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【教材习题及解答】4-1 【答】所谓根轨迹，是指系统开环传递函数的某一参量从零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化而形成的轨迹。根轨迹反映了闭环系统特征根在s平面上的位置以及变化情况，所以应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。4-2【答】运用相角条件可以确定s平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点所对应的参数值。4-3【答】考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和零度根轨迹等。绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式的等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。 正反馈系统的闭环特征方程1G(s)H(s)=0与负反馈系统的闭环特征方程1+G(s)H(s)=0存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（p+2kp）是180根轨迹，正反馈系统的相角条件（0+2kp）是0根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则，如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角，根轨迹出射角与入射角等，都要变p+2kp角度为0+2kp。4-4【答】由于开环零极点的分布直接影响闭环根轨迹的形状和走向，所以增加开环零极点将使根轨迹的形状和走向发生改变，从而使系统性能也随之发生变化。一般来说，增加合适的开环零点，可使闭环系统的根轨迹产生向左变化的趋势，从而改善系统的稳定性和快速性。增加开环极点时，增加了根轨迹的条数，改变了根轨迹渐近线的方向，可使闭环系统的根轨迹产生向右变化的趋势，削弱系统的稳定性和快速性。增加开环零极点，都将改变根轨迹渐近线与实轴的交点与夹角，可能改变根轨迹在实轴上的分布。4-5 【解】(1) 将代入系统的开环传递函数有：，满足根轨迹的相角条件，故是该根轨迹上的点。当点在根轨迹上时，有。即于是，可得。(2) 系统的特征方程为，由劳斯表易得使闭环系统稳定的K*值的范围为-8 K* 90。4-6【答案】(a) (b) (c) (d)(e) (f) (g) (h)图4-10 开环传递函数根轨迹图4-7 【解】(1) ，绘制步骤如下：1) 该系统有3个开环极点，无开环零点，分别为p1-0.2，p2-0.5，p3-1。2) 系统有3条根轨迹分支，均趋向于无穷远处。3) 实轴上(-,-1和-0.5,-0.2区域为根轨迹。4) 由于n-m3，故系统有3条根轨迹渐近线，其倾角和起点坐标分别为：5) 确定根轨迹的分离点。根据开环传递函数表达式，有，代入方程，整理得到求解上述方程，得到，由于s2在根轨迹-0.5, -0.2上，故取分离点坐标为。6) 确定根轨迹与虚轴的交点。由系统的开环传递函数，可得对应的闭环特征方程为将sj代入上式，整理得到分别令上式中的实部和虚部为零，即解得0.89，K*1.26。系统的完整根轨迹如图4-11所示。图4-11 题4-7(1)系统的根轨迹图(2) ，绘制步骤如下：1) 该系统有2个开环极点，1个开环零点，分别为p1,2-1j3，z1-2。2) 系统有2条根轨迹分支，一条终止于有限开环零点z1-2，另一条趋向于无穷远处。3) 实轴上(-,-2区域为根轨迹。4) 由于n-m1，故系统只有1条根轨迹渐近线，其倾角和起点坐标分别为：5) 确定根轨迹的分离点或会合点。根据开环传递函数表达式，有，代入方程，整理得到求解上述方程，得到，由于s1在根轨迹(-,-2上，故取分离点坐标为。6) 确定根轨迹的出射角。由零、极点分布位置及出射角计算公式，得到点p1处的出射角为根据对称性，点p2处的出射角为-161.57。系统的完整根轨迹如图4-12所示。图4-12 题4-7(2)系统的根轨迹图(3) ，绘制步骤如下：1) 该系统有3个开环极点，1个开环零点，分别为p10，p2-2，p3-3，z1-5。2) 系统有3条根轨迹分支，其中一条终止于有限开环零点z1-5处，另两条则趋向于无穷远处。3) 实轴上-5,-3和-2,0区域为根轨迹。4) 由于n-m2，故系统有2条根轨迹渐近线，其与实轴的交角和交点分别为：5) 确定根轨迹的分离点。根据开环传递函数表达式，有，代入方程，整理得到求解上述方程，得到，由于s3在根轨迹-2,0上，故取分离点坐标为。系统的完整根轨迹如图4-13所示。图4-13 题4-7(3)系统的根轨迹图4-8【证】设s为系统根轨迹上的一点，则根据相角条件有然后，将sj代入上式，得到即移项，得对上式两边取正切，可得整理可得可见，这是一个以（-6,0）为圆心，以为半径的圆方程。