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等腰、直角三角形,基础知识 自主学习,1等腰三角形： (1)性质： 相等， 相等，底边上的高线、中线、 顶角的角平分线“三线合一”； (2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰 三角形 2等边三角形： (1)性质： 相等，三内角都等于 ； (2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60的等腰三 角形是等边三角形,要点梳理,两腰,两底角,三边,60,3直角三角形：在ABC中，C90. (1)性质：边与边的关系：(勾股定理)a2b2 ； (2)角与角的关系：AB ； (3)边与角的关系： 若A30，则ac，bc； 若ac，则A30； 若A45，则abc； 若ac，则A45； 斜边上的中线mcR.其中R为三角形外接圆的半径 (4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形 的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三 角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么 这个三角形是直角三角形,c2,90,难点正本 疑点清源 1等腰三角形的特殊性 “等边对等角”是今后我们证明角相等的又一个重要依据“等 角对等边”可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明 两条线段相等的重要依据 等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角 形，等边三角形拥有等腰三角形的所有性质，但不分顶角、底角、 腰、底边因为等边三角形任何一个角都为60，任何一条边都 可看做腰或底边 解答等腰三角形的有关问题时，常作辅助线，构造出“三线合 一”的基本图形在添加辅助线时，要根据具体情况而定，表达辅 助线的语句，不能限制条件过多，如一边上的高并且要平分这条 边；作一边上的中线并且垂直平分这条边；作一个角的平分线并 且垂直对边等等，这些都是不正确的,基础自测,1(2011济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm，那么此三角形的周长是( ) A15 cm B16 cm C17 cm D16 cm或17 cm 答案 D 解析 这个三角形的周长是55616或66517.,2(2011铜仁)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是( ) A等腰三角形两底角相等 B等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互 相重合 C等腰三角形是中心对称图形 D等腰三角形是轴对称图形 答案 C 解析 等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形,3(2011芜湖)如图，已知ABC中，ABC45， F是高AD和BE的交点，CD4，则线段DF的长度为( ) A2 B4 C3 D4 答案 B 解析 在RtABD中，ABD45，可得ADBD，易证BDFADC，所以DFCD4.,5(2011鸡西)如图，在RtABC中，ABCB，BOAC，把ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连结DE、EF.下列结论： tanADB2； 图中有4对全等三角形； 若将DEF沿EF折叠， 则点D不一定落在AC上； BDBF； S四边形DFOESAOF， 上述结论中正确的个数是( ) A1个 B2个 C3个 D4个,答案 C,题型分类 深度剖析,【例 1】 (1)方程x29x180的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( ) A12 B12或15 C15 D不能确定 答案 C 解析 解方程x29x180，得x13，x26，周长为36615，应选C. (2)如果等腰三角形的一个内角是80，那么顶角是_度 答案 80或20 解析 顶角是80，或当底角是80时，顶角是18028020. 探究提高 在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底， 也可以是腰同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨 论,题型一 等腰三角形有关边角的讨论,知能迁移1 (1)(2011株洲)如图， ABC中，ABAC，A36，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC. 求ECD的度数； 若CE5，求BC长,解 解法一： DE垂直平分AC， CEAE，ECDA36. 解法二： DE垂直平分AC， ADCD，ADECDE90. 又DEDE，ADECDE，ECDA36.,解法一： ABAC，A36，BACB72. ECDA36， BCEACBECD36， BEC180367272B， BCEC5. 解法二： ABAC，A36， BACB72， BECAECD72， BECB， BCEC5.,(2)(2011烟台)等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为_ 答案 4或6 解析 等腰三角形的底边为4；等腰三角形的两腰为4时，则底边等于14446.,题型二 等腰三角形的性质,【例 2】 如图，在等腰RtABC中，BAC90，点D是BC的中点，且AEBF，试判断DEF的形状,解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！,解：连接AD，在等腰RtABC中， AD是中线， ADBC，DAEBAC45，ADBD. 又BC45， BDAE.2分 在BDF和ADE中， BDFADE(SAS)4分 DFDE，12. 又3190， 2390，即EDF90. DEF也是等腰直角三角形6分,探究提高 作等腰三角形的底边中线，构造等腰三角形“三线合一”的基本图形，是常见的辅助线的作法之一,知能迁移2 已知：如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF.当D点在什么位置时，DEDF？并加以证明,解 当点D在BC的中点时，DEDF. ABAC，BC. DEAB，DFAC， DEBDFC90. 点D是BC的中点， BDCD， BDECDF(AAS)， DEDF.,题型三 等边三角形,【例 3】 (1)已知：如图，P、Q是ABC边BC上两点，且BPPQQCAPAQ，求BAC的度数,解 APPQAQ，APQ是等边三角形 PAQ60，APQ60. APBP，BBAP6030. 同理：CCAQ30， BAC306030120.,(2)(2012大兴安岭)如图所示，已知ABC和DCE均是等边 三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点 O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG， 则下列结论： AEBD； AGBF； FGBE； BOCEOC. 其中正确结论的个数( ) A1个 B2个 C3个 D4个 答案 D,解析 由BCDACE， 可得AEBD成立； 由ACGBCF， 可得AGBF成立； ACGBCF， CGCF， 又ACD60， FCG是等边三角形， CFG60ACB， FGBE成立； 过C画CMBD，CNAE，垂足分别是M、N， BCDACE， CMCN， 点C在BOE的角平分线上，OC平分BOE， 即BOCEOC成立,探究提高 在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性质，每个角都相等，每条边都相等，这可以让我们轻松找到证明全等所需的条件,知能迁移3 如图，在等边ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BDAE，AD与CE交于点F. (1)求证：ADCE； (2)求DFC的度数,解 (1)在等边ABC中， ABAC，BACCBA60， 又BDAE， ABDCAE， ADCE. (2)ABDCAE， BADECA. DFC是AFC的外角， DFCECADAC BADDAC BAC60.,答题规范,考题再现 在ABC中，高AD和高BE相交于H，且BHAC，求ABC的度数 学生作答 解：如图1， 在RtBHD和RtACD中， CCAD90， CHBD90， HBDCAD. 又BHAC，BHDACD， BDAD. ADB90，ABC45.,9三角形的高可能在形外,图1,规范解答 解：这里的ABC有两种情况，ABC是锐角(图1)或 ABC是钝角(图2) 如图2，在RtBHD和RtACD中， 易得DCADHB. 又ACBH， DHBDCA， ADDB， DBA45， ABC135. 综上：ABC45或ABC135.,图2,10易出错的等腰三角形问题,考题再现 已知ABC是等腰三角形，由A所引BC边上的高恰好等于BC边长的一半，试求BAC的度数 学生作答,图3,规范解答 解：题目中并没有指明BC是等腰ABC的底或腰 当BC为底时，可求得BAC90； 当BC为腰时，还应对B的大小进行讨论：,图4,图5,
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