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xx 届高三第四次月考数学理试题 2019-2020 年高三上学期第四次月考数学理试题 1、 选择题（每题 5 分，共 40 分，每题只有一个正确选项） 1.巳知全集，是虚数单位，集合（整数集）和的关系韦恩（enn ）图如图 1 所示，则阴影 部分所示的集合的元素共有（ ） A 个 个 个 无穷个 2 设不等式的解集为，函数的定义域为，则为 （ ） A B C D 3.在的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条 件 4如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为。则该几何体的 俯视图可以是 （ ） 5. 函数的图象大致是（ ） 6函数的图像为 C,如下结论中正确的是 （ ） A图像 C 关于直线对称 B图像 C 关于点对称 C函数在区间内是增函数 D由的图像向右平移个单位长度可以得到图像 C。 7. 设为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中不正确的是 （ ） A.若，则与相交 B.若则 C.若 / ， / ，则 D.若 / ， ，则 / 8对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若，则的上确界为 （ ） ()3 () () () 2、 填空题（每题 5 分，共 30 分，其中 9-13 题为必做题， 14、15 为选做题， ） （9-13 题为必做题） 9.抛物线在点（0，1 ）处的切线方程为 10.已知等比数列各项均为正数,前项和为，若， 则公比 q= ， 11.若的展开式中 x4 的系数为 12. 已知函数，则实数 a= 13在平面直角坐标系上，设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵 坐标均为整数的点）的个数为. 则 ，经推理可得到 （第 14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分） 14. （坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线 与圆的公共点个数是_ 15. （几何证明选讲选做题）如图 4，是圆上的两点，且， ，为的中点，连接并延长交圆于 点，则 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分 16.（12 分） 已知函数， （1）求该函数的最小正周期和最小值； （2）若，求该函数的单调递增区间。 . 17. （12 分）在中，角所对的边为，已知 （1）求的值； （2）若的面积为，求的值 19.（本题满分 14 分）在数列中， ，并且对任意都有成立，令 （）求数列 的通项公式； （）设数列 的前 n 项和为，证明： 20.（14 分）已知椭圆过点，且离心率。 （）求椭圆方程； （）若直线与椭圆交于不同的两点、 ，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。 21 （本小题满分 14 分）已知函数 （1）求函数 f(x)的极值； （2）如果当时，不等式恒成立，求实数 k 的取值范围； （3）求证. xx 届碣石中学高三级第四次月考数学（理科）答案 一 、选择题（每题 5 分，共 40 分） 1. B 2 A. 3. B 4.C. 5. D. 6.C 选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分 14. 1 ,15. 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分 16. 已知函数， （1）求该函数的最小正周期和最小值； （2）若，求该函数的单调递增区间。 解：（1） -3 分 所以 -6 分 （2） 26263x x令 k-k,Z， 则 k-,kZ -8 分 令，得到或， 与取交集, 得到或, 所以，当时，函数的. -12 分 17. 在中，角所对的边为，已知 （1）求的值； （2）若的面积为，求的值 解：（1） ， ， 或， ，所以 5 分 （2）由 解得 或 8 分 又 由或 12 分 18（本小题满分 14 分） 甲和乙参加智力答题活动，活动规则：答题过程中，若答对则继续答题；若答错则 停止答题；每人最多答 3 个题；答对第一题得 10 分，第二题得 20 分，第三题得 30 分， 答错得 0 分。已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为。 （1）求甲恰好得 30 分的概率； （2）设乙的得分为，求的分布列和数学期望； （3）求甲恰好比乙多 30 分的概率. 答案 1. （I）甲恰好得 30 分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，其概率为，- 3 分 （II）的取值为 0，10， 30，60.-4 分 ， ， 的概率分布如下表： 0 10 30 60 -8 分 -10 分 （III）设甲恰好比乙多 30 分为事件 A，甲恰好得 30 分且乙恰好得 0 分为事件 B1, 甲恰好得 60 分且乙恰好得 30 分为事件 B2，则 A=为互斥事件. . 所以，甲恰好比乙多 30 分的概率为-14 分 19.（本小题满分 14 分）在数列中， ，并且对任意都有成立，令 （）求数列 的通项公式； （）设数列 的前 n 项和为，证明： 解：（1）当 n=1 时，,当时， 由得所以 -4 分 所以数列是首项为 3，公差为 1 的等差数列， 所以数列的通项公式为 -5 分 （2 ） -7 分 1513421( 8)() nTnna 分 -11 分 可知 Tn 是关于变量 n 的增函数，当 n 趋近无穷大时，的值趋近于 0， 当 n=1 时 Tn 取最小值，故有-14 分 20.已知椭圆过点，且离心率。 （）求椭圆方程； （）若直线与椭圆交于不同的两点、 ，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。 解：（）离心率， ，即（1） ； 又椭圆过点，则， （1）式代入上式，解得， ， 椭圆方程为。-4 分 （）设，弦 MN 的中点 A 由得：，-6 分 直线与椭圆交于不同的两点， ，即（1）-8 分2264(34)1)0mkm 由韦达定理得：， 则 ，-10 分 2002 23,34344kmxyxk k 直线 AG 的斜率为：， 由直线 AG 和直线 MN 垂直可得：，即， -12 分 代入（1）式，可得，即，则 -14 分 21 （本小题满分 14 分）已知函数 （1）求函数 f(x)的极值； （2）如果当时，不等式恒成立，求实数 k 的取值范围； （3）求证. 21.解：（）因为， x 0，则， 1 分 当时， ；当时，. 所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减， 所以函数在处取得极大值 f（1）=1 ，无极小值。3 分 （）不等式即为 记 所以 2(1)ln()ln)xxxg7 分 令，则， ， 在上单调递增， ，从而， 故在上也单调递增， 所以，所以 . 9 分 （3）由（2）知：恒成立，即， 令，则
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