2019-2020年高三上学期第三次月考数学（理）试卷含解析.doc

2019-2020年高三上学期第三次月考数学（理）试卷含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1当a为任意实数时，直线（a1）xy+2a+1=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（）Ay2=x或x2=yBy2=x或x2=yCy2=x或x2=yDy2=x或x2=y2用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根3“直线x=2k（kZ）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn，m，n，则D若m，mn，n，则5若函数f（x）=loga（x+b）（a0，a1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的大致图象为（）ABCD6已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）ABCD7已知函数f（x）=，若f（a）f（a）2f（1），则a的取值范围是（）A1，+）B（，1C1，1D2，28设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）ABCD9已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A1BCD10设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f（x），f（x）在区间（a，b）的导函数f（x），若在区间（a，b）上的f（x）0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知，若当实数m满足|m|2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则ba的最大值为（）A1B2C3D4二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上）11如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，=2，则的值是12如图，某几何体的正视图是边长为2的正方形，左视图和俯视图都是直角边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积等于13圆心在直线x2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为14如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为15已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x0，1时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：f（1）=0；直线x=2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；函数y=f（x）在4，5是单调递递增；若方程f（x）=m在3，1上的两根为x1，x2，则x1+x2=4以上命题正确的是（请把所有正确命题的序号都填上）三、解答题：（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16如图，已知AB平面ACD，DEAB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点（）求证：AF平面BCE；（）求证：平面BCE平面CDE17已知函数f（x）=sinxcos（x）+cos2x（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，SABC=，求b+c的值18如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，ACB=ACD=，F为PC的中点，AFPB（1）求PA的长；（2）求二面角BAFD的正弦值19已知Sn是等比数列an的前n项和，a10，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项（）求an的通项公式；（）若等差数列bn中，b1=1，前9项和等于27，令cn=2anbn，求数列cn的前n项和Tn20如图，设椭圆+=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，=2，DF1F2的面积为（）求该椭圆的标准方程；（）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=ex1ax（aR）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x（0，2时，讨论函数F（x）=f（x）xlnx零点的个数；（3）若g（x）=ln（ex1）lnx，当0a1时，求证：fg（x）f（x）xx学年山东省临沂市山大华特卧龙学校高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1当a为任意实数时，直线（a1）xy+2a+1=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（）Ay2=x或x2=yBy2=x或x2=yCy2=x或x2=yDy2=x或x2=y考点： 恒过定点的直线分析： 直线过定点，说明直线（a1）xy+2a+1=0是直线系方程，先求出定点P，再根据抛物线的标准方程，求过点P的抛物线的标准方程解答： 解：当a为任意实数时，直线（a1）xy+2a+1=0恒过定点P，则直线可化为（x+2）a+（xy+1）=0，对于a为任意实数时，此式恒成立有得，依题意抛物线为 y2=2px和x2=2py当y2=2px时得9=4p，所以p=，此时抛物线方程为 y2=x；当x2=2py时，4=6p，所以p=，此时抛物线方程为 x2=y则过点P的抛物线的标准方程是：y2=x 和x2=y故选A点评： 本题考查直线系方程和抛物线的标准方程，直线系过定点的求法要当心，抛物线的四种形式不可混淆2用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x2+ax+b=0没有实根B方程x2+ax+b=0至多有一个实根C方程x2+ax+b=0至多有两个实根D方程x2+ax+b=0恰好有两个实根考点： 反证法与放缩法专题： 证明题；反证法分析： 直接利用命题的否定写出假设即可解答： 解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根故选：A点评： 本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查3“直线x=2k（kZ）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点： 充要条件专题： 简易逻辑分析： 先将“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”求出其等价命题，然后判断解答： 解：f（x）=2sin（x+）=2cosx，其图象对称轴是x=k，kZ，“直线x=2k（kZ）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的充分不必要条件，故选：A点评： 