2019-2020年高三10月月考数学试卷 含解析.doc

2019-2020年高三10月月考数学试卷 含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上.1抛物线y=4x2的焦点坐标是2复数z满足iz=|1i|，则z的虚部为3运行如图所示的程序，输出的结果是4甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A、B、C这3所院校中选择一所填报志愿假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A、B至少有一所被选择的概率为5为了了解某次参加知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是6命题“若是锐角，则sin0”的否命题是7已知+=2，则a=8在等比数列an中，已知a1=1，ak=243，q=3，则数列an的前k项的和Sk=9求值：4sin20+tan20=10设l是一条直线，是不同的平面，则在下列命题中，假命题是如果，那么内一定存在直线平行于如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于如果，=l，那么l如果，l与，都相交，那么l与，所成的角互余11向量=（cos10，sin10），=（cos70，sin70），|2|=12若正实数x，y，z满足x+y+z=1，则+的最小值是13将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位长度，所得图象与g（x）=cosx的图象重合，则正数的最小值是14设函数f（x）=lnx+，mR，若对任意ba0，1恒成立，则m的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15（14分）设向量=（2，sin），=（1，cos），为锐角（1）若=，求sin+cos的值；（2）若，求sin（2+）的值16（14分）如图，在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且=（1）若EF平面ABD，求实数的值；（2）求证：平面BCD平面AED17（14分）已知数列an的各项均为正数，其前n项和Sn=（an1）（an+2），nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=（1）nanan+1，求数列bn的前2n项的和T2n18（16分）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率19（16分）已知椭圆E：的离心率为，且过点，设椭圆的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为（1）求椭圆E的方程及圆O的方程；（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上20（16分）设函数f（x）=x（x1）2，x0（1）求f（x）的极值；（2）设0a1，记f（x）在（0，a上的最大值为F（a），求函数的最小值；（3）设函数g（x）=lnx2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）x+mf（x）在（0，+）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值A.（附加题A.）选修4-2：矩阵与变换21求曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积B选修4-4：坐标系与参数方程22在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为=2cos+2sin，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长六、必做题第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤23（10分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC=60，PA=，M为PC的中点（1）求异面直线PB与MD所成的角的大小；（2）求平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值24（10分）若存在n个不同的正整数a1，a2，an，对任意1ijn，都有Z，则称这n个不同的正整数a1，a2，an为“n个好数”（1）请分别对n=2，n=3构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数n（n2），均存在“n个好数”xx学年江苏省南京一中实验学校高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上.1抛物线y=4x2的焦点坐标是【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案【解答】解：由题意可知p=焦点坐标为故答案为【点评】本题主要考查抛物线的性质属基础题2复数z满足iz=|1i|，则z的虚部为【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】由iz=|1i|，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案【解答】解：由iz=|1i|，得=，则z的虚部为：故答案为：【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3运行如图所示的程序，输出的结果是1【考点】赋值语句【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