即证明该系统的复数根轨迹部分为一圆，其圆心坐标为（-6,0），半径为。4-9【解】K*1时，系统的闭环特征方程为即则以T为参变量时的等效开环传递函数为以下绘制以T为参变量时的系统根轨迹：1) 等效开环传递函数有3个开环极点，无开环零点，即p10，p2,3-1。2) 新系统具有3条根轨迹，均终止于无穷远处。3) 实轴上的(-,-1和-1,0均为根轨迹区域。4) 新系统有3条根轨迹渐近线，与实轴正方向的夹角分别为和，交点为5) 根轨迹的分离点根据等效开环传递函数的表达式，有，于是解得s1-1，s2-1/3。显然，分离点坐标为d-1/3。6) 根轨迹与虚轴的交点以T为参变量时，系统的闭环特征方程为将sj代入上式，并令实部和虚部分别为零，得到求解上述方程组，得到解为根据以上信息，绘制的根轨迹如图4-14所示。图4-14 题4-9的参数根轨迹4-10图4-15 题4-10的系统结构图【解】系统的开环传递函数为系统的闭环特征方程为则以为参变量时的等效开环传递函数为以下绘制以为参变量时的系统根轨迹：1) 等效开环传递函数有2个开环极点和1个开环零点，即p1,2-1j3，z10。2) 新系统具有2条根轨迹，一条终止于z10，另一条终止于无穷远处。3) 实轴上的(-,0为根轨迹区域。4) 新系统有2条根轨迹渐近线，与实轴正方向的夹角分别为和，交点为5) 根轨迹的汇合点根据等效开环传递函数的表达式，有，于是解得。显然，汇合点坐标为d-3.16。6) 根轨迹的出射角， 根据以上信息，绘制的参数根轨迹如图4-16所示。图4-16 题4-10的系统根轨迹4-11【解】（1）确定满足条件的极点容许区域。由题意，及关系式，可得。根据，可得阻尼角。又由，及（为极点实部），可知。因此，极点容许区域如图4-17中的阴影区所示。图4-17 极点容许区域（2）确定根轨迹与容许区域边界交点处的K*值。用幅值条件不难确定实轴根轨迹与垂线s=-0.4375交点处的K*值为0.684；复平面上根轨迹与扇形区边界交点1j1.046处的K*值为2.094，故满足条件的K*值范围为0.684 K* 2.0944-12 【解】（1）由于已知开环传递函数是由两个有限极点和一个有限零点组成的，故该系统根轨迹的复数部分为一圆，其中圆心在有限零点z1-6处，半径为有限零点到分离点（会合点）的距离。由开环传递函数知：，。代入方程，整理得到：。解得s1-1.76，s2-10.24。由图可知，s1为分离点坐标，s2为会合点坐标。系统的根轨迹如图4-18所示。图4-18 题4-12系统增加开环零点后的根轨迹图（2）根据幅值条件，可知：分离点s1-1.76对应的开环根轨迹增益为会合点s2-10.24对应的开环根轨迹增益为由根轨迹图可知，当0K*0.515时，系统有两个相异的负实根，此时系统处于过阻尼状态，单位阶跃响应为非周期过程；当0.515K*17.485时，系统有一对负实部的共轭复根，此时系统处于欠阻尼状态，单位阶跃响应为衰减振荡过程；当K*17.485时，系统又具有两个相异的负实根，系统回到过阻尼状态；当K*0.515或17.485时，系统有两个相等的负实根，此时系统处于临界阻尼状态，单位阶跃响应为非周期过程，响应速度较过阻尼状态快。（3）过坐标原点作根轨迹圆的切线，切点为A，如图4-18所示。由关系式可知，该切线与负实轴夹角的余弦就是所要求的系统最小阻尼比，此时相应的A点坐标为-3+3j。根据对称性，系统最小阻尼比所对应的闭环极点为-33j。由幅值条件易知，A点处的开环根轨迹增益为因此，系统的闭环传递函数为单位阶跃输入时，有，因此，系统阶跃响应的拉氏变换为对上式求拉氏反变换，得到图4-19为该系统的单位阶跃响应曲线。由图可见，在系统最小阻尼比时，系统的单位阶跃响应具有较好的平稳性和快速性。图4-19 题4-12系统的单位阶跃响应曲线4-13 【解】（1）具体绘制步骤省略，得到的根轨迹如图4-20所示。图4-20 题4-13系统的根轨迹图（2）经计算根轨迹在实轴上的分离点坐标为d-0.423，根轨迹与虚轴的交点为，对应的临界开环根轨迹增益为K*6。当系统动态过程为衰减振荡形式时，说明系统处于欠阻尼工作状态，此时系统有一对负实部的共轭复数极点。从根轨迹图4-20可以看出，当闭环极点位于从分离点到虚轴交点之间的根轨迹时，系统处于欠阻尼工作状态。因此，只要求出分离点及虚轴交点处对应的开环根轨迹增益，就能得到满足题意的K*值范围。由幅值条件，可得分离点d处对应的开环根轨迹增益为因此，当0.385 K*6时，系统动态过程为衰减振荡形式。（3）显然，当K*6时，系统响应呈等幅振荡形式，对应的振荡频率为。（4）由题意，时，阻尼角。过坐标原点作两条与负实轴成60的射线，与根轨迹交于A、B两点，这两点即为系统的闭环主导极点。于是，A、B两点的坐标为。由于系统的nm2，因此闭环极点之和应等于开环极点之和，即由此可得第三个闭环极点为根据幅值条件，这三个闭环极点对应的开环根轨迹增益为由此可得系统的闭环传递函数为由于离虚轴的距离是离虚轴距离的7倍多，所以是系统的闭环主导极点。