在充要条件判断时，抓住“小能推大，大不能推小”，认真判断，不可出错4设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，m，n，则mnB若，m，n，则mnC若mn， m，n，则D若m，mn，n，则考点： 命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离；简易逻辑分析： 由，m，n，可推得mn，mn，或m，n异面；由，m，n，可得mn，或m，n异面；由mn，m，n，可得与可能相交或平行；由m，mn，则n，再由n可得解答： 解：选项A，若，m，n，则可能mn，mn，或m，n异面，故A错误；选项B，若，m，n，则mn，或m，n异面，故B错误；选项C，若mn，m，n，则与可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m，mn，则n，再由n可得，故D正确故选D点评： 本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题5若函数f（x）=loga（x+b）（a0，a1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的大致图象为（）ABCD考点： 对数函数的图像与性质；指数函数的图像变换专题： 函数的性质及应用分析： 由图象可知对数的底数满足0a1，且0f（0）1，再根据指数函数g（x）=ax+b的性质即可推得解答： 解：由图象可知0a1且0f（0）1， 即 即解得loga1logablogaa，0a1由对数函数的单调性可知ab1，结合可得a，b满足的关系为0ab1，由指数函数的图象和性质可知，g（x）=ax+b的图象是单调递减的，且一定在x轴上方故选：B点评： 本小题主要考查对数函数的图象、指数函数的图象、对数函数的图象的应用、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题6已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）ABCD考点： 用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角专题： 综合题；压轴题；空间角；空间向量及应用分析： 设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为，则sin=|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可解答： 解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，2，1），设CD与平面BDC1所成角为，则sin=|=，故选A点评： 本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键7已知函数f（x）=，若f（a）f（a）2f（1），则a的取值范围是（）A1，+）B（，1C1，1D2，2考点： 二次函数的性质专题： 函数的性质及应用分析： 先求出f（1）的值，通过讨论a的范围，得到不等式，从而求出a的范围解答： 解：f（1）=3，f（a）f（a）6，a0时，a22a（a）2+2a6，整理得：a2+2a30，解得：a1，a0时，a22a（a）2+2a6，整理得：a22a+30，无解，故选：A点评： 本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道基础题8设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）ABCD考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得，由此能求出双曲线的离心率的范围解答： 解：不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，又满足条件的直线只有一对，当直线与x轴夹角为30时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30，双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30，则无交点，则不可能存在|A1B1|=|A2B2|，当直线与x轴夹角为60时，双曲线渐近线与x轴夹角小于60，双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60，也满足题中有一对直线，但是如果大于60，则有两对直线不符合题意，tan30，即，b2=c2a2，双曲线的离心率的范围是故选：A点评： 本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件9已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A1BCD考点： 简单空间图形的三视图专题： 计算题；压轴题分析： 求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出解答： 解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为因此可知：A，B，D皆有可能，而1，故C不可能故选C点评： 正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键10设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f（x），f（x）在区间（a，b）的导函数f（x），若在区间（a，b）上的f（x）0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知，若当实数m满足|m|2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则ba的最大值为（）A1B2C3D4考点： 函数恒成立问题；导数的运算专题： 压轴题；新定义；函数的性质及应用分析： 利用函数总为“凸函数”，即f（x）0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可解答： 解：当|m|2时，f（x）=x2mx30恒成立等价于当|m|2时，mxx23恒成立当x=0时，f（x）=30显然成立当x0，xmm的最小值是2，x2，从而解得0x1；当x0，xmm的最大值是2，x2，从而解得1x0综上可得1x1，从而（ba）max=1（1）=2故选B点评： 本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上）11如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，=2，则的值是22考点： 向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 由=3，可得=+，=，进而由AB=8，AD=5，=3，=2，构造方程，进而可得答案解答： 解：=3，=+，=，又AB=8，AD=5，=（+）（）=|2|2=2512=2，故=22，故答案为：22点评： 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=，是解答的关键12如图，某几何体的正视图是边长为2的正方形，左视图和俯视图都是直角边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积等于考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，长度是2，做出四棱锥的体积解答： 