图【分析】模拟程序语言的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果【解答】解：模拟程序语言的运行过程，如下；a=1，b=2，a=1+2=3，b=23=1；输出b=1故答案为：1【点评】本题考查了程序语言的语言问题，是基础题目4甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A、B、C这3所院校中选择一所填报志愿假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A、B至少有一所被选择的概率为【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】院校A、B至少有一所被选择的对立事件是院校A、B都没有被选择，由此利用对立事件概率计算公式能求出院校A、B至少有一所被选择的概率【解答】解：甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A、B、C这3所院校中选择一所填报志愿假设每位同学选择各个院校是等可能的，则基本事件总数n=33=9，院校A、B至少有一所被选择的对立事件是院校A、B都没有被选择，院校A、B至少有一所被选择的概率：p=1=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用5为了了解某次参加知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是2【考点】系统抽样方法【专题】计算题【分析】从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，系统抽样的前面两个步骤是：（1）将总体中的N个个体进行编号；（2）将整个编号按k分段，当 为整数时，k=；当 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体的个数N能被n整除，本题中学生总数不能被容量整除，故应从总体中随机剔除个体，保证整除即可【解答】解：学生总数不能被容量整除，根据系统抽样的方法，应从总体中随机剔除个体，保证整除1252=5025+2，故应从总体中随机剔除个体的数目是2，故答案为：2【点评】本题考查系统抽样，系统抽样的步骤，得到总数不能被容量整除时，应从总体中随机剔除个体，保证整除是解题的关键，属于基础题6命题“若是锐角，则sin0”的否命题是若不是锐角，则 sin0【考点】四种命题间的逆否关系【专题】探究型【分析】根据否命题与原命题之间的关系求解即可【解答】解：根据否命题的定义可知，命题“若是锐角，则sin0”的否命题是：若不是锐角，则 sin0故答案为：若不是锐角，则 sin0【点评】本题主要考查四种命题之间的关系，比较基础7（xx海门市校级模拟）已知+=2，则a=【考点】对数的运算性质【专题】计算题【分析】利用换底公式对等式进行化简，便可求出a值【解答】解：，可化为loga2+loga3=2，即loga6=2，所以a2=6，又a0，所以a=故答案为：【点评】本题主要考查对数的运算性质及其应用，考查运算能力，熟记相关公式并能灵活应用是解决该类题目的基础8在等比数列an中，已知a1=1，ak=243，q=3，则数列an的前k项的和Sk=364【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】已知首项和公比，可以求出等比数列的前n项和公式，再代入ak=243，根据等比数列前n项和公式进行求解；【解答】解：等比数列前n项和为sn=，等比数列an中，已知a1=1，ak=243，q=3，数列an的前k项的和Sk=364，故答案为：364；【点评】此题主要考查等比数列前n项和公式，直接代入公式进行求解，会比较简单；9求值：4sin20+tan20=【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【专题】计算题【分析】把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系切化弦后通分，再利用二倍角的正弦函数公式化简，利用和差化积公式及特殊角的三角函数值化简后，利用诱导公式及和差化积再化简，即可求出值【解答】解：4sin20+tan20=4sin20+=故答案为：【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用和差化积公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题10设l是一条直线，是不同的平面，则在下列命题中，假命题是如果，那么内一定存在直线平行于如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于如果，=l，那么l如果，l与，都相交，那么l与，所成的角互余【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】利用面面垂直的判定定理和性质定理对四个命题分别分析解答【解答】解：如果，那么与一定相交，所以在内一定存在直线平行于；正确；如果不垂直于，又不同，那么与相交不垂直或者平行，所以内一定不存在直线垂直于；正确；如果，=l，根据面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，可以得到l；故正确；如果，l与，都相交，当l与交线垂直时，l与，所成的角互余；当直线l与交线不垂直，l与，所成的不角互余；故错误；故答案为：【点评】本题考查了空间平面的位置关系；熟练掌握面面垂直的判定定理和性质定理是正确选择的关键11向量=（cos10，sin10），=（cos70，sin70），|2|=【考点】向量的模；平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】利用数量积运算及其性质、向量模的计算公式即可得出【