2019-2020年高三4月过程性检测数学文试卷含解析.doc

2019-2020年高三4月过程性检测数学文试卷含解析xx.4【试卷综述】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。对学生的综合能力要求较多，在知识交汇点处设置考题。考查了学生知识的全面性，综合运用能力，需要学生有较高的悟性和对数学本质有较为深刻的认识，有效的体现出试题的层次和梯度。【题文】第I卷(共50分)【题文】一选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)【题文】1.设全集A.B. C. D. 【知识点】对数函数的定义域；集合的关系及运算A1【答案】【解析】C 解析：因为，所以，故选C。【思路点拨】根据所给的文恩图，看出阴影部分所表达的是集合A和集合B的交集【题文】2.已知i为虚数单位，复数，则z的共轭复数虚部是A. B. C. D. 【知识点】复数代数形式的乘除运算L4【答案】【解析】D 解析：因为，所以共轭复数的虚部是，故选D.【思路点拨】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z，即可求得z的共轭复数，从而求得共轭复数的虚部【题文】3.平面向量的夹角为等于A. B. C.12D. 【知识点】向量加减混合运算及其几何意义F2【答案】【解析】B 解析：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+421cos60+4=12，|a+2b|=故选：B【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方【题文】4.如图是某篮球联赛中，甲、乙两名运动员9个场次得分的茎叶图，设甲、乙两人得分平均数分别为，中位数分别为，则A. B. C. D. 【知识点】茎叶图、平均数、中位数I2【答案】【解析】A 解析：由茎叶图易知：，则，故，故选A。【思路点拨】由茎叶图易判断中位数的大小，再利用平均数公式比较大小。【题文】5. 已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点p在双曲线上，且线段的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是A. B. C. D. 【知识点】双曲线的标准方程H6【答案】【解析】B 解析：因为焦点为，所以，又因为的中点坐标为（0，2），所以，则此双曲线的方程是。【思路点拨】利用已知条件求出c以及，则可求双曲线的方程。【题文】6.下列命题正确的是：（1）已知命题（2）设表示不同的直线，表示平面，若；（3）利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“”发生的概率为（4）“”是“”的充分不必要条件.A.（1）（4）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（3）（4） 【知识点】命题的真假判断与应用A2【答案】【解析】D 解析：（1）命题p：xR，2x=1则p是：xR，2x1，因此不正确；（2）设l，m表示不同的直线，表示平面，若ml，且m，则l或l，因此不正确；（3）P（3a10）=P（a）=，正确；（4）“a0，b0”“”，反之不成立，例如a0，b0，则“”成立，因此“a0，b0”是“”的充分不必要条件，正确综上只有：（3）（4）正确故选：D【思路点拨】（1）利用命题的否定即可判断出正误；（2）若ml，且m，则l或l，即可判断出正误；（3）利用几何概率计算公式即可判断出正误；（4）“a0，b0”“”，反之不成立，例如a0，b0，则“”成立，即可判断出正误【题文】7. 如图，长方体中，.设长方体的截面四边形的内切圆为O，圆O的正视图是椭圆，则椭圆的离心率等于A. B. C. D. 【知识点】椭圆的性质H5【答案】【解析】B 解析：由题意得椭圆内切与边长为2，的矩形，易知椭圆的长轴长为2，短轴长为，所以a=1，c=，故，故选B。【思路点拨】由题意得椭圆内切与边长为2，的矩形，易知椭圆的长轴长为2，短轴长为，所以a=1，c=，故。【题文】8.执行如图的程序，则输出的结果等于A. B. C. D. 【知识点】程序框图L1【答案】【解析】C 解析：执行程序框图，有i=1，s=0，t=0第1次执行循环，有s=1，T=1第2次执行循环，有i=2，s=1+2=3，T=1+第3次执行循环，有i=3，s=1+2+3=6，T=1+第4次执行循环，有i=4，s=1+2+3+4=10，T=1+第99次执行循环，有i=99，s=1+2+3+.+99，T=1+此时有i=100，退出循环，输出T的值T=1+，则通项an=，T=1+（1）+（）+（）+（）+（）=2=输出的结果等于故选：C【思路点拨】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T的值，当i=100，退出循环，输出T的值【题文】9.函数的零点个数为A.0B.1C.2D.3【知识点】函数的零点B10【答案】【解析】B 解析：令，根据根与系数的关系易知其两根异号，故在内有一根，再令，即，因为，所以不存在x的值满足成立，综上，函数零点个数为1个，故选B.【思路点拨】令，根据根与系数的关系易知其两根异号，判断出根的情况，再令，判断出根的情况，综合即可得到结果。【题文】10.如果函数在区间I上是增函数，而函数在区间I上是减函数，那么称函数是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.若函数是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I为A. B. C. D. 【知识点】函数单调性的判断与证明B3【答案】【解析】D 解析：f（x）=在区间1，+）上是增函数，y=x1+，y=；故y=x1+在，上是减函数，故“缓增区间”I为1，；故选D【思路点拨】由题意，求f（x）=的增区间，再求y=x1+的减函数，从而求缓增区间【题文】第II卷（非选择题 共100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填写在试题的横线上。【题文】11.