解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，底面面积是22=4四棱锥的一条侧棱与底面垂直，长度是2四棱锥的体积是=故答案为：点评： 本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出这是一个底面垂直于底面的四棱锥13圆心在直线x2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x2）2+（y1）2=4考点： 圆的标准方程专题： 直线与圆分析： 由圆心在直线x2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可解答： 解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，圆C截x轴所得弦的长为2，t2+3=4t2，t=1，圆C与y轴的正半轴相切，t=1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，（x2）2+（y1）2=4故答案为：（x2）2+（y1）2=4点评： 此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键14如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为考点： 余弦定理专题： 解三角形分析： 由BAC=BAD+DAC，DAC=90，得到BAC=BAD+90，代入并利用诱导公式化简sinBAC，求出cosBAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cosBAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长解答： 解：ADAC，DAC=90，BAC=BAD+DAC=BAD+90，sinBAC=sin（BAD+90）=cosBAD=，在ABD中，AB=3，AD=3，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD22ABADcosBAD=18+924=3，则BD=故答案为：点评： 此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键15已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x0，1时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：f（1）=0；直线x=2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；函数y=f（x）在4，5是单调递递增；若方程f（x）=m在3，1上的两根为x1，x2，则x1+x2=4以上命题正确的是（请把所有正确命题的序号都填上）考点： 命题的真假判断与应用专题： 函数的性质及应用分析： ，令x=1，即可得到f（1）=0；，利用y=f（x）为周期为2的偶函数，即可得到f（2x）=f（2+x）=f（2+x），从而可判断；，利用y=f（x）为周期为2的函数，及x0，1时，y=f（x）单调递减，可判断函数y=f（x）在4，5是单调递减函数，可判断；，由知y=f（x）关于x=2对称，从而可判断解答： 解：对于，f（x+2）=f（x）+f（1），f（1+2）=f（1）+f（1），f（1）=0，又f（x）为偶函数，f（1）=f（1）=0，故正确；且当x0，1时，y=f（x）单调递减，对于，由知f（1）=0，f（x+2）=f（x），y=f（x）为周期为2的偶函数，f（2x）=f（2+x）=f（2+x），y=f（x）关于x=2对称，故正确；对于，f（x+2）=f（x），y=f（x）为周期为2的函数，又x0，1时，y=f（x）单调递减，函数y=f（x）在4，5是单调递减函数，故错误；对于，偶函数y=f（x）在区间0，1上单调递减，y=f（x）在区间1，0上单调递增，又y=f（x）为周期为2的函数，y=f（x）在区间3，2上单调递增，在区间2，1上单调递减，又y=f（x）关于x=2对称，当方程f（x）=m在3，1上的两根为x1，x2时，x1+x2=4，故正确综上所述，正确故答案为：点评： 本题考查考查命题的真假判断与应用，注重考查函数的单调性、周期性、对称性及函数的零点，考查分析与综合应用能力，属于难题三、解答题：（本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16如图，已知AB平面ACD，DEAB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点（）求证：AF平面BCE；（）求证：平面BCE平面CDE考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题： 证明题；空间位置关系与距离分析： （）取EC中点G，连BG，GF，证明四边形ABGF为平行四边形，可得AFBG，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（）证明BGDE，BGCD，可得BG平面CDE，利用面面垂直的判定定理，即可得出结论解答： 证明：（）取EC中点G，连BG，GFF是CD的中点，FGDE，且FG=DE又ABDE，且AB=DE四边形ABGF为平行四边形AFBG又BG平面BCE，AF平面BCEAF平面BCE （）AB平面ACD，AF平面ACD，ABAFABDE，AFDE 又ACD为正三角形，AFCD BGAF，BGDE，BGCD CDDE=D，BG平面CDE BG平面BCE，平面BCE平面CDE点评： 本题考查线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题17已知函数f（x）=sinxcos（x）+cos2x（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，SABC=，求b+c的值考点： 余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用专题： 综合题；解三角形分析： （）先对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数f（x）的单调递增区间（）利用f（A）求得A，进而根据余弦定理构建b，c和a的关系，结合三角形的面积公式，即可求b+c的值解答： 解：（）解：f（x）=sinx（cosx+sinx）+cos2x=sinxcosx+cos2x=sin（2x+）+由2x+（+2k，+2k），可得函数f（x）的单调递增区间（+k，+k）（kZ）；（）由题意f（A）=sin（2A+）+=，化简得 sin（2A+）=，A（0，），A=；在ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c22bccos =（b+c）23bc=3，SABC=bc，bc=2b+c=3点评： 本题主要考查三角函数恒等变换的运用，余弦定理及三角形的面积公式的基本知识18如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，ACB=ACD=，F为PC的中点，AFPB（1）求PA的长；（2）求二面角BAFD的正弦值考点： 用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法专题： 