解答】解：向量=（cos10，sin10），=（cos70，sin70），=cos10cos70+sin10sin70=cos（7010）=cos60=|=1，同理=1|2|=故答案为：【点评】本题考查了数量积运算及其性质、向量模的计算公式，属于基础题12若正实数x，y，z满足x+y+z=1，则+的最小值是3【考点】基本不等式【专题】转化法；不等式【分析】由题意：x+y+z=1，那么，利用基本不等式求解【解答】解：由题意：x、y、z0，满足x+y+z=1则+=1+当且仅当z=x+y=时，取等号+的最小值为3故答案为：3【点评】本题考查了基本不等式的变形化简能力和运用能力属于基础题13将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位长度，所得图象与g（x）=cosx的图象重合，则正数的最小值是6【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题；函数思想；三角函数的图像与性质【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，诱导公式，得出结论【解答】解：将f（x）=sinx（0）的图象向右平移个单位长度后，可得y=sin（x）=sin（x）的图象，根据所得图象与函数y=cosx的图象重合，可得=2k+，即=8k2，kZ，故当k=1时，取得最小值为6，故答案是：6【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，诱导公式，属于基础题14（xx春宜春校级期末）设函数f（x）=lnx+，mR，若对任意ba0，1恒成立，则m的取值范围为，+）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用【分析】由ba0，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；即h（x）=f（x）x在（0，+）上单调递减；h（x）0，求出m的取值范围【解答】（）对任意ba0，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；设h（x）=f（x）x=lnx+x（x0），则h（b）h（a）h（x）在（0，+）上单调递减；h（x）=10在（0，+）上恒成立，mx2+x=（x）2+（x0），m；对于m=，h（x）=0仅在x=时成立；m的取值范围是，+）【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15（14分）（xx南京二模）设向量=（2，sin），=（1，cos），为锐角（1）若=，求sin+cos的值；（2）若，求sin（2+）的值【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数的恒等变换及化简求值【专题】计算题；证明题【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式列式并化简，得sincos=再由同角三角函数的平方关系，可得（sin+cos）2的值，结合为锐角，开方即得sin+cos的值；（2）根据两个向量平行的充要条件列式，化简得tan=2再由二倍角的正、余弦公式，结合弦化切的运算技巧，算出sin2和cos2的值，最后根据两角和的正弦公式，可得sin（2+）的值【解答】解：（1）=2+sincos=，sincos= （sin+cos）2=1+2sincos=又为锐角，sin+cos=（舍负） （2），2cos=sin1，可得tan=2 sin2=2sincos=，cos2=cos2sin2=所以sin（2+）=sin2+cos2=+（ ）=【点评】本题以平面向量数量积运算为载体，考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式等知识，属于中档题16（14分）（xx南通模拟）如图，在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且=（1）若EF平面ABD，求实数的值；（2）求证：平面BCD平面AED【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】计算题【分析】（1）因为EF平面ABD，所以EF平面ABC，EFAB，由此能够求出实数的值（2）因为AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，所以BCAE，BCDE，由此能够证明平面BCD平面AED【解答】解：（1）因为EF平面ABD，易得EF平面ABC，平面ABC平面ABD=AB，所以EFAB，又点E是BC的中点，点F在线段AC上，所以点F为AC的中点，由得；（2）因为AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，所以BCAE，BCDE，又AEDE=E，AE、DE平面AED，所以BC平面AED，而BC平面BCD，所以平面BCD平面AED【点评】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力17（14分）已知数列an的各项均为正数，其前n项和Sn=（an1）（an+2），nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=（1）nanan+1，求数列bn的前2n项的和T2n【考点】数列递推式；数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）n=1，先求出a1，利用条件再写一式，两式相减，可得anan1=1，从而可求数列an的通项公式；（2）数列bn的前2n项的和T2n=a1a2+a2a3+a2na2n+1=2（a2+a4+a2n），又a2，a4，a2n是首项为3，公差为2的等差数列，从而可得结论【解答】解：（1）当n=1时，S1=（a11）（a1+2），所以a1=1或a1=2，因为数列an的各项均为正数，所以a1=2 （2分）当n2时，Sn=（an1）（an+2），Sn1=（an11）（an1+2），两式相减得：（an+an1）（anan11）=0，（6分）又因为数列an的各项均为正数，所以an+an10，所以anan1=1，所以an=n+1； （8分）（2）因为bn=（1）nanan+1，所以数列bn的前2n项的和T2n=a1a2+a2a3+a2na2n+1=2（a2+a4+a2n），（11分）又a2，a4，a2n是首项为3，公差为2的等差数列，所以a2+a4+a2n=n2+2n，故T2n=2n2+4n （14分）【点评】本题考查等差数列的通项与求和，考查数列递推式，确定数列的通项是关键18（16分）（xx岳阳模拟）某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义【专题】应用题【分析】（1）当1x20时，f（x）=1，易知f（1）=f（2）=f（3）=f（9）=f（10）=1，从而知（2）求第x个月的当月利润率，要考虑1x20，21x60时f（x）的值，代入即可（3）求那个月的当月利润率最大时，由（2）得出的分段函数，利用函数的单调性，基本不等式可得，解答如下：【解答】解：（1）由题意得：f（1）=f（2）=f（3）=f（9）=f（10）=1g（x）=（2）当1x20时，f（1）=f（2）f（x1）=f（x）=1g（x）=当21x60时，g（x）=当第x个月的当月利润率；（3）当1x20时，是减函数，此时g（x）的最大值为当21x60时，当且仅当时，即x=40时，又，当x=40时，所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为【点评】本题是分段函数的应用题，借助分段函数考查反函数的单调性，基本不等式的应用，求分段函数的最值，综合性强，难度适中，值得学习19（16分）（2011镇江一模）已知椭圆E：的离心率为，且过点，设椭圆的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为（1）求椭圆E的方程及圆O的方程；（2）若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点Q，对于圆O上任意一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上【考点】圆与圆锥曲线的综合【专题】综合题【分析】（1）由椭圆E的离心率为，知a=2k，c=，b2=2k2，即椭圆E：，把点代入得k2=2，由此能求出椭圆E方程和圆的方程（2）椭圆E的右准线l的方程为x=4设l上取定的点M为（4，t），圆O上任意的一点N为（x0，y0），定点Q为（x，y）由此能求出定值为：，Q在圆心，半径为的定圆上【解答】（1）解：椭圆E：的离心率为，a=2k，c=，b2=2k2，椭圆E：，把点代入得k2=2，椭圆E方程：圆的方程：x2+y2=4（2）证明：椭圆E的右准线l的方程为x=4设l上取定的点M为（4，t），圆O上任意的一点N为（x0，y0），定点Q为（x，y）NM与NQ的比是常数且Q不同于M，NQ2=NM2，是正的常数（1），即（x0x）2+（y0y）2=（x04）2+（y0t）2，即x02+y022xx02yy0+x2+y2=（x02+y02+16+t28x02ty0）将x02+y02=4代入，有2xx02yy0+x2+y2+4=8x02ty0+（20+t2）又有无数组（x0，y0），由代入，得162+t22+4=（20+t2），即（16+t2）2（20+t2）+4=0，（1）（16+t2）4=0又1，=，即存在一个定点Q（不同于点M），使得对于圆O上的任意一点N，均有为定值将16+t2=代入，得x2+y2+4=（+4），即x2+y2=4，于是x2+y2=x，即（x）2+y2=，故点Q在圆心（，0），半径为的定圆上定值为：，Q在圆心，半径为的定圆上【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件20（16分）（2011镇江一模）设函数f（x）=x（x1）2，x0（1）求f（x）的极值；（2）设0a1，记f（x）在（0，a上的最大值为F（a），求函数的最小值；（3）设函数g（x）=lnx2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）x+mf（x）在（0，+）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】计算题；压轴题【分析】（1）求导，令f（x）=0得x=或x=1，令f（x）0，令f（x）0得f（x）的单调性，确定函数f（x）的极值（2）由（1）知f（x）的单调性，以极值点为界，把a分成两类讨论，在两类分别求出F（a），求G（a），求G（a）最小值，两个最小值最小者，即为所求（3）把连等式分成两个不等式x+mg（x）0和f（x）xm0在（0，+）上恒成立的问题，把不等式的左边看作一个函数，利用导数求最小值，两个范围求交集再由实数m有且只有一个，可求m，进而求t【解答】解：（1）f（x）=（x1）2+2x（x1）=3x24x+1=（3x1）（x1），x0令f（x）=0，得x=或x=1，f（x），f（x）随x的变化情况如下表当x=时，有极大值f（）=，当x=1时，有极小值f（1）=0（2）由（1）知：f（x）在（0，1，+）上是增函数，在，1上是减函数，0a时，F（a）=a（a1）2，G（a）=（a1）2特别的，当a=时，有G（a）=，当a1时，F（a）=f（）=，G（a）=特别的，当a=1时，有G（a）=，由知，当0a1时，函数的最小值为（3）由已知得h1（x）=x+mg（x）=2x23xlnx+mt0在（0，+）上恒成立，x（0，1）时，h1（x）0，x（1，+）时，h1（x）0x=1时，h1（x）取极小值，也是最小值，当h1（1）=mt10，mt+1时，h1（x）0在（0，+）上恒成立，同样，h2（x）=f（x）xm=x32x2m0在（0，+）上恒成立，h2（x）=3x（x），x（0，）时，h2（x）0，x（，+），h2（x）0，x=时，h2（x）取极小值，也是最小值，=m0，m时，h2（x）0在（0，+）上恒成立，t+1m，实数m有且只有一个，m=，t=【点评】本题了考查导数与极值的关系，若f（a）=0：a的左侧f（x）0，a的右侧f（x）0则a是极大值点；a的左侧f（x）0，a的右侧f（x）0则a是极小值点；求F（a）时，要分类讨论，在求参数的范围时，经过两次转化为求函数的最值，使问题得以解决A.