于是，可将此时的三阶系统，即时的闭环系统近似为二阶系统来处理。简化后系统的闭环传递函数为由此可得，。单位阶跃信号作用下的性能指标为由系统的开环传递函数知该系统为I型系统，故其静态速度误差系数为因此，系统在单位斜坡输入下的稳态误差为4-14【解】（1）正反馈系统的根轨迹（此时应按零度根轨迹规则绘制）1) 该系统有4个开环极点和1个开环零点，即p1,20，p3-2和p4-4，z1-1。2) 该系统有4条根轨迹分支，一条趋向于z1-1，其余三条均趋向于无穷远处。3) 实轴上-4,-2、-1,0和0,+)为根轨迹区域。4) 由于nm3，故系统有3条根轨迹渐近线，其与实轴的交角和交点分别为：5) 根轨迹的分离点。根据系统开环传递函数的表达式，可知，。代入方程，整理得到求解上述方程，得到方程的根为s10，s23.0837，s3,41.1248j0.6814根据实轴上系统根轨迹的分布，所以分离点坐标应取d-3.0837。正反馈系统的根轨迹如图4-21(a)所示。（2）负反馈系统的根轨迹（此时应按常规根轨迹规则绘制）1) 该系统有4个开环极点和1个开环零点，即p1,20，p3-2和p4-4，z1-1。2) 该系统有4条根轨迹分支，一条趋向于z1-1，其余三条均趋向于无穷远处。3) 实轴上(-,-4和-2,-1为根轨迹区域。4) 由于n-m3，故系统有3条根轨迹渐近线，其与实轴的交角和交点分别为：5) 根轨迹的分离点。根据系统开环传递函数的表达式，可知，。代入方程，整理得到求解上述方程，得到方程的根为s10，s2-3.0837，s3,4-1.1248j0.6814根据实轴上系统根轨迹的分布，所以分离点坐标应取d0。6) 根轨迹与虚轴的交点系统的闭环特征方程为将sj代入上式，并令实部和虚部分别为零，得到求解上述方程组，得到解为负反馈系统的根轨迹如图4-21(b)所示。 (a)正反馈系统根轨迹 (b)负反馈系统根轨迹图4-21 题4-14的系统根轨迹4-15 【解】(1) 当时，系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为于是，以Kt为参变量的等效开环传递函数为绘制以Kt为参变量的根轨迹，如图4-23所示。图4-23当时的参数根轨迹图根据参变量的等效开环传递函数表达式，可知，。代入方程，整理得到分离点方程如下：求解得到根据实轴上系统根轨迹的分布，取分离点坐标为d-6.28。此时，对应的根轨迹增益为在这种情况下，可以在0 Kt 0.7886范围内，通过改变Kt的值使系统的主导极点具有的最佳阻尼比。(2) 当时，系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为于是，以Ka为参变量的等效开环传递函数为绘制以Ka为参变量的根轨迹，如图4-24所示。图4-24当时的参数根轨迹图这种情况下，由于Ka的值越大，系统的闭环极点就越靠近虚轴，从而使系统的稳定性越差，因此不能通过改变Ka的值来使系统的性能达到最佳。(3) 当时，系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为于是，以Ka为参变量的等效开环传递函数为绘制以Ka为参变量的根轨迹，如图4-25所示。图4-25当时的参数根轨迹图这种情况下，也不能通过改变Ka的值来使系统的性能达到最佳。综上所述，应选取第一种传递函数，即。5-1 解：系统闭环传递函数为则，闭环频率特性为由线性系统频率特性的特点和已知的输入信号可得，系统的稳态输出分别为：(3) 根据线性系统叠加性有：5-2 解：系统闭环传递函数为对应的幅频和相频特性表达式分别为由题设条件知，。则：解之得：。5-3 解：奈氏曲线起点坐标为(，-90)，终点坐标为(0，-180)，可知图形位于第象限。如图5-10(a)所示。由传递函数知，该系统为典型型系统，当时的对数幅频特性曲线分别如图5-10(b)中的和所示。图5-10 题5-3（1）解答图奈氏曲线起点坐标为(，-180)，终点坐标为(0，-180)系统相位可见，时奈氏曲线位于第象限，时时奈氏曲线位于第象限。如图5-11(a)(b)所示。由传递函数知该系统为典型型系统，两种情况下的对数幅频特性曲线如图5-11(c)(d)所示。图5-11 题5-3（2）解答图。奈氏曲线起点为(1,0)，终点为(,0)系统相位为可见，时奈氏曲线位于第象限，如图5-12(a)中的所示；时奈氏曲线位于第象限，如图5-12(a)中的所示。时的对数幅频特性曲线如图5-12 (b) 中的所示；时的对数幅频特性曲线如图5-12 (b) 中的所示。图5-12 题5-3（3）解答图 (4) 则，奈氏曲线起点坐标为(1，0)，终点坐标为(1/T，-180)系统相位为可见，奈氏曲线位于第、象限，如图5-13(a)所示。由传递函数知该系统为非最小相位系统，Bode图与第（3）题相同。和时的对数幅频特性曲线分别如图5-13 (b) 中的和所示。图5-13 题5-3（4）解答图奈氏曲线起点坐标为(，-90)，终点坐标为(0，-270)因此，奈氏曲线位于第、象限，与负实轴有交点。