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球体积为_.【知识点】由三视图求面积、体积G2【答案】【解析】 解析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，即为以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的外接球，由底面两直角边长分别为，故相当于棱长分别为，2的长方体的外接球，故满足，所以，几何体的外接球的体积为，故答案为：【思路点拨】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入体积公式，可得答案【题文】12.已知直线（其中a、b为非零实数）与圆相交于A、B两点，O为坐标原点，且为直角三角形，则的最小值为_.【知识点】基本不等式E6【答案】【解析】1 解析：直线ax+by=2（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且AOB为直角三角形，|AB|=圆心O（0，0）到直线ax+by=2的距离d=，化为2a2+b2=8=（）（2a2+b2）=（2+2+）（4+4）=1，当且仅当b2=2a2=1取等号的最小值为1故答案为：1【思路点拨】由直线ax+by=2（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且AOB为直角三角形，可得|AB|=圆心O（0，0）到直线ax+by=2的距离d=，可得2a2+b2=8再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出【题文】13.设O为坐标原点，点满足不等式组的最小值是_.【知识点】简单线性规划E5【答案】【解析】 解析：由题意作出其平面区域，=（x，y），=（，1），故令z=+y；可化为y=+z，故过点E（1，1）时，z=+y有最小值+1=；故答案为：【思路点拨】由题意作出其平面区域，由=（x，y），=（，1），从而令z=+y，再化为y=+z，z相当于直线y=+z的纵截距，由几何意义可得【题文】14.如图为了测量A,C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD的各边的长度（单位：km）：，如图所示，且A、B、C、D四点共圆，则AC的长为_km.【知识点】余弦定理的应用C8【答案】【解析】7 解析：A、B、C、D四点共圆，圆内接四边形的对角和为B+D=，由余弦定理可得AC2=52+32253cosD=3430cosD，AC2=52+82258cosB=8980cosB，B+D=，即cosB=cosD，=，可解得AC=7故答案为：7.【思路点拨】利用余弦定理，结合B+D=，即可求出AC的长【题文】15.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y）的个数m；最后再根据统计数m来估计的值.假如统计结果是m=34，那么可以估计_.（用分数表示）【知识点】几何概型；简单线性规划E5 K3【答案】【解析】 解析：由题意，120对都小于l的正实数对（x，y）；，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y21且，x+y1，面积为，因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对（x，y） 的个数m=94，所以，所以=故答案为：【思路点拨】由试验结果知120对01之间的均匀随机数x，y，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y21且，x+y1，面积为，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计的值【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.【题文】16. （本小题满分12分）已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴的距离为.（1）求函数的解析式及其在上的单调递增区间；（2）在分别是A,B,C的对边，若，求的值.【知识点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性C3 C4 C8【答案】【解析】（1）+k，+k；（2） 解析：（1）把（0，）代入解析式得：sin=，0，=，相邻两条对称轴间的距离为，函数的周期为，即=2，函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），令+2k2x+2k，kZ，得到+kx+k，kZ，则f（x）的单调递增区间为+k，+k，kZ；当k=0时，f(x)的一个单调递增区间是，当k=1时，f(x)的一个单调递增区间是。故函数f(x) 在上的单调递增区间。（2）由第一问得：f（）=sin（A+），代入得：sin（A+）cosA=sinA+cosAcosA=sinAcosA=sin（A）=，A=或，即A=或A=（舍去），bc=1，b+c=3，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc=（b+c）23bc=93=6，则a=【思路点拨】（1）把已知点坐标代入求出的值，根据题意确定出周期，利用周期公式求出的值，即可确定出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可；（2）由第一问确定出的解析式，表示出f（），代入已知等式求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，变形后将bc与b+c的值代入即可求出a的值【题文】17. （本小题满分12分）已知三棱柱中，在底面ABC上的射影恰为AC的中点D.（1）求证：；（2）求四棱锥的体积.