（附加题A.）选修4-2：矩阵与变换21（xx南通模拟）求曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积【考点】几种特殊的矩阵变换【专题】数形结合；转化思想；矩阵和变换【分析】将曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用进行化简，作出表示的曲线所围成的图形即可得到结论【解答】解：设曲线|x|+|y|=1上（x0，y0）在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线对应点为（x，y），=，即x0=x，y0=3y，代入|x|+|y|=1中得：|x|+|3y|=1，当x0，y0时，方程等价于x+3y=1；当x0，y0时，方程等价于x3y=1；当x0，y0时，方程等价于x+3y=1；当x0，y0时，方程等价于x3y=1，其图象为菱形ABCD，则曲线|x|+|y|=1在矩阵M=对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积为2=【点评】此题考查了几种特殊的矩形变换，确定出变换后的曲线方程是解本题的关键B选修4-4：坐标系与参数方程22（xx江苏模拟）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为=2cos+2sin，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【专题】坐标系和参数方程【分析】求出曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心与半径，直线的参数方程为普通方程，利用圆心距半径半弦长满足勾股定理求解弦长即可【解答】解：曲线C的直角坐标方程为x2+y22x2y=0，圆心为（1，1），半径为，（3分）直线的直角坐标方程为xy=0，所以圆心到直线的距离为d=，（8分）所以弦长=2=（10分）【点评】本题考查极坐标与参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系，考查计算能力六、必做题第22题，第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤23（10分）（xx江苏模拟）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC=60，PA=，M为PC的中点（1）求异面直线PB与MD所成的角的大小；（2）求平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）建立坐标系设AC与BD交于点O，以O为顶点，向量，为x，y轴，平行于AP且方向向上的向量为z轴建立直角坐标系求解得出COS，=即可得出夹角（2）求解平面PCD的法向量为1=（x1，y1，z1），平面PAD的法向量为=（x2，y2，z2），利用cos，=，得出sin，=即可得出平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值【解答】解：（1）设AC与BD交于点O，以O为顶点，向量，为x，y轴，平行于AP且方向向上的向量为z轴建立直角坐标系则A（1，0，0），C（1，0，0），B（0，0），D（0，0），P（1，0，），所以M（0，0，），=（0，），=（1，），COS，=0，所以异面直线PB与MD所成的角为90（2）设平面PCD的法向量为1=（x1，y1，z1），平面PAD的法向量为=（x2，y2，z2），因为=（1，0），=（1，），=（0，0，），由即令y1=1，得出=（，1，），由令y2=1，得=（，1，0），所以cos，=，所以sin，=即可得出平面PCD与平面PAD所成的二面角的正弦值【点评】本题考查了空间向量解决直线与直线的夹角，平面于平面的夹角，关键是准确求解向量的坐标，数量积，属于中档题24（10分）（xx江苏模拟）若存在n个不同的正整数a1，a2，an，对任意1ijn，都有Z，则称这n个不同的正整数a1，a2，an为“n个好数”（1）请分别对n=2，n=3构造一组“好数”；（2）证明：对任意正整数n（n2），均存在“n个好数”【考点】进行简单的合情推理【专题】综合题；转化思想；综合法；推理和证明【分析】（1）利用新定义，分别对n=2，n=3构造一组“好数”；（2）利用数学归纳法进行证明即可【解答】解：（1）当n=2时，取数a1=1，a2=2，因为=3Z，当n=3时，取数a1=2，a2=3，a3=4，则=5Z，=7Z，=3Z，即a1=2，a2=3，a3=4可构成三个好数（2）证：由（1）知当n=2，3时均存在，假设命题当n=k（k2，kZ）时，存在k个不同的正整数a1，a2，ak，使得对任意1ijk，都有Z成立，则当n=k+1时，构造k+1个数A，A+a1，A+a2，A+ak，（*）其中A=12ak，若在（*）中取到的是A和A+ai，则=1Z，所以成立，若取到的是A+ai和A+aj，且ij，则=+，由归纳假设得Z，又ajaiak，所以ajai是A的一个因子，即Z，所以=+Z，所以当n=k+1时也成立所以对任意正整数，均存在“n个好数”【点评】本题考查新定义，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题