2019-2020年高三年级第二次调研考试（数学理）.doc

2019-2020年高三年级第二次调研考试（数学理）数学（理科）xx.5.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1. 若纯虚数满足（其中是虚数单位，是实数），则（）ABCD2. 已知命题：，则（）A：，B：，C：，D：，3. 函数的图像（）A关于原点成中心对称B关于轴成轴对称C关于点成中心对称D关于直线成轴对称4. 已知函数（其中），若的图像如右图所示，则函数的图像是（）ABCD5. 设为坐标原点，若点满足，则取得最小值时，点的个数是（）ABCD无数个6. 如图所示的算法中，令，若在集合中，给取一个值，输出的结果是，则的值所在范围是（）ABCDNYY开始输入输出开始N7. 如图，圆周上按顺时针方向标有五个点。一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点。若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点。该青蛙从这点跳起，经xx次跳后它将停在的点是（）ABCD8. 某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：）数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图（如图所示）。已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为、，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频数为100，则该校高三年级的男生总数为（）A480B440C420D400二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分。其中1315题是选做题，考生在这三题中选做两题，三题全答的只计算前两题的得分。9. 计算： 。10. 设为等差数列的前项和，若，则当取得最大值时，的值为。11. 已知的展开式中所有项的系数的绝对值之和为，则的展开式中系数最小的项是。12. 已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是。13. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的极坐标方程是。现以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则圆的半径是，圆心的直角坐标是。14. （不等式选讲选做题）设函数，则的最小值是，若，则的取值范围是。15. （几何证明选讲选做题）如图，已知是半圆的直径，是延长线上一点，切半圆于点，于点，若，则，。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16. （本小题满分12分）在中，（）求；（）设，求的值17. （本小题满分12分）某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有次选题答题的机会，选手累计答对题或答错题即终止其初赛的比赛，答对题者直接进入决赛，答错题者则被淘汰已知选手甲答题的正确率为()求选手甲可进入决赛的概率；()设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望18. （本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，侧面底面，且为等腰直角三角形，为的中点AMPBDC()求证：； ()求证：平面；()求二面角的正切值19. （本小题满分14分）若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”已知，（其中为自然对数的底数）()求的极值；() 函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由20. （本小题满分14分）已知数列满足，（）（）判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项；（）如果时，数列的前项和为，试求出，并证明当时，有21. （本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆的右准线上的点，满足线段的中垂线过点，直线：为动直线，且直线与椭圆交于不同的两点、。（）求椭圆的方程；（）若在椭圆上存在点，满足（为坐标原点），求实数的取值范围；（）在（）的条件下，当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值xx年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分12345678CCCABDAD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分(其中第13、14、15题前空2分，后空3分)，共30分9 8 10 4 或 5 11 1213 ，14 3 ， 15 ， 5 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16【解】（）， 1分 ， 3分 6分 （）根据正弦定理得， ， 8分由，得， 10分 12分17【解】 () 选手甲答道题进入决赛的概率为； 1分选手甲答道题进入决赛的概率为；3分选手甲答5道题进入决赛的概率为； 5分选手甲可进入决赛的概率+ 7分 ()依题意，的可能取值为则有， ， ， 10分因此，有 12分18【解】 解法一：()取的中点，连结 1分AMPBDCGFE， 2分，且，是正三角形，3分平面 4分()取的中点，联结，分别为的中点，且 5分四边形是直角梯形，且，且 6分四边形是平行四边形 8分平面，平面 9分 ()取的中点，联结四边形是直角梯形且， 平面，是二面角的平面角 11分设，则、分别为、中点，是等腰直角三角形斜边的中点， 13分，二面角的正切值为 14分解法二：()同解法1() 侧面底面，又， 底面直线两两互相垂直，故可以分别以直线为轴、轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系 6分PBDCAMGzxy设，则可求得，则 7分且，即，即 8分设是平面的法向量，则且 取，得 9分是的中点， 10分平面，平面 11分 ()平面，是平面的法向量， 12分 13分二面角的正切值为 14分19【解】() ， 2分当时， 3分当时，此时函数递减； 当时，此时函数递增；当时，取极小值，其极小值为 6分()解法一：由（）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点 7分设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即 8分由，可得当时恒成立， 由，得 10分下面证明当时恒成立令，则， 11分当时，当时，此时函数递增；当时，此时函数递减；当时，取极大值，其极大值为 从而，即恒成立13分 函数和存在唯一的隔离直线 14分解法二： 由()可知当时， (当且当时取等号) 7分若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得和恒成立，令，则且，即 8分后面解题步骤同解法一20【解】（）， 令，则 2分，当时，则数列不是等比数列 当时，数列不是等比数列 4分当时，则数列是等比数列，且公比为2 ，即解得 6分（）由（）知，当时， 令， 则， 由-： ， 9分则 10分，当时，则12分 ，则13分因此， 14分21【解】（）设椭圆的方程为，半焦距为，依题意有 解得所求椭圆方程为 3分（）由，得设点、的坐标分别为、，则5分（1）当时，点、关于原点对称，则（2）当时，点、不关于原点对称，则，由，得 即点在椭圆上，有，化简，得，有 7分又，由，得 8分将、两式，得，则且综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是 9分（），点到直线的距离，的面积 12分由有，代入上式并化简，得， 13分当且仅当，即时，等号成立当时，的面积最大，最大值为 14分