计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角分析： （I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出ACBD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，3，z），根据F为PC边的中点且AFPB，算出z=2，从而得到=（0，0，2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（，3，0），=（，3，0），=（0，2，）利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，2）和=（3，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角BAFD的正弦值解答： 解：（I）如图，连接BD交AC于点OBC=CD，AC平分角BCD，ACBD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=ACOC=3又OD=CDsin=，可得A（0，3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（，0，0）由于PA底面ABCD，可设P（0，3，z）F为PC边的中点，F（0，1，），由此可得=（0，2，），=（，3，z），且AFPB，=6=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），=0且=0，取y1=得=（3，2），同理，由=0且=0，解出=（3，2），向量、的夹角余弦值为cos，=因此，二面角BAFD的正弦值等于=点评： 本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题19已知Sn是等比数列an的前n项和，a10，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项（）求an的通项公式；（）若等差数列bn中，b1=1，前9项和等于27，令cn=2anbn，求数列cn的前n项和Tn考点： 数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合专题： 等差数列与等比数列分析： （）直接利用前n项和公式及等比中项求出数列的通项公式（）根据（）的结论及等差数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出新数列的前n项和解答： 解：（）设数列an的公比为q，已知Sn是等比数列an的前n项和，a10，S4，S2，S3成等差数列，则：2S2=S3+S4解得：q=2或1（舍去）由于：16是a2和a8的等比中项解得：a1=1所以：（）等差数列bn中，设公差为d，b1=1，前9项和等于27则：解得：d=所以：令cn=2anbn=（n+1）（2）n1Tn=c1+c2+cn1+cn=2（2）0+3（2）1+（n+1）（2）n12Tn=2（2）1+3（2）2+（n+1）（2）n得：3（n+1）（2）n解得：点评： 本题考查的知识要点：等比数列通项公式和前n项和公式，等差数列的通项公式和前n项和公式，利用乘公比错位相减法求数列的和及相关的运算问题20如图，设椭圆+=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，=2，DF1F2的面积为（）求该椭圆的标准方程；（）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （）设F1（c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|=，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1F2P2，得x1=或x1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程解答： 解：（）设F1（c，0），F2（c，0），其中c2=a2b2，由=2，得|DF1|=c，从而=|DF1|F1F2|=c2=，故c=1从而|DF1|=，由DF1F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（）知F1（1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（x11，y1），再由F1P1F2P2，得+=0，由椭圆方程得1=，即3+4x1=0，解得x1=或x1=0当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y0）由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1F1P1，得=1，而|y1|=|x1+1|=，故y0=，故圆C的半径|CP1|=综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题21已知函数f（x）=ex1ax（aR）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x（0，2时，讨论函数F（x）=f（x）xlnx零点的个数；（3）若g（x）=ln（ex1）lnx，当0a1时，求证：fg（x）f（x）考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性专题： 计算题；证明题；分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用分析： （1）求函数f（x）的导数，对a讨论，分当a0时，当a0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（2）对F（x）=f（x）xlnx进行化简，构造函数h（x）=xlnx（x0），研究函数h（x）的单调性和最值，即可确定F（x）=f（x）xlnx在定义域内是否存在零点；（3）由（1）知，当0a1时，f（x）在（0，+）上单调递增，要证明f（g（x）f（x），只要证明g（x）x即可解答： 解：（1）函数的定义域为（，+），f（x）=（exax1）=exa当a0时，f（x）0恒成立，即有f（x）在R上递增；当a0时，由f（x）0，得exa0，exa，xlna，由f（x）0，得exa0，exa，xlna，所以函数的单调减区间为（，lna），单调增区间是（lna，+）（2）函数F（x）=f（x）xlnx的定义域为（0，+），由F（x）=0，得a=lnx（x0），令h（x）=lnx（x0），则h（x）=，由于x0，ex10，可知当x1，h（x）0；当0x1时，h（x）0，故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2上单调递增，故h（x）h（1）=e1又h（2）=当a=1时，对x0，有f（x）f（lna）=0，即ex1x，即1，当e1ae1时，函数F（x）有两个不同的零点；当a=e1或a=时，函数F（x）有且仅有一个零点；当ae1或a时，函数F（x）没有零点；（3）由（1）知，当0a1时f（x）在（0，+）上单调递增，且f（0）=0；对x0时，有f（x）0，则ex1ax；故对任意x0，ln（ex1）ln（ax）g（x）=ln（ex1）lnx0；所以，要证fg（x）f（x），只需证：x0，g（x）x；只需证：x0，ln（ex1）lnxx；即证：ln（ex1）lnx+lnex；即证：x0，xexex1； 所以，只要证：x0，xexex+10，令H（x）=xexex+1，则H（x）=xex0，故函数H（x）在（0，+）上单调递增H（x）H（0）=0；对x0，xexex+10成立，即g（x）x，fg（x）f（x）点评： 本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法，属于中档题