令：则，由此概略绘制奈氏图如图5-14(a)所示。对数幅频特性图如图5-14 (b)所示。图5-14 题5-3（5）解答图奈氏曲线起点坐标为(，-180)，终点坐标为(0，-360)因此，奈氏曲线位于第、象限，与负实轴有交点。令则，由此概略绘制奈氏图如图5-15(a)图所示。由此概略绘制对数幅频特性图如图5-15 (b)图所示。图5-15 题5-3（6）解答图5-4 解： 令 则， 由此概略绘制对数幅频特性图如图5-17(a)图所示。令则，由此概略绘制对数幅频特性图如图5-17(b)图所示。 令则，令则，再设则有，由此概略绘制对数幅频特性图如图5-17(c)图所示。图5-17 题5-4解答图5-5 解：则，则且有两个惯性环节则，且在处有两个惯性环节则，则， 在处为振荡环节，；在处为二阶微分环节，则，由，在处有一振荡环节由则，在有两个惯性环节，在处有一个惯性环节则，5-6解：由奈氏曲线起点坐标为(，-180)，终点坐标为(0，-270)令，可知，在时，奈氏曲线与负实轴有交点，位于第、象限。且此时，可判断，奈氏图如图5-19(a)所示，作增补线，由奈氏判据可知系统闭环稳定。在时，奈氏图与负实轴无交点，位于象限，如图5-19(b)所示，作增补线，由奈氏判据可知系统闭环不稳定。图5-19 习题5-6解答图5-7 解：奈氏判据的内容是：如果系统开环传递函数中有P个不稳定的极点（即s右半平面的极点），则当=0变化时，开环奈氏曲线逆时针方向包围（-1, j0）点的圈数为N = P/2（即Z = 0）时系统闭环稳定；否则，不稳定。对于(a)图，P =1，N =1/2 = P/2，系统闭环稳定；对于(b)图，P =1，N = -1/2 P/2，系统闭环不稳定；对于(c)图，P =1，N = -1/2 P/2，系统闭环不稳定；对于(d)图，P =0，需做辅助线如图5-21(d)， 则N = 0 = P/2，系统闭环稳定；对于(e)图，P =2，需做辅助线如图5-21 (e)， 则 N = 1= P/2，系统闭环稳定；对于(f)图，P =0，需做辅助线如图5-21 (f )， 则N = -1 P/2，系统闭环不稳定；对于(g)图，P =1， 则N = 0.5 = P/2，系统闭环稳定；对于(h)图， P =2， 则N = 1= P/2，系统闭环稳定；对于(i)图，P =0，需做辅助线如图5-21 (i)， 则N+ = N-=1，N = N+ =N- =0 = P/2，系统闭环稳定；对于(j)图，P =1，需做辅助线如图5-21(j)， 则N = -1P/2，系统闭环不稳定；对于(k)图，P =0，需做辅助线如图5-21(k)， 则N = -1P/2，系统闭环不稳定；对于(l)图，P =2， 则N = 0 P/2，系统闭环不稳定；图5-21 习题5-7解答图5-8 解：奈氏曲线起点坐标为(，-90)，终点坐标为(0，-270)，曲线位于第、象限，与负实轴有交点，如图5-22所示。令(1)T=2时，,根据奈氏判据，要使系统稳定，奈氏曲线应不包围(-1, j0)点，即有：（2）时, 根据奈氏判据，要使系统稳定，奈氏曲线应不包围(-1, j0)点，即有：（3）同（2）方法可求出：,根据奈氏判据，要使系统稳定，奈氏曲线应不包围(-1, j0)点，即有：或者图5-22 习题5-8解答图5-9 解：由图知，开环奈氏曲线与负实轴有三个交点，设从左到右交点处相位截止频率频率分别为，系统开环传递函数可写为由题设条件知：当取时，若令，可得对应的K值分别为分别画出时的奈氏图，并作对应的增补辅助线，如图5-24所示。由奈氏判据可判断：，闭环系统稳定；，闭环系统不稳定。由此可得，系统闭环稳定时K的取值范围是。图5-24 习题5-9解答图5-10 解：（1）对于(a)图有，则 对于(b)图有，且低频段延长线与轴的交点频率为，则有对于(c)图有，且低频段与轴的交点频率为则，（2）对于(a)图，由对应传递函数知，相频特性为可见，时，。由此可大致画出相频特性如图5-26(a)所示。再由得，奈氏曲线起点坐标（100,0），终点坐标为(0,-180)，由此可大致画出系统奈氏图如图5-26(b)所示。图5-26 习题5-10（a）解答图对于(b)图，由对应传递函数知，该系统为典型型系统，相频特性为，且时，由此可大致画出其相频特性如图5-27(a)所示。再由，奈氏曲线起点坐标为（,-180），终点坐标为(0,-180)，且由相频特性可知奈氏曲线位于第象限。由此可大致画出其奈氏图如图5-27(b)所示。图5-27 习题5-10(b)解答图对于(c)图，有对应传递函数知，相频特性为且，即从的几何中心穿过轴。由此可大致画出其相频特性如图5-28(a)所示。再由知时，奈氏曲线起点坐标为（0,90），终点坐标为(0,-90)，且由相频特性可知奈氏曲线位于第、象限。由此可大致画出其奈氏图如图5-28(b)所示。图5-28 习题5-10(c)解答图5-11 解：（1）由相位裕量定义得由 （2）由相位裕量定义得 由。 （3）由 令 由和得 5-12 解：（1）由低频段延长线由图有， （2）该系统为最小相位系统，且则，系统相位裕量为，可知系统临界稳定。