【知识点】直线与平面垂直的性质B4【答案】【解析】（1）见解析（2） 解析：（1）证明：A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，A1D平面ABC，A1D平面A1AC，平面A1AC平面ABC，BCAC，平面A1AC平面ABC=AC，BC平面A1AC，AC1平面A1AC，BCAC1，四边形ACC1A1为平行四边形，AA1=AC，四边形ACC1A1为菱形，A1CAC1，A1C平面A1CB，BC平面A1CB，A1CBC=C，AC1平面A1CB，BA1平面A1CB，AC1BA1（2）=SABCA1D=SABCA1D=【思路点拨】（1）先利用面面垂直的判定定理证明出平面A1AC平面ABC，进而证明出BCAC1，同理根据菱形的性质证明出A1CAC1，利用线面垂直的判定定理证明出AC1平面A1CB，最后根据线面垂直的性质证明出AC1BA1（2）分别求出和最后作差即可【题文】18. （本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【知识点】等可能事件的概率；频率分布直方图B4【答案】【解析】（1）3人，2人，1人；（2） 解析：（1）第3组的人数为0.3100=30，第4组的人数为0.2100=20，第5组的人数为0.1100=10因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：6=3； 第4组：6=2； 第5组：6=1所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人；（2）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C; 在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）(A1, C)，(A2, C)，(A3, C)，(B1, C)，(B2, C)，共有15种其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），(B1, C)，(B2, C)，共有9种,所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为【思路点拨】（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（2）设出3组的人数符号，然后列出所有基本事件，求出基本事件的数目，满足题意的数目，求出所求概率即可【题文】19. （本小题满分12分）已知数列满足的前n项和为，其中.（I）试求的值并证明数列为等比数列；（II）设求数列的前n项和.【知识点】数列递推式；数列的求和D1 D4【答案】【解析】（1）见解析；（2） 解析：（1）证明：a1=，an+1=，a2=2a1+22=1，a3=a22=3bn+1=a2n+2=2a2n+1+2（2n+1）2=2a2n+1+4n，又a2n+1=a2n2n，bn+1=2（a2n2n）+4n=2a2n=2bn，b1=a2=1，数列bn为等比数列，首项为1，公比为2；（2）由（I）可得：a2n+1=a2n2n，bn=a2n，cn=bn+a2n+1=a2n+（a2n2n）=2ncn+1=2（n+1）=数列的前n项和=+=【思路点拨】（1）a1=，an+1=，分别取n=1，n=2，可得a2，a3利用递推式可得bn+1=a2n+2=2a2n+1+4n，又a2n+1=a2n2n，可得bn+1=2bn，利用等比数列的定义即可证明（2）由（I）可得：a2n+1=a2n2n，bn=a2n，可得cn=a2n+（a2n2n）=2n于是=利用“裂项求和”即可得出【题文】20. （本小题满分13分）已知圆的圆心在坐标原点O，且恰好与直线相切，点A为圆上一动点，轴于点M，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C.（I）求椭圆C的方程；（II）若直线中E相交于不同两点A,B，且满足（O为坐标原点），求线段AB长度的取值范围.【知识点】椭圆的几何性质；直线与椭圆的位置关系H5 H8【答案】【解析】（I）；（II） 解析：（I）设动点，因为轴于M，所以,设圆的方程为，由题意得，所以圆的方程为，由题意，得，所以，即将代入，得动点N的轨迹方程为。（II）（1）假设直线l的斜率存在，其方程为y=kx+m联立，可得，所以，因为，所以，化简可得，代入化简可得，又因为，将代入，可得，当且仅当，即时等号成立，又由，所以。（2）若直线l的斜率不存在，则易得，综上得。【思路点拨】（I）设动点，因为轴于M，所以,由已知可得点A坐标，代入即可；（II）对斜率k分类讨论，结合已知条件以及基本不等式即可。【题文】21. （本小题满分14分）已知函数（为自然对数的底数）（1）若函数的最小值；（2）若在其定义域上恒成立，求实数的值；（3）在（2）的条件下，证明：【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性B11 B12【答案】【解析】（1）aalna1；（2）a=1；（3）见解析 解析：（1）由题意a0，f（x）=exa，令f（x）=exa=0，解得x=lna，先当x（，lna）时，f（x）0；当x（lna，+）时，f（x）0即f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，所以f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f（lna）=elnaalna1=aalna1；（2）f（x）0对任意的xR恒成立，在xR上，fmin（x）0，由（1），设g（a）=aalna1，则g（a）0，令g（a）=1lna1=lna=0，解得a=1，易知g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减，g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0因此g（a）0的解为a=1，即a=1；（3）由（2）得exx+1，即ln（x+1）x，当且仅当x=0时，等号成立，令 （kN*），则，即，所以 （k=1，2，n），累加，得1+ln（n+1）（nN*）【思路点拨】（1）通过对函数f（x）求导，讨论f（x）的单调性可得函数f（x）的最小值；（2）根据条件可得g（a）=aalna10，讨论g（a）的单调性即得结论；（3）由（2）得exx+1，即ln（x+1）x，通过令 （kN*），可得 （k=1，2，n），然后累加即可.