应对波动的影响,导致波动叠加原理失效,二、孤波,介质既是色散的又是非线性的，在色散效应和非线性效应的共同作用下可能出现的特殊波。,由两匹马拉着的船在狭窄河道中急速前进，当船突然停止时，船首激起一个圆形平滑、轮廓分明、巨大的水团向前推进，并保持其初始速度和原始形状前进了一段距离后才逐渐消失。,1895年，数学家科特维格与德佛里斯导出了有名的浅水波的KdV方程，才使孤波得到稳定解。,非线性效应：使得波包的能量重新分配，从而使频率 扩展，坐标空间收缩，使波包前沿不断变陡。,色散效应：导致波包的群速度与波长有关，使波包， 逐渐展平展宽，能量逐渐弥散，最后消失。,形成以恒定速度传播的稳定波包，即孤波。,孤波在传播过程中的特性：,定域性：孤波波形是定域在空间的有限范围内。,稳定性：孤波传播过程中形状保持不变。,完整性：如有两个孤波在同一介质中相碰后又分开， 每个孤波仍保持其原来的形状并按原来的 速度继续各自传播。,
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