（3）令则，系统幅值裕量为，。5-13解：由结构图得，系统开环传递函数为 第一种方法，用劳斯判据。系统闭环特征方程为：因方程中，所以系统不稳定。 第二种方法，用奈氏判据。由奈氏曲线起点坐标为（,-90），终点坐标为(0,-270)，曲线位于第、象限。由此可大致画出其奈氏图如图5-31所示。令则，。可见，奈氏曲线包围（-1,j0）点，而中不含s有半平面极点，即P =0，所以系统不稳定。图5-31 习题5-13解答图5-14解：由教材5.3节图5-29可知，延迟系统的奈氏曲线是一条绕坐标原点顺时针旋转的螺旋线。要使系统稳定，则螺旋线应不包围(-1, j0)点，即对应于最小的相位穿越频率 (离原点最远的穿越频率) x处应有。即又由可见，的减函数，所以系统稳定时有。 5-15解：本系统含有延迟环节，奈氏曲线为螺旋线。由可得由可知，随的增大幅值递减，因此在系统稳定的范围内，对应最小穿越频率处 K 值最大。系统临界稳定时，在最小的处应有则，。5-16 解：系统开环传递函数为 对应的相位为 在穿越频率x处，令 系统临界稳定时，其奈氏曲线必经过(-1, j0)点，可令 将代入上式，可求得系统临界稳定时Kh=1。5-17 解：（1）根据开环对数幅频特性图可知：K=10，=1。则系统开环传递函数为 （2）根据开环对数幅频特性图有： 则系统相位裕量为： 所以，系统稳定。但由于相位裕量太小，系统仍不能稳定工作。将其对数幅频特性向右平移10倍频程后，各段斜率不变，幅值抬高，稳态精度提高，抗干扰能力降低。中频段c增大，快速性提高，但其斜率和中频宽度都没有改变，因此稳定性没有得到改善。5-18 解：（1）根据已知的开环对数幅频特性图可知：图a为型系统，低频段延长线与轴交点频率值为，则有： 系统开环传递函数为 系统的相位裕量为： 图b为型系统，低频段延长线与轴交点频率值为K，则有： 。则系统开环传递函数为 系统的相位裕量为： （2）根据求得的开环传递函数可知对(a)图：则，在作用下的稳态误差为 对(b)图：则，在作用下的稳态误差为 5-19 解：（1）根据的要求有： 由系统的开环传递函数知：该系统为型系统，且其幅频Bode图第一个转折频率，所以有：。 （2）该系统为型系统，。5-20 解：（1）时，系统开环传递函数为 根据穿越频率的定义有 则，幅值裕量 （2）时，系统开环传递函数为 由系统开环传递函数，按照各转折频率其幅值可近似表示为 根据幅值截止频率的定义有 则，系统相位裕量为 5-21 解：由题意得： 由Bode图得： 所以，系统的开环传递函数为： 本系统为典型型系统，系统的静态位置、速度、加速度误差系数分别为： 所以，系统对阶跃信号、斜坡信号的输入，稳态误差为零；对单位加速度信号输入的稳态误差为： 本系统为三阶型系统，时闭环极点为。不存在闭环主导极点，故按高阶系统估算超调量和调节时间。时系统的相位裕量为：闭环谐振峰值为 对应的超调量为 调节时间为则， 6-1 解：（1）由传递函数知，该系统为型系统。令，可得，原系统的相位裕量为因此，可用串联超前校正比较合适。（2）设，并取此时，近似有或者由校正原理图6-14可知图6-14 习题6-1图则：， 故，校正装置传递函数为。（3）校正后系统开环传递函数为由此可求得校正后系统的相位裕量为满足要求。6-2 解：（1）由传递函数知，该系统为型系统。则由稳态指标要求有：故，满足稳态性能的未校正系统开环传递函数为。令，可得，原系统的相位裕量为因此，选用串联超前校正比较合适。（2）设，并取。根据，则有：，取=5 按超前校正原理，应有，此时，近似有或者根据超前校正原理图6-15图6-15 习题6-2解答图有：则：， 故，校正装置传递函数为。（3）校正后系统开环传递函数为由此可求得校正后系统的相位裕量为满足要求。6-3 解：(1) 满足的原系统开环传递函数为。其对数幅频特性如图6-16中所示。图6-16 习题6-3解答图由图可见，则则校正前系统相位裕量为可见原系统不稳定，故选用串联滞后校正。(2) 设，并取则校正后系统的相位裕量应为： 。令解之得：（即通过计算法求得）。原系统在处的幅值近似为：则其对数幅值近似为：或者由图得：选择校正装置的转折频率，则。则，校正装置的传递函数为绘制对应的对数频率特性图如图6-16中所示。(4) 指标验算校正后系统的传递函数为绘制对应的对数频率特性图如图6-16中所示。由此可求得校正后系统的相位裕量为 由图可知，满足系统性能指标的要求。6-4 解：(1) ，满足稳态要求的原系统开环传递函数为。其对数幅频特性如图6-17中所示。图6-17 习题6-4解答图由图可见，则则校正前系统相位裕量为可见原系统不稳定，故选用串联滞后校正。(2) 设，取校正后系统截止频率s-1原系统在处的幅值近似为：则，其对数幅值近似为：或由图得：选取校正装置的转折频率，则。则，校正装置的传递函数为绘制对应的对数频率特性图如图6-17中所示。(4) 指标验算校正后系统的传递函数为绘制对应的对数频率特性图如图6-17中所示。由此可求得校正后系统的相位裕量为满足要求。