2019-2020年高三数学暑假培优暨竞赛辅导（7） Word版含答案.doc

2019-2020年高三数学暑假培优暨竞赛辅导（7） Word版含答案1、 已知是方程的两个根，则 2、已知平面向量，满足，的夹角等于，且，则的取值范围是 3、定义：x，y为实数x，y中较小的数已知，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是 4、对一切实数，所有的二次函数的值均为非负实数， 则的最大值是 5、我们将若干个数x，y，z，的最大值和最小值分别记为max（x，y，z，）和min（x，y，z，）。已知a+b+c+d+e+f+g=1，求minmax（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）6、若集合：，则当= 时，为含有两个元素的集合？7、实数x，y满足x22xsin(xy)1，则xxx6sin5y_.8、已知x是方程x4bx2c0的根，b，c为整数，则bc_.9、已知f(x)ax5bsin5x1，且f5，则f(1)10、已知(3xy)xxxxx4xy0，则4xy的值.为 11、设表示不大于的最大整数，集合，则 _12、设是实数且满足，证明、中最多有两个数大于1 13、（1）为非负实数，证明：（2）设，证明14、设取正实数，且，求三元函数的最小值，并给出证明15、求所有的实数，使得不等式对任意的都成立16、设a为实数，设函数的最大值为g(a)。（）设，求的取值范围，并把表示为的函数（4分） （）求 （6分） （）试求满足的所有实数（6分）xx级暑假培优暨竞赛辅导（7）编辑：姚亚军2、 已知是方程的两个根，则 解 原方程变形为，即.令，则，解得.所以或，所以方程的两根分别为和，所以（第4题图）2、已知平面向量，满足，的夹角等于，且，则的取值范围是 解析：如图，设ABC中，由余弦定理得，由知，点的轨迹是以为直径的圆，且，故；3、定义：x，y为实数x，y中较小的数已知，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是 解析：易得，所以（当且仅当时取等号）；4、对一切实数，所有的二次函数的值均为非负实数， 则的最大值是 设，则依题意有，即，即故 当且仅当 即时取等号5、我们将若干个数x，y，z，的最大值和最小值分别记为max（x，y，z，）和min（x，y，z，）。已知a+b+c+d+e+f+g=1，求minmax（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）解：设 M=max（a+b+c，b+c+d，c+d+e，d+e+f，e+f+g）。因为a+b+c，c+d+e，e+f+g都不大于M，所以6、若集合：，则当= 时，为含有两个元素的集合？解：=。与分别为方程组（） （）的解集。由（）解得（）=（0，1）=（，）；由（）解得（）=（1，0），（，）使恰有两个元素的情况只有两种可能： 由解得=0；由解得=1。故=0或1时，恰有两个元素。注：使恰有三个元素的情况是：= 解得，故当时，恰有三个元素。7、实数x，y满足x22xsin(xy)1，则xxx6sin5y_.解：如果x、y不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法(xsin(xy)2cos2(xy)0 xsin(xy) 且 cos(xy)0 xsin(xy)1 siny1 xsin(xy)1原式78、已知x是方程x4bx2c0的根，b，c为整数，则bc_.解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？)由已知变形得x x22x1999即 x2802x再平方得x4160x2640076x2即 x4236x264000 b236，c6400bc61649、已知f(x)ax5bsin5x1，且f5，则f(1)解： fabsin5115 设f(1)absin5(1)1k相加：ff(1)25k， f(1)k25310、已知(3xy)xxxxx4xy0，则4xy的值.为 解：构造函数f(x)xxxx，则f(3xy)f(x)0逐一到f(x)的奇函数且为R上的增函数，所以3xyx 4xy011、设表示不大于的最大整数，集合，则 _解：不等式的解为，所以.若，则所以只可能取值.若，则，没有实数解；若，则，解得；若，则，没有符合条件的解；若，则，没有符合条件的解；若，则，有一个符合条件的解.因此，.12、设是实数且满足，证明、中最多有两个数大于1 证明：假设三个数、都大于1，由于中至少有一个是正的，不妨设，于是同理可推得，因此都是正数由，即，同理，三式相乘得，此与已知矛盾，因此题目结论成立说明：反证法的根据是排中律，是用证明逆否命题成立来替代原命题成立其难点在于提出与结论相反的假设后，如何合理地展开思路以便尽快凸现矛盾13、（1）为非负实数，证明：（2）设，证明分析：从（1）、（2）的结构看，似乎分别与勾股定理、余弦定理有些联系，因此可以把题中的式子赋于几何意义，从而把复杂的代数不等式化为相应的较为简单的几何不等式（1）证明：如图（1）、都是正方形，其边长等于1，为线段上任一点，令，则，（时等号成立）又在形内任一点（含周界），即 （或时等号成立）BACMN2)ABCPDFE1)（2）证明：构造图形如图（2），为等腰直角三角形，据余弦定理，由平面几何知，即，当且仅当时等号成立说明：本题独到的证法不仅明快、利索，而且揭示了问题的真正内含我们不难从中体会到这道题是如何编拟、设计出来的14、设取正实数，且，求三元函数的最小值，并给出证明构造函数，并用函数性质考察函数，易知为奇函数，并且当时在上单调递增因此对于，且有所以，对任意，有同理可得，三式相加得，所求最小值为015、求所有的实数，使得不等式对任意都成立解：取特殊值，当时有；当时有，两者都能成立，得下面证明： （1），对任意都成立首先证明时，事实上，所以，四个不等式相加便得（1），故欲求的实数16、设a为实数，设函数的最大值为g(a)。（）设，求的取值范围，并把表示为的函数（4分） （）求 （6分） （）试求满足的所有实数（6分）解：（）对于，要使有意义，必须且，即。，。的取值范围是。由得，。（）由题意知为函数的最大值，注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论：当时，函数, 的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，。 (2)当时，。(3)当时,函数, 的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则；若，即则；若，即则 综上,得 。（）情形1：当时，此时，。由解得，与矛盾。情形2：当时，此时，。由解得与矛盾。情形3：当时，此时。 所以。情形4：当时，此时，。由解得，与矛盾。情形5：当时，此时，。由解得，与矛盾。情形6：当时，此时, 。由解得，由得。综上所述，满足的所有实数为或。