6-5 设单位反馈系统的开环传递函数为若要求校正后系统的开环增益不小于12，超调量小于，调节时间小于3s，试确定串联滞后校正装置。参考答案：（方法同6-4）6-6 参考答案：（采用期望频率特性法，方法同例6-5）6-7 解：（1）系统为标准型，取K=256，则用分段线性化法分析得，原系统相位裕量为系统不稳定。（2）用期望频率特性法设计校正装置做原系统对数幅频特性曲线如图6-18中的所示。根据题意取，过做-20dB/dec直线段作为的中频段，为使校正后系统保持K=256，使预期开环对数幅频特性与原系统在低频段重合；为使校正装置及校正后系统简单，可使此在后的高频段与平行或重合。再由题意选取，则，期望特性中频段两端转折频率为则，中频宽度满足一般设计要求。从开始向左做-40dB/dec直线段与相交于；从开始向右做-40dB/dec直线段到，从处向右做-60dB/dec的直线。从而得到预期开环对数幅频特性曲线如图6-18中所示。对应开环传递函数为图6-18 题6-7解答图由可得对应开环传递函数为由可得到，校正装置对数幅频特性曲线如图6-18中的所示。则，校正装置传递函数为（3）指标校验由和表达式得，校正后系统相位裕量为满足设计要求。6-8 解：(1) 原系统开环传递函数为，Kv=K=200满足稳态要求。其开环对数幅频特性曲线如图6-20中所示，由图得。图6-20 题6-8解答图(2) 期望开环对数幅频特性的设计把性能指标，代入公式求校正后系统的动态指标，并取：。为满足指标要求，必须使校正后系统中频段以穿过0dB线。可认为期望频率特性的规律为：。为使校正装置简单，过作直线，交于，并取，使校正后系统中频宽度。相应的相位裕量为。过做的直线，交于。为使校正后系统简单，且不影响原系统的稳态精度和抗干扰能力，使校正后系统的低、高频段均与原系统重合。至此期望特性绘制完成，如图6-20中所示。由图可得校正后系统的开环传递函数为 (3) 确定校正环的开环对数频率特性由图可见，反馈校正装置只在的频段内起作用，此时由可得到此频段内校正环的开环对数幅频特性如图；而在的频段内不起作用，因此，为了使校正装置尽可能简单，一般要求曲线在这两个频段内，保持穿越斜率不变。由此可得到校正环的开环对数幅频特性曲线，如图6-20中所示。由可得到校正环的开环传递函数为(4) 检验校正环的稳定性检验校正环的稳定性主要就是检验在处的相位裕量。可见校正环稳定。在处的对数幅值基本满足的要求，说明误差在允许的范围之内。(5) 确定校正装置传递函数由图6-19得 则，(5) 验算有上述计算过程有则全部满足系统性能指标要求。6-9 解：比例控制器，比例-微分（PD）控制器，比例-积分（PI）控制器，比例-积分-微分（PID）控制器，比例校正装置，微分校正装置，检测装置，按扰动补偿的前馈装置，按输入补偿的前馈装置。6-10 解：比较可知：（1）校正后低频段斜率没变但高度下降，所以K减小，稳态精度降低。（2）校正后中频段斜率在之前由原来的，变为，所以增大，减小，稳定性提高；但，快速性变差。（3）校正后高频段衰减值增大，抗干扰能力提高。6-11 解：（1）由由（2），如图所示。（3）由图得，（4）比较可知： 低频段斜率增大（系统由0型变为型），且高度提高，K增大，使稳态精度提高。 中频段斜率由-40dB/dec变成-20dB/dec，所以稳定性提高（相位裕量由43.5提高到59），但减小使增大，快速性变差。 高频段衰减值增大，抗干扰能提高。6-12解：（1）由由（2）（3）由图得（4）校正前后系统的相位裕量为（5）比较可知，校正前后： 低频段高度和斜率都不变，因此稳态精度不变。 中频段斜率由-40dB/dec变成-20dB/dec，所以稳定性提高（相位裕量由负变正），但减小，使得增大，快速性变差。 高频段不变，抗干扰性不变。6-13 解： （1）由(a)图由由(b)图由（2）(a)图为滞后校正，可以改善系统的稳定性，同时可以提高系统的抗干扰性，但要以牺牲快速性为代价；(b)图为超前校正，可以改善系统的动态性能，包括快速性和稳定性，但会使系统抗扰性下降。6-14 解：（1）设PD控制器传递函数为则，系统的开环传递函数为，当是时，有相位裕量为： (2) 系统的开环传递函数为当，可以得到：相位裕量为：6-15 解：（1）有两种方法可以解答方法一 用Bode图定性分析。具体如下：先根据绘制校正前系统的对数幅频特性曲线，再根据串联校正原理，分别将将曲线与图6-27所示三种校正装置的对数幅频特性曲线在同一对数坐标系中分段叠加，得到校正后系统的对数幅频特性曲线。如图6-28所示。图6-28 习题6-15解答图由图2-28可知，(a)图校正后系统的对数幅频特性曲线中频段斜率为-40db/dec，而且之前的频段较短，所以系统不稳定；(b)(c)图校正后系统的对数幅频特性曲线中频段斜率都为-20db/dec，因此两种校正都能使系统稳定。但(c)图中频宽度为H=40/2=20倍，而(b)图中频宽度只有H=100/10=10倍，因此(c)图的校正装置会使校正后系统的稳定程度最好。方法二 用计算相位裕量来定量分析。具体如下：对(a)图 校正后系统开环传递函数为 由则，(b)图 校正后系统开环传递函数为 同理可求得，(c)图 校正后系统开环传递函数为 同理可求得可见，以图(c)为校正网络，系统的相位裕量最大，稳定性最好。（2），将12Hz的正弦噪声削弱10倍左右，也就是使处的幅值（增益）为0.1左右，或者使处的对数幅值为-20dB左右，应该采用(c)图的PID校正装置。原因分析如下：以(a)图做校正装置时，以(b)图做校正装置时，以(c)图做校正装置时，故采用(c)图校正网络可达到将12Hz的正弦噪声削弱10倍左右的要求。7-1 解：（1）令=0，即得系统的平衡状态为0，-1，1。（2）设时，系统的初始状态为，由微分方程可得两端积分后可得相轨迹如图7-22所示。当初始条件时，并且随着的增大，显然上式分子的衰减速率大于分母的衰减速率，使得递减，并收敛至平衡原点；而当时，若，且随着增大，显然上式分母的衰减速率大于分子的衰减速率，因此递增；尤其当时，上式分母，为无穷大，系统发散不稳定。图7-22 系统相轨迹7-2 解：（1）由于因此令，可得奇点为（0，0）。又由于，因此， 可知特征根为，故奇点（0，0）为中心点。根据奇点的位置和奇点类型，利用MATLAB程序可绘制出系统在奇点附近的相轨迹如图7-23所示。图7-23 系统相轨迹（2）由于，因此系统方程同理可得令，得奇点为（0，0）。根据系统的特征方程，可得相应的特征根为鞍点，。另由于，令，得等倾线方程为其中为等倾线的斜率。由于相轨迹的渐近线是特殊的等倾线，满足，则由上式不难得到，。相轨迹在这两条特殊的等倾线附近将沿着渐近线收敛或发散。根据不同值下等倾线的斜率，并利用MATLAB程序可作出系统的相轨迹如图7-24所示。图7-24 系统相轨迹（3）令，则，可知系统的奇点为，当，时，令，原方程变为在奇点（即）处的线性化方程为根据特征方程可得系统的特征根为，奇点为中心点。当，时，令，原方程变为在奇点（即）处的线性化方程为根据特征方程可得系统的特征根为，奇点为鞍点。令，得等倾线方程为根据不同值下等倾线的斜率和奇点类型，可绘制出系统的相轨迹如图7-25所示。图7-25 系统相轨迹7-3 解：（1）非线性系统的微分方程可改写为，其中，表示非线性函数。令联立可得系统的奇点为。奇点处一阶偏导数及增量线性化方程为 ， ，则根据特征方程可得系统的特征根为可知此时由于系统特征根为一对具有正实部的共轭复根，因此奇点为不稳定焦点。（2）极限环讨论令，并代入原方程后可得经整理可知以极坐标变量和所描述的运动方程为因此可知，当和时，即和时，相轨迹为封闭圆。当时，此时相轨迹向封闭单位圆发散逼近。当时，此时的相轨迹向封闭单位圆收敛逼近。而当时，此时的相轨迹发散至无穷远处。可知系统的封闭单位圆即为该非线性系统的稳定极限环。系统的相轨迹图如图7-26所示。图7-26 系统相轨迹7-4 解：由于，所以当幅值大小一致时，则越小，就越小，所以周期。而当幅值大小一致时，则越小，就越大，所以周期。7-5 解：（1）图7-28的左图经过如下结构图简化图7-29 系统结构图简化得线性部分的传递函数（2）图7-28右图经过如下结构图简化图7-30 系统结构图简化得线性部分的传递函数7-6 解：图a）为带死区的饱和特性，根据表7-1可知，其描述函数为： , 图b)中的非线性环节相当于下列死区继电非线性和死区非线性环节的并联图7-32 非线性环节并联等效非线性特性的描述函数为各非线性特性描述函数的代数和。因此 图c)中的非线性环节相当于下列两个死区继电非线性环节的并联，因此图7-33 非线性环节，7-7 解：设当输入为时有；因为是的奇函数，所以；同时是的奇函数，故。因此具有半周期对称特性，所以由定积分公式可得则该非线性系统的描述函数为7-8 判断图7-35所示各系统是否稳定；图7-35 题7-8的自振分析与的交点是否为自振点。解：（a）由于曲线与曲线有交点，在该点处产生稳定自激振荡。（b）由于曲线与曲线存在三个交点，由于在和点处，曲线沿着振幅增加的方向由不稳定区域进入稳定区域，因此在和点处产生稳定自激振荡。在点处，曲线由稳定区域进入不稳定区域，产生不稳定的周期运动。（c）由于曲线与曲线有交点，在该点处产生稳定自激振荡。（d）由于曲线与曲线没有交点，而且位于稳定区域，因此系统稳定。7-9 解：曲线逆时针补画半径为的圆。（1）时，由奈氏判据可知，其中为包围负倒描述函数的个数：当，时，由奈氏判据可知初始振幅位于不稳定区域，因此的值不断增大。同理可知，当，时，初始振幅位于稳定区域，的值会不断减小。（2）时，由奈氏判据可知，当，时，由奈氏判据可知初始振幅位于不稳定区域，因此的值不断增大。同时可知，当，时，初始振幅位于稳定区域，的值不断减小。7-10 解：（1）非线性环节的描述函数为，其负倒描述函数为为单调减函数，作曲线如图7-38所示。图7-38 稳定性分析线性部分的曲线如图7-38所示，其穿越频率曲线与负实轴的交点为当时，曲线不包围曲线，系统稳定。当时，曲线和曲线存在交点（，0），曲线由不稳定区域进入稳定区域，系统存在稳定的自振。当时，曲线完全包围曲线，系统不稳定。由以上讨论可知，随着的增大，系统由稳定变成自振，最终不稳定。（2）当系统产生稳定的周期运动时，确定自振参数由描述函数分析法可知得系统振幅为，另外由（1）分析可知，系统的振荡频率为。7-11 解：根据串联合并关系，描述函数：，令，则：令=0，解得。由极值条件知，当时，负倒描述函数曲线有一个极大值，为。大致曲线如图7-40所示。图7-40 稳定性分析在同一平面内绘制曲线，其穿越负实轴的频率为与负实轴的交点为：根据，可以求出即 。求解可得：，。根据周期运动稳定性判定办法可知，对应不稳定的运动，对应于稳定的周期运动，因此，当扰动使得时，存在自激震荡。7-12 解：由图7-41可得开关线为。求解可以得到这两个方程分别对应平面上开口向右、向左顶点在轴上的两条抛物线。位置与初始条件或另一个区域的想轨迹与开关线的交点有关。开关线是过坐标原点的直线，斜率与值有关。1）当时，开关线为轴，相轨迹由两个抛物线封闭组成，对应的运动是周期运动，如图7-42所示。图7-42 系统相轨迹2）当时，开关线向右倾斜，位于，象限，相轨迹仍由抛物线组成，但每次转换时，均增加，对应的运动为震荡发散，如图7-43所示。图7-43 系统相轨迹当时，开关线向左倾斜，位于，象限，相轨迹还是由抛物线组成，但每次转换时，均减小，对应的运动是震荡收敛，相轨迹如图7-44所示。图7-44 系统相轨迹7-13 解：由系统结构图可知 另由于，因此进而可得：根据线性系统特征根的分布，来判定奇点的类型。在区，奇点，为平衡点。在区，奇点，为平衡点。根据MATLAB可得系统的相轨迹如图7-46所示。可见系统振荡收敛于平衡点。 图7-46 系统相轨迹7-14 解：根据图7-47，有系统的分段微分方程：其相轨迹如图7-48所示。可见，在开关线上相轨迹跳至另一条相轨迹。图7-48 系统相轨迹在升温时，相轨迹沿着AB运动，且AB的相轨迹方程为：结合相平面图可见，保温精度为。7-15 解：由系统结构图可知，其中为非线性环节的输出在比较点处，综合各式并整理可得在区（），奇点为，其特征方程的特征根为两纯虚根，因此奇点为中心点。在区（），奇点为，其特征方程的特征根为两纯虚根，因此奇点为中心点。在区（），奇点为，其特征方程的特征根为两纯虚根，因此奇点为中心点。下面利用积分法来求解系统相轨迹。在区（）， 积分可得，为一椭圆。在区（）， 积分可得，为一中心在的圆。在区（）， 积分可得，为一中心在的圆。该非线性系统的相轨迹和输出曲线分别如图7-50和图7-51所示。由图7-50可知，相轨迹从区的点处出发，在点切换至区，运动到点又切换至区，运动到点处后再次进入区，然后运动到点处后最终又切换回区，并回到点，形成一个循环。由图7-51可见系统的输出是一个周期运动。图7-50 系统相轨迹 图7-51 系统输出曲线7-16 解:在simulink中搭建系统框图，运行得到仿真结果如图7-52所示。（1）由饱和特性的数学表达式和系统运动过程的微分方程，可以写出以误差为输出变量的系统运动方程，。由于阶跃响应时，有，因此系统运动方程可写成：。当非线性系统工作在区，即线性区时的运动方程为 。不难求出，原点(0，0)为I区相轨迹的奇点，该奇点因位于I区内，故为实奇点。若，则系统在I区工作于欠阻尼状态，会有超调，且此时的奇点(0，0)为稳定焦点。图7-52 系统输出曲线（2）结合simulink仿真如可以看出，饱和特性的存在，使等效增益随输入的增大而减小，使稳定系统的开环增益下降，超调量减小，因此有利于动态响应的平稳性，但同时会降低系统的稳态精度。（3）系统的开环放大倍数由于饱和限幅环节的存在而变小，阻尼比变大，无阻尼自振频率变小，惯性时间常数变大。7-17 解：将3个串联非线性环节进行等效合并。由于反馈通道饱和特性与前向通道饱和特性同时进入饱和状态，所以反馈通道的非线性环节相当于不起作用。将前向通道的另两个非线性环节合并可得如图7-54所示，即非线性环节的输出为图7-54 非线性系统简化因此可得非线性环节的描述函数为其负倒描述函数为式中，。因对该负倒描述函数求导后，可知在取得极值，即同时该系统线性环节的频率特性为令，有，则，。绘制与的曲线于图7-55中。可知，与曲线相交，系统存在自激振荡。另由可知，自振频率，自振振幅。最后，利用下列MATLAB程序可得系统的相平面图和系统状态曲线分别如图7-56和图7-57所示。图7-55 稳定性分析图7-56 系统相轨迹图7-57 系统状态曲线8-1 解：（1）该函数采样后所得的脉冲序列为代入变换的定义式可得两边同时乘以，得两式相减，若，该级数收敛，同样利用等比级数求和公式，可得最后该变换的闭合形式为（2）对取拉普拉斯变换，得展开为部分分式，即可以得到化简后得（3）解：将上式展开为部分分式，得查表可得（4）解：对上式两边进行变换可得查表可得8-2 解：（1）由于所以查表可得，所以可得的反变换为（2）由于所以查表可得所以的反变换为（3）由长除法可得所以其反变换为（4）解法1：由